AMC 10 · 2020 · #8
쉬운 모드 학년 4문제
1,2,3,…,200의 수들을 순서대로 더하거나 빼서 만든 긴 식을 생각해 봅시다.
이 식은 네 개씩 묶은 패턴을 따릅니다. 각 묶음에서 앞의 세 수는 더하고, 네 번째 수는 뺍니다. 그래서 식은 1+2+3−4로 시작해서, 다음에 +5+6+7−8이 이어지고, 같은 방식으로 계속 가다가 ⋯+197+198+199−200으로 끝납니다.
이 식 전체의 값은 얼마일까요?
1+2+3−4+5+6+7−8+⋯+197+198+199−200
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AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $1 + 2 + 3 - 4 + 5 + 6 + 7 - 8 + \cdots + 197 + 198 + 199 - 200$ 의 값을 구하시오. 세 개를 더하고 하나를 빼는 패턴이 $200$ 까지 반복된다.
주어진 것: 항은 $1, 2, 3, \ldots, 200$ 순서로 등장; 부호 패턴: $+, +, +, -, +, +, +, -, \ldots$; $4$ 의 배수마다 뺄셈; 선택지: (A) $9{,}800$, (B) $9{,}900$, (C) $10{,}000$, (D) $10{,}100$, (E) $10{,}200$
구하는 것: 이 교차식 전체의 값
이해
문제 재정리: $1 + 2 + 3 - 4 + 5 + 6 + 7 - 8 + \cdots + 197 + 198 + 199 - 200$ 의 값을 구하시오. 세 개를 더하고 하나를 빼는 패턴이 $200$ 까지 반복된다.
주어진 것: 항은 $1, 2, 3, \ldots, 200$ 순서로 등장; 부호 패턴: $+, +, +, -, +, +, +, -, \ldots$; $4$ 의 배수마다 뺄셈; 선택지: (A) $9{,}800$, (B) $9{,}900$, (C) $10{,}000$, (D) $10{,}100$, (E) $10{,}200$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기
부호 패턴이 $4$ 항마다 반복 — 도구 #5: 반복 단위로 묶고 각 블록의 합을 정리. 도구 #7 로 전체식을 $50$ 개 블록 합으로 분해, 다시 $2, 10, 18, \ldots$ 등차수열의 합으로 정리. 도구 #9 (더 쉬운 문제) 로 블록 $1, 2, 3$ 만 먼저 검증 후 $50$ 개로 확장. 변수를 도입하지 않고 끝낼 수 있는 조합.
실행 — 정답: B
4.OA.C.5 단계 1 - $200$ 개 항을 $4$ 개씩 묶음.
- $(1+2+3-4), (5+6+7-8), (9+10+11-12), \ldots, (197+198+199-200)$.
- 총 $200 / 4 = 50$ 블록.
💡 $4$ 항마다 반복되니 반복 주기로 묶음.
2.OA.A.1 단계 2 - 처음 몇 블록을 계산해 패턴 확인.
- 블록 $k$ 는 $4k-3, 4k-2, 4k-1, 4k$ 네 항으로 이루어지고 마지막만 부호가 음.
💡 $k = 1, 2, 3$ 을 직접 계산 — 작은 사례에서 규칙이 드러남.
4.OA.C.5 단계 3 - 블록 값 $2, 10, 18, \ldots$ 는 매 단계 $8$ 씩 증가 (다음 블록은 네 항이 모두 $4$ 씩 커지니 합은 $4 \cdot (1+1+1-1) = 8$ 만큼 증가).
- 마지막 블록 ($k = 50$): $197+198+199-200 = 394$.
💡 다음 블록은 이전 블록보다 $8$ 더 큼 — 등차수열.
4.NBT.B.5 단계 4 - 등차수열 $2, 10, 18, \ldots, 394$ ($50$ 항, 첫항 $2$, 끝항 $394$) 의 합.
- 처음과 끝을 짝지으면 $2 + 394 = 396$ 이고 그런 짝이 $25$ 개.
💡 양 끝에서 짝짓기 — 모든 짝이 같은 $396$ 합.
4.NBT.B.5 단계 5 $25 \cdot 396$ 을 $396 = 400 - 4$ 로 쪼개 계산.
💡 $25 \cdot 400 = 10000$ 은 쉽고, $-4$ 부분은 $100$ 만 빼면 됨.
4.NBT.A.2 단계 6 $9{,}900$ 은 (B).
💡 일치하는 보기 찾기.
4.OA.C.5 $200$ 개 항을 $4$ 개씩 묶음. $(1+2+3-4), (5+6+7-8), (9+10+11-12), \ldots, (197+198+199- 2.OA.A.1 처음 몇 블록을 계산해 패턴 확인. 블록 $k$ 는 $4k-3, 4k-2, 4k-1, 4k$ 네 항으로 이루어지고 마지막만 부호가 음. 4.OA.C.5 블록 값 $2, 10, 18, \ldots$ 는 매 단계 $8$ 씩 증가 (다음 블록은 네 항이 모두 $4$ 씩 커지니 합은 $4 \cdot ( 4.NBT.B.5 등차수열 $2, 10, 18, \ldots, 394$ ($50$ 항, 첫항 $2$, 끝항 $394$) 의 합. 처음과 끝을 짝지으면 $2 + 3 4.NBT.B.5 $25 \cdot 396$ 을 $396 = 400 - 4$ 로 쪼개 계산. 4.NBT.A.2 $9{,}900$ 은 (B). 검토
합리성 확인: 다른 묶음으로 빠르게 확인. 전체식 $=$ $(1 + 2 + \cdots + 200) - 2 \cdot (4 + 8 + 12 + \cdots + 200)$ — $4$ 의 배수만 부호가 반대라 두 배만큼 빠짐. $\sum_{1}^{200} = \dfrac{200 \cdot 201}{2} = 20100$. $200$ 이하 $4$ 의 배수는 $50$ 개, 합 $= 4 \cdot (1 + 2 + \cdots + 50) = 4 \cdot 1275 = 5100$. 따라서 $20100 - 2 \cdot 5100 = 20100 - 10200 = 9900$. ✓
대안 접근: 도구 #16 (관점 바꾸기): 네 개씩 묶지 말고 모든 항을 더한 $1 + 2 + \cdots + 200 = 20{,}100$ 에서 $4$ 의 배수 합의 두 배를 빼는 식 ($4k$ 가 $+4k$ 가 아니라 $-4k$ 이므로 차이 $-2 \cdot 4k$). 위 검산과 같은 경로로 $9{,}900$ 에 도달.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.OA.C.5주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 생성 ($4$ 항짜리 $+,+,+,-$ 주기 인식 및 블록 합 $2, 10, 18, \ldots$ 의 등차 패턴 도출.)2.OA.A.1$100$ 이내 한·두 단계 덧셈·뺄셈 응용 문제 풀기 (처음 몇 블록 값 ($1+2+3-4 = 2$ 등) 직접 계산.)4.NBT.B.5한 자리 수와의 곱셈으로 네 자리 자연수 다루기 ($50$ 블록 짝짓기로 $25 \cdot 396$ 을 만들고 $25 \cdot 396 = 25 \cdot 400 - 25 \cdot 4$ 로 분배해 암산.)4.NBT.A.2여러 자리 자연수를 읽고 쓰고 비교하기 (계산값 $9{,}900$ 을 (B) 와 매칭.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 패턴 찾기만 알면 풀 수 있어요 — $4$ 항씩 묶으면 $(1+2+3-4) = 2$, $(5+6+7-8) = 10$, $(9+10+11-12) = 18$ … 매번 $8$ 씩 커지는 등차 수열이고, $50$ 개 블록 합(마지막은 $394$) 을 더하면 $9{,}900$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 패턴 찾기만 알면 풀 수 있어요 — $4$ 항씩 묶으면 $(1+2+3-4) = 2$, $(5+6+7-8) = 10$, $(9+10+11-12) = 18$ … 매번 $8$ 씩 커지는 등차 수열이고, $50$ 개 블록 합(마지막은 $394$) 을 더하면 $9{,}900$.
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