AMC 10 · 2020 · #7
쉬운 모드 학년 5문제
2020보다 작은 양의 정수들 중에서 다음 세 가지 조건을 모두 만족하는 수를 찾으려고 합니다.
- 3의 배수입니다.
- 짝수입니다.
- 완전제곱수입니다(예: 1,4,9,16,25,…).
이런 수는 모두 몇 개일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $2020$ 보다 작은 양의 완전제곱수 중 $3$ 의 짝수 배수인 것의 개수를 구하시오.
주어진 것: 양의 완전제곱수; $2020$ 보다 작음; 짝수 ($2$ 의 배수); $3$ 의 배수; 선택지: (A) $7$, (B) $8$, (C) $9$, (D) $10$, (E) $12$
구하는 것: 조건을 만족하는 완전제곱수의 개수
이해
문제 재정리: $2020$ 보다 작은 양의 완전제곱수 중 $3$ 의 짝수 배수인 것의 개수를 구하시오.
주어진 것: 양의 완전제곱수; $2020$ 보다 작음; 짝수 ($2$ 의 배수); $3$ 의 배수; 선택지: (A) $7$, (B) $8$, (C) $9$, (D) $10$, (E) $12$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기
도구 #9 (더 쉬운) 로 "$3$ 의 짝수 배수" 를 "$6$ 의 배수" 로 바꾼다. 도구 #2 로 후보 $6^2, 12^2, 18^2, \ldots$ 를 순서대로 나열하고 $2020$ 을 넘으면 멈춤. 도구 #5 로 패턴 $(6k)^2 = 36k^2$ 을 잡아 $k$ 의 개수만 세면 됨. 도구 #3 으로 보기와 대조.
실행 — 정답: A
4.OA.B.4 단계 1 - "$3$ 의 짝수 배수" $=$ "$2$ 의 배수이고 $3$ 의 배수" $=$ "$6$ 의 배수".
- 즉 $2020$ 미만의 완전제곱수 중 $6$ 의 배수인 것을 세는 문제.
💡 더 단순한 말: 그냥 $6$ 의 배수.
4.OA.B.4 단계 2 - $n^2$ 이 $6$ 의 배수면 $n$ 자체가 $6$ 의 배수.
- 이유: $6 = 2 \cdot 3$ 에서 $2$ 와 $3$ 이 소수이므로 $n^2$ 안에 들어 있다면 이미 $n$ 안에 한 번씩 들어 있어야 함.
- 따라서 $n = 6, 12, 18, 24, \ldots$ 에 대해 $n^2 < 2020$ 인 경우를 센다.
💡 $n^2$ 이 $6$ 의 배수 $\Rightarrow$ $n$ 도 $6$ 의 배수.
5.NBT.B.5 단계 3 $n = 6k$ 에 대해 $36k^2$ 을 작은 $k$ 부터 나열, $2020$ 을 넘으면 멈춤.
💡 작은 것부터 순서대로 나열.
4.NBT.A.2 단계 4 - 각 값을 $2020$ 과 비교.
- 앞 일곱 개 ($36, 144, 324, 576, 900, 1296, 1764$) 는 모두 $2020$ 미만, 여덟 번째 ($2304$) 부터는 초과.
- 즉 $k = 1, \ldots, 7$ 의 $7$ 개.
💡 처음 초과하는 지점에서 멈춤.
4.NBT.A.2 단계 5 $7$ 은 (A).
💡 일치하는 보기 찾기.
4.OA.B.4 "$3$ 의 짝수 배수" $=$ "$2$ 의 배수이고 $3$ 의 배수" $=$ "$6$ 의 배수". 즉 $2020$ 미만의 완전제곱수 중 $6$ 4.OA.B.4 $n^2$ 이 $6$ 의 배수면 $n$ 자체가 $6$ 의 배수. 이유: $6 = 2 \cdot 3$ 에서 $2$ 와 $3$ 이 소수이므로 $n^ 5.NBT.B.5 $n = 6k$ 에 대해 $36k^2$ 을 작은 $k$ 부터 나열, $2020$ 을 넘으면 멈춤. 4.NBT.A.2 각 값을 $2020$ 과 비교. 앞 일곱 개 ($36, 144, 324, 576, 900, 1296, 1764$) 는 모두 $2020$ 미만, 4.NBT.A.2 $7$ 은 (A). 검토
합리성 확인: 경계로 빠르게 확인: $36k^2 < 2020 \iff k^2 < 56.\overline{1} \iff k \leq 7$ ($7^2 = 49 < 56$ 이고 $8^2 = 64 > 56$). 따라서 $k$ 는 $1, 2, \ldots, 7$ 의 $7$ 개. ✓ 나열한 $36, 144, 324, 576, 900, 1296, 1764$ 은 모두 짝수 (끝자리 짝수), 모두 $3$ 의 배수 (각자릿수 합 $9, 9, 9, 18, 9, 18, 18$), 모두 $2020$ 미만. ✓
대안 접근: 도구 #16 (관점 바꾸기): $n = 6k$ 로 만들지 않고 $2020$ 미만 완전제곱수 $1, 4, 9, \ldots, 1936$ ($n = 1, \ldots, 44$) 을 전부 두고 그 중 $n$ 이 $6$ 의 배수인 것만 ($n = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42$ — $48 > 44$) 골라도 같은 $7$ 개.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
4.OA.B.4약수·배수 짝 찾기, 소수·합성수 판별 ("$2$ 의 배수" 와 "$3$ 의 배수" 를 "$6$ 의 배수" 로 묶고, $n^2$ 안의 소인수는 $n$ 에도 들어 있다는 성질 사용.)5.NBT.B.5여러 자리 자연수의 곱셈 (후보 제곱수 $36 \cdot k^2$ 을 $k = 1, \ldots, 8$ ($36 \cdot 64 = 2304$) 까지 계산.)4.NBT.A.2여러 자리 자연수를 읽고 쓰고 비교하기 (각 제곱수를 $2020$ 과 비교하고 최종 개수 $7$ 을 (A) 와 매칭.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 곱셈과 배수만 알면 풀 수 있어요 — "$3$ 의 짝수 배수" 는 "$6$ 의 배수" 와 같으니, $(6 \cdot 1)^2, (6 \cdot 2)^2, \ldots$ 을 $2020$ 까지 나열. 일곱 개 ($36, 144, 324, 576, 900, 1296, 1764$) 가 들어가고 여덟 번째 ($2304$) 부터 초과 — 답은 $7$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 곱셈과 배수만 알면 풀 수 있어요 — "$3$ 의 짝수 배수" 는 "$6$ 의 배수" 와 같으니, $(6 \cdot 1)^2, (6 \cdot 2)^2, \ldots$ 을 $2020$ 까지 나열. 일곱 개 ($36, 144, 324, 576, 900, 1296, 1764$) 가 들어가고 여덟 번째 ($2304$) 부터 초과 — 답은 $7$.
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