AMC 10 · 2021 · #7

쉬운 모드 학년 5

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문제

Tom은 뱀을 $13$ 마리 키우고 있어요. 그중 어떤 뱀은 보라색이고, 어떤 뱀은 행복합니다. 그리고 어떤 뱀은 덧셈을 할 줄 알고, 어떤 뱀은 뺄셈을 할 줄 알아요.

Tom은 자신의 뱀들에 대해 세 가지 사실을 알아냈습니다.

행복한 뱀은 모두 덧셈을 할 수 있어요.
보라색 뱀은 어느 것도 뺄셈을 할 수 없어요.
뺄셈을 못 하는 뱀은 덧셈도 못 해요.

이 세 가지 사실만 가지고, 아래 결론 중 반드시 참인 것은 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Purple snakes can add.

(B)

Purple snakes are happy.

(C)

Snakes that can add are purple.

(D)

Happy snakes are not purple.

(E)

Happy snakes can't subtract.

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 톰이 키우는 뱀은 $13$ 마리. 일부는 보라색, 일부는 행복함, 일부는 덧셈을 할 줄 알고, 일부는 뺄셈을 할 줄 압니다. 세 가지 사실이 주어집니다 — 행복한 뱀은 모두 덧셈을 할 줄 안다, 보라색 뱀은 모두 뺄셈을 못 한다, 뺄셈을 못 하는 뱀은 덧셈도 못 한다. 다섯 개의 결론 중 위 세 사실로부터 반드시 따르는 것은 어떤 것인가?

주어진 것: 총 $13$ 마리, 보라색 $4$ 마리, 행복한 뱀 $5$ 마리 (이 수는 미끼 — 논리에 필요 없음); 사실 1: 행복 $\Rightarrow$ 덧셈 가능; 사실 2: 보라 $\Rightarrow$ 뺄셈 불가; 사실 3: 뺄셈 불가 $\Rightarrow$ 덧셈 불가; 선택지: (A) 보라 $\Rightarrow$ 덧셈 가능 (B) 보라 $\Rightarrow$ 행복 (C) 덧셈 가능 $\Rightarrow$ 보라 (D) 행복 $\Rightarrow$ 보라 아님 (E) 행복 $\Rightarrow$ 뺄셈 불가

구하는 것: 세 사실로부터 반드시 따르는 결론

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

다섯 보기 중 하나를 고르는 객관식 — 도구 #3(가능성 지우기)로 각 보기를 세 사실에 비춰 점검. 도구 #1(그림 그리기)로 사실들을 속성 박스 사이의 화살표로 그리면 사슬이 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 사실 2와 3을 먼저 잇고, 사실 1의 대우를 그 뒤에 붙여 결론을 읽는 식으로 단계화.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 5.G.B.3 단계 1

행복·보라·덧셈·뺄셈 네 박스를 그리고 각 사실을 화살표로 표시.
사실 1: 행복 → 덧셈.
사실 2: 보라 → 뺄셈 아님.
사실 3: 뺄셈 아님 → 덧셈 아님.

$$\text{행복}\to\text{덧},\;\;\text{보라}\to\neg\text{뺄},\;\;\neg\text{뺄}\to\neg\text{덧}$$

💡 'P면 Q'는 박스 사이 화살표 한 개로 표현됨.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.G.B.3 단계 2

사실 2와 3을 연결: 보라 → 뺄셈 아님 → 덧셈 아님.
즉 보라색 뱀은 덧셈을 못 함.

$$\text{보라}\;\to\;\neg\text{뺄}\;\to\;\neg\text{덧}$$

💡 A→B와 B→C가 있으면 A→C까지 한 줄로 이어지는 추이 추론.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.G.B.3 단계 3

사실 1(행복 → 덧셈)을 거꾸로 읽음 — 대우.
덧셈을 못 하면 행복하지 않음.

$$\text{행복}\to\text{덧}\;\;\Longleftrightarrow\;\;\neg\text{덧}\to\neg\text{행복}$$

💡 '모든 A는 B다'와 'B 아닌 것은 모두 A 아니다'는 같은 말.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.G.B.3 단계 4

단계 2와 3을 이으면 보라 → 덧셈 아님 → 행복 아님.
즉 보라색 뱀은 모두 행복하지 않음.
이는 '행복한 뱀은 보라가 아님'과 같음.

$$\text{보라}\;\to\;\neg\text{덧}\;\to\;\neg\text{행복}\;\;\Longleftrightarrow\;\;\text{행복}\to\neg\text{보라}$$

💡 두 화살표를 잇고 대우로 뒤집어 보기 표현에 맞춤.

#3 가능성 지우기 5.G.B.3 단계 5

보기와 대조.
(A) 보라 → 덧셈: 단계 2와 정반대 — 거짓.
(B) 보라 → 행복: 강제 안 됨.
(C) 덧셈 → 보라: 강제 안 됨 (행복한 뱀은 덧셈도 하고 보라도 아님).
(D) 행복 → 보라 아님: 단계 4와 정확히 일치 — 채택.
(E) 행복 → 뺄셈 아님: 강제 안 됨 (사실 2는 보라에 대해서만).
따라서 (D).

(D):\;\text{행복}\to\neg\text{보라}\;\checkmark

💡 다섯 보기를 차례로 확인해 사슬이 강제하는 것만 남김.

[1] #1 5.G.B.3 행복·보라·덧셈·뺄셈 네 박스를 그리고 각 사실을 화살표로 표시. 사실 1: 행복 → 덧셈. 사실 2: 보라 → 뺄셈 아님. 사실 3: 뺄셈 아

[2] #7 5.G.B.3 사실 2와 3을 연결: 보라 → 뺄셈 아님 → 덧셈 아님. 즉 보라색 뱀은 덧셈을 못 함.

[3] #7 5.G.B.3 사실 1(행복 → 덧셈)을 거꾸로 읽음 — 대우. 덧셈을 못 하면 행복하지 않음.

[4] #7 5.G.B.3 단계 2와 3을 이으면 보라 → 덧셈 아님 → 행복 아님. 즉 보라색 뱀은 모두 행복하지 않음. 이는 '행복한 뱀은 보라가 아님'과 같음.

[5] #3 5.G.B.3 보기와 대조. (A) 보라 → 덧셈: 단계 2와 정반대 — 거짓. (B) 보라 → 행복: 강제 안 됨. (C) 덧셈 → 보라: 강제 안 됨 (행

검토

합리성 확인: 구체적으로 모순법 확인. 행복한 뱀이 있다고 하자. 사실 1로 덧셈 가능. 만약 그 뱀이 보라라면, 사실 2로 뺄셈 불가, 사실 3으로 덧셈 불가 — 방금 덧셈이 가능하다고 했는데 모순. 따라서 행복한 뱀은 보라가 아니다 — (D) 확정. 마리 수 $13, 4, 5$ 는 추론에 한 번도 쓰이지 않음 — 문제의 둥근 수가 주는 신호와 일치.

대안 접근: 도구 #4(격자 논리표) — 행복·보라·덧셈·뺄셈 네 속성의 $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ 조합 표를 만들고 사실 1·2·3을 어기는 행을 모두 지움. 남은 행 중 행복인 모든 줄은 보라가 아님 — (D) 확정. 더 체계적이지만 대우 사슬보다 느림.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.G.B.3 한 범주에 속하는 속성은 그 하위 범주 모두에 적용된다는 이해 ('모든 행복한 뱀은 덧셈을 한다'를 행복 ⊆ 덧셈가능 으로 해석하고, 포함 관계를 잇고 대우로 뒤집어 행복 ⊆ 보라아님 을 끌어냄.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 범주 추론만 알면 풀 수 있어요 — '모든 $A$ 는 $B$' 를 화살표로 그리고, 보라 → 뺄셈 아님 → 덧셈 아님을 잇고, 행복 → 덧셈의 대우를 붙이면 행복 → 보라 아님이라는 사슬이 나와 (D) 가 답.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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