AMC 10 · 2023 · #6
쉬운 모드 학년 4문제
정육면체를 떠올려 봅시다. 꼭짓점 8개, 모서리 12개, 면 6개가 있습니다.
각 꼭짓점에 정수를 하나씩 적습니다. 그리고 점수를 매기는 규칙을 두 가지 정합니다.
모서리의 점수는 그 모서리 양 끝에 있는 두 꼭짓점 수의 합입니다. 면의 점수는 그 면을 둘러싸는 4개 모서리 점수의 합입니다. 정육면체의 점수는 6개 면 점수의 총합입니다.
8개 꼭짓점에 적힌 수의 합이 21이라고 합시다. 정육면체의 점수는 얼마일까요?
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AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 정육면체의 꼭짓점 $8$ 개에 각각 정수가 하나씩 놓여 있고, 그 합이 $21$ 입니다. 모서리 $12$ 개의 값은 양 끝 꼭짓점 두 개의 합, 면 $6$ 개의 값은 그 면을 둘러싼 네 모서리의 합으로 정해집니다. 면 $6$ 개의 값의 총합을 구하세요.
주어진 것: 정육면체는 꼭짓점 $8$ 개, 모서리 $12$ 개, 면 $6$ 개를 가짐; 각 모서리 값 = 양 끝 꼭짓점 두 개의 값의 합; 각 면 값 = 그 면을 둘러싼 네 모서리 값의 합; 꼭짓점 값들의 합은 $21$; 선택지: (A) $42$, (B) $63$, (C) $84$, (D) $126$, (E) $252$
구하는 것: 면 $6$ 개의 값의 총합 ("정육면체의 값")
이해
문제 재정리: 정육면체의 꼭짓점 $8$ 개에 각각 정수가 하나씩 놓여 있고, 그 합이 $21$ 입니다. 모서리 $12$ 개의 값은 양 끝 꼭짓점 두 개의 합, 면 $6$ 개의 값은 그 면을 둘러싼 네 모서리의 합으로 정해집니다. 면 $6$ 개의 값의 총합을 구하세요.
주어진 것: 정육면체는 꼭짓점 $8$ 개, 모서리 $12$ 개, 면 $6$ 개를 가짐; 각 모서리 값 = 양 끝 꼭짓점 두 개의 값의 합; 각 면 값 = 그 면을 둘러싼 네 모서리 값의 합; 꼭짓점 값들의 합은 $21$; 선택지: (A) $42$, (B) $63$, (C) $84$, (D) $126$, (E) $252$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
신호는 "정육면체" — 도구 #1(그림 그리기)이 가장 자연스럽게 따라옵니다. 한 번 그려보면 꼭짓점 하나에 몇 개의 모서리가 모이는지, 모서리 하나가 몇 개의 면과 닿는지 눈으로 셀 수 있습니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 "한 꼭짓점은 몇 개의 모서리에 속하는가?" 와 "한 모서리는 몇 개의 면에 속하는가?" 라는 두 개의 작은 "겹쳐 세기" 문제로 깔끔히 나눠줍니다. 각 작은 문제는 한 줄 곱셈이고, 두 곱셈이 차례로 쌓여 $21$ 에 한 번에 곱해집니다.
실행 — 정답: D
K.G.B.4 단계 1 - 정육면체를 그려놓고 꼭짓점 하나를 짚어봅시다 (예: 위-앞-오른쪽 모서리).
- 그 꼭짓점에서 뻗어나가는 모서리를 세면 정확히 $3$ 개입니다.
- 정육면체는 대칭이라 $8$ 개 꼭짓점 모두 똑같이 $3$ 개씩 모입니다.
💡 상자의 한 모퉁이를 보면 모서리 세 개가 뻗어나가는 것이 보입니다 — 입체 도형을 살피는 유치원 수준의 관찰.
4.OA.A.3 단계 2 - 쪼개기 A: 모서리 $12$ 개 값의 합.
- 모든 모서리 값을 더할 때 각 꼭짓점의 값은 그 꼭짓점이 속한 모서리 수만큼 — 즉 $3$ 번 — 더해집니다.
- 따라서 모서리 값의 합은 꼭짓점 값의 합의 $3$ 배.
💡 꼭짓점 하나의 숫자가 자기에게 붙은 모서리 $3$ 개에 각각 한 번씩 쓰입니다 — 4학년 "몇 묶음" 곱셈.
K.G.B.4 단계 3 - 다시 그림으로: 모서리 하나를 짚어 그 모서리에 닿는 면을 세어봅시다.
- 정육면체의 모든 모서리는 정확히 두 면이 만나는 경계 — $12$ 개 모서리 모두 $2$ 개씩.
💡 상자 모서리를 손가락으로 따라가 보면 양쪽 두 면이 만난다는 것이 느껴집니다 — 그 수가 $2$.
4.OA.A.3 단계 4 - 쪼개기 B: 면 $6$ 개 값의 합.
- 모든 면의 값을 더할 때 각 모서리 값은 그 모서리가 속한 면 수만큼 — 즉 $2$ 번 — 더해집니다.
- 따라서 면 값의 합은 모서리 값의 합의 $2$ 배.
💡 모서리 하나의 숫자가 자기에게 붙은 면 $2$ 개에 각각 한 번씩 쓰입니다 — 같은 "몇 묶음" 곱셈.
3.OA.C.7 단계 5 - 두 단계를 합치면 $S_F = 2 \times 3 \times S_V = 6 \times 21 = 126$.
- 선택지 (D) 와 일치합니다.
💡 두 번의 곱셈이 하나로 합쳐집니다 — 3학년 곱셈 구구단 유창성이 마무리를 해줍니다.
K.G.B.4 정육면체를 그려놓고 꼭짓점 하나를 짚어봅시다 (예: 위-앞-오른쪽 모서리). 그 꼭짓점에서 뻗어나가는 모서리를 세면 정확히 $3$ 개입니다. 정 4.OA.A.3 쪼개기 A: 모서리 $12$ 개 값의 합. 모든 모서리 값을 더할 때 각 꼭짓점의 값은 그 꼭짓점이 속한 모서리 수만큼 — 즉 $3$ 번 — 더 K.G.B.4 다시 그림으로: 모서리 하나를 짚어 그 모서리에 닿는 면을 세어봅시다. 정육면체의 모든 모서리는 정확히 두 면이 만나는 경계 — $12$ 개 모 4.OA.A.3 쪼개기 B: 면 $6$ 개 값의 합. 모든 면의 값을 더할 때 각 모서리 값은 그 모서리가 속한 면 수만큼 — 즉 $2$ 번 — 더해집니다. 따 3.OA.C.7 두 단계를 합치면 $S_F = 2 \times 3 \times S_V = 6 \times 21 = 126$. 선택지 (D) 와 일치합니다. 검토
합리성 확인: 검증을 위해 모든 꼭짓점에 같은 값 $\tfrac{21}{8}$ 을 두어봅시다 (정수는 아니지만 문제는 합만 정합니다). 그러면 각 모서리 값은 $2 \cdot \tfrac{21}{8} = \tfrac{42}{8}$, $12$ 개 모서리 합은 $12 \cdot \tfrac{42}{8} = 63$ — $S_E = 63$ 과 일치. 한 면 값은 네 모서리 합 $\tfrac{168}{8} = 21$ 이므로 $6$ 개 면 합은 $126$. 답은 꼭짓점 값을 어떻게 배치하든 일정하다는 것이 $S_F = 2 S_E = 6 S_V$ 라는 사슬에서 그대로 보입니다.
대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): 꼭짓점 $8$ 개에 모두 값 $1$ 을 두고 다시 계산해 봅시다. $S_V = 8$, 각 모서리 값 $2$, $S_E = 12 \cdot 2 = 24 = 3 S_V$, 각 면 값 $8$, $S_F = 6 \cdot 8 = 48 = 6 S_V$. 작은 예에서 비율 $S_F / S_V = 6$ 이 그대로 튀어나옵니다. 그대로 키워서 $6 \cdot 21 = 126$.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
K.G.B.42차원·3차원 도형 분석·비교하기 (정육면체 그림에서 "한 꼭짓점에 모서리 $3$ 개", "한 모서리에 면 $2$ 개" 라는 사실을 읽어내는 — 모든 셈의 출발점이 되는 유치원 수준의 관찰.)4.OA.A.3자연수의 네 연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결하기 ("각 꼭짓점은 $3$ 번 세진다", "각 모서리는 $2$ 번 세진다" 라는 관찰을 $S_E = 3 \cdot S_V$ 와 $S_F = 2 \cdot S_E$ 라는 여러 단계 계산으로 옮기는 데 사용.)3.OA.C.7$100$ 이내에서 곱셈·나눗셈 능숙히 하기 (마무리 산수 $2 \times 3 \times 21 = 6 \times 21 = 126$ 을 정확히 계산하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 때 배운 여러 단계 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — 꼭짓점 숫자는 모서리 $3$ 개에, 모서리 숫자는 면 $2$ 개에 각각 한 번씩 쓰이니까 면 값의 총합은 꼭짓점 값 총합의 $3 \times 2 = 6$ 배입니다.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 때 배운 여러 단계 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — 꼭짓점 숫자는 모서리 $3$ 개에, 모서리 숫자는 면 $2$ 개에 각각 한 번씩 쓰이니까 면 값의 총합은 꼭짓점 값 총합의 $3 \times 2 = 6$ 배입니다.