AMC 10 · 2023 · #8

쉬운 모드 학년 4

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문제

$2022^{2023} + 2023^{2022}$ 이라는 수를 생각해봅시다.

이 수는 어마어마하게 커서, 다 적을 수도 없을 정도입니다. 하지만 우리가 알고 싶은 것은 딱 하나, 이 수의 맨 끝자리 숫자, 즉 일의 자리 숫자예요.

$2022^{2023} + 2023^{2022}$ 의 일의 자리 숫자는 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 엄청나게 큰 수 $2022^{2023} + 2023^{2022}$ 의 일의 자리 숫자 (ones digit) 를 구하는 문제입니다.

주어진 것: 큰 두 거듭제곱의 합: $2022^{2023}$ 과 $2023^{2022}$; $2022$ 의 일의 자리는 $2$, $2023$ 의 일의 자리는 $3$; 전체 수가 아니라 합의 일의 자리만 묻고 있음; 선택지: (A) $7$, (B) $1$, (C) $9$, (D) $5$, (E) $3$

구하는 것: $2022^{2023} + 2023^{2022}$ 의 일의 자리 숫자

이해

문제 재정리: 엄청나게 큰 수 $2022^{2023} + 2023^{2022}$ 의 일의 자리 숫자 (ones digit) 를 구하는 문제입니다.

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기

$2022^{2023}$ 을 직접 계산하는 것은 불가능하니, 도구 #9(더 쉬운 문제)로 질문을 줄입니다 — $2022^{2023}$ 의 일의 자리는 $2^{2023}$ 의 일의 자리와 같고, $2023^{2022}$ 의 일의 자리는 $3^{2022}$ 의 일의 자리와 같습니다. 곱의 일의 자리는 곱하는 수의 일의 자리에만 의존하기 때문입니다. 다음으로 도구 #5(패턴 찾기) — $2$ 와 $3$ 의 거듭제곱의 일의 자리를 작은 지수에서 적어 보면 각각 주기 $4$ 의 블록이 보입니다. $2023 \bmod 4$ 와 $2022 \bmod 4$ 로 블록의 정확한 자리를 골라냅니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 이 두 항을 따로 다루도록 도와줍니다 — 각각의 일의 자리를 구한 다음 더해서 끝. 대수도, 큰 계산도 필요 없습니다.

실행 — 정답: A

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.OA.B.5 단계 1

$2022$ 와 $2023$ 을 그 일의 자리만 남긴 수로 바꿉니다.
긴 수끼리의 곱셈은 일의 자리끼리만 일의 자리에 기여하므로, $2022^{2023}$ 의 일의 자리는 $2^{2023}$ 의 일의 자리와, $2023^{2022}$ 의 일의 자리는 $3^{2022}$ 의 일의 자리와 같습니다.

$$2022^{2023} \equiv 2^{2023} \pmod{10}, \qquad 2023^{2022} \equiv 3^{2022} \pmod{10}$$

💡 각 밑을 일의 자리만 남겨 더 쉬운 문제로 — 3학년 곱셈의 일의 자리 성질.

#5 패턴 찾기 3.OA.D.9 단계 2

작은 지수에서 $2^k$ 의 일의 자리를 적어 패턴을 찾습니다.

$$\begin{array}{c|cccccccc} k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2^k & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 \\ \text{일} & 2 & 4 & 8 & 6 & 2 & 4 & 8 & 6 \end{array}$$

💡 작은 표를 그려 반복 블록을 발견 — 3학년 산술 패턴 찾기.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.6 단계 3

블록 $(2, 4, 8, 6)$ 은 길이 $4$ 로 영원히 반복됩니다.
$2^{2023}$ 의 일의 자리를 구하려면 $2023$ 을 $4$ 로 나눈 나머지를 읽으면 됩니다.
나머지 $1, 2, 3, 0$ 은 블록의 $1, 2, 3, 4$ 번째에 대응.

$$2023 \div 4 = 505 \text{ 나머지 } 3 \;\Rightarrow\; \text{블록 } 3 \text{ 번째} = 8$$

💡 나눗셈 한 번으로 주기 안의 자리를 고름 — 4학년 여러 자리 나눗셈.

#5 패턴 찾기 3.OA.D.9 단계 4

$3$ 의 거듭제곱에도 같은 방식.
작은 $k$ 에서 $3^k$ 의 일의 자리를 적습니다.

$$\begin{array}{c|cccccccc} k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3^k & 3 & 9 & 27 & 81 & 243 & 729 & 2187 & 6561 \\ \text{일} & 3 & 9 & 7 & 1 & 3 & 9 & 7 & 1 \end{array}$$

💡 $(3, 9, 7, 1)$ 블록이 같은 방식으로 보임 — 3학년 산술 패턴 찾기.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.6 단계 5

$(3, 9, 7, 1)$ 블록도 길이 $4$.
$2022$ 의 자리는 $2022 \div 4$ 의 나머지로 결정.
나머지 $2$ 는 두 번째 블록 자리.

$$2022 \div 4 = 505 \text{ 나머지 } 2 \;\Rightarrow\; \text{블록 } 2 \text{ 번째} = 9$$

💡 같은 4학년 나눗셈 트릭으로 자리 결정.

#7 작은 문제로 쪼개기 1.NBT.C.4 단계 6

두 일의 자리를 더하고, 그 합의 일의 자리를 읽습니다.
$8 + 9 = 17$, 일의 자리는 $7$.

$$8 + 9 = 17 \;\Rightarrow\; \text{일의 자리} = 7 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 한 자리 수 두 개의 합과 일의 자리 읽기 — 1학년 단일 자리 덧셈.

[1] #9 3.OA.B.5 $2022$ 와 $2023$ 을 그 일의 자리만 남긴 수로 바꿉니다. 긴 수끼리의 곱셈은 일의 자리끼리만 일의 자리에 기여하므로, $2022^{

[2] #5 3.OA.D.9 작은 지수에서 $2^k$ 의 일의 자리를 적어 패턴을 찾습니다.

[3] #5 4.NBT.B.6 블록 $(2, 4, 8, 6)$ 은 길이 $4$ 로 영원히 반복됩니다. $2^{2023}$ 의 일의 자리를 구하려면 $2023$ 을 $4$ 로

[4] #5 3.OA.D.9 $3$ 의 거듭제곱에도 같은 방식. 작은 $k$ 에서 $3^k$ 의 일의 자리를 적습니다.

[5] #5 4.NBT.B.6 $(3, 9, 7, 1)$ 블록도 길이 $4$. $2022$ 의 자리는 $2022 \div 4$ 의 나머지로 결정. 나머지 $2$ 는 두 번째

[6] #7 1.NBT.C.4 두 일의 자리를 더하고, 그 합의 일의 자리를 읽습니다. $8 + 9 = 17$, 일의 자리는 $7$.

검토

합리성 확인: 확인. (1) 주기 주장은 작은 사례로 살아남음 — $2^4 = 16$ 끝자리 $6$ (블록 $4$ 번째 ✓), $2^5 = 32$ 끝자리 $2$ (블록 $1$ 번째, $5 \bmod 4 = 1$ ✓), $3^4 = 81$ 끝자리 $1$ (블록 $4$ 번째 ✓). (2) 양 끝 점검: $2023$ 대신 $3$ 을 넣으면 (지수 $3$, 나머지 $3$) $2^3 = 8$ 이 나옴 — 공식과 일치. (3) 오답 식별: (B) $1$ 은 두 거듭제곱의 일의 자리가 동시에 어울려야 가능 (실제로 $8 + 3 = 11$ 등은 안 됨), (D) $5$ 는 $2$ 나 $3$ 의 거듭제곱의 일의 자리에 결코 나타나지 않음, (E) $3$ 은 $3^1$ 의 일의 자리 — 함정.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) — 모듈러 표기: $2^{2023} \equiv 2^{2023 \bmod 4} \equiv 2^3 \equiv 8 \pmod{10}$ 그리고 $3^{2022} \equiv 3^{2022 \bmod 4} \equiv 3^2 \equiv 9 \pmod{10}$, 따라서 합 $\equiv 17 \equiv 7 \pmod{10}$. 같은 계산이지만 $\bmod 10$ 표기를 써야 하니, 반복 블록 그림이 더 친근합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.B.5 곱셈·나눗셈 전략으로 연산의 성질 활용하기 (긴 수의 곱은 일의 자리끼리만 일의 자리에 영향을 준다는 추론으로 $2022^{2023}$ 의 일의 자리가 $2^{2023}$ 의 일의 자리와 같음을 정당화.)
3.OA.D.9 산술 패턴을 찾아 연산의 성질로 설명하기 ($2$ 와 $3$ 거듭제곱의 일의 자리에서 반복 블록 $(2, 4, 8, 6)$ 과 $(3, 9, 7, 1)$ 을 발견.)
4.NBT.B.6 네 자리 이내의 피제수에 대한 자연수 몫과 나머지 구하기 ($2023 \div 4 = 505$ 나머지 $3$, $2022 \div 4 = 505$ 나머지 $2$ 의 나눗셈으로 블록 자리를 결정.)
1.NBT.C.4 두 자리 수와 한 자리 수의 덧셈을 포함해 $100$ 이내 덧셈 ($8 + 9 = 17$ 을 계산하고 일의 자리 $7$ 을 읽음.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 나머지 있는 나눗셈과 패턴 찾기만 알면 풀 수 있어요 — $2^k$ 의 일의 자리는 $2, 4, 8, 6$ 으로 도는 주기 $4$, $3^k$ 의 일의 자리는 $3, 9, 7, 1$ 로 도는 주기 $4$. $2023 \bmod 4 = 3$ 이 $8$ 을, $2022 \bmod 4 = 2$ 가 $9$ 를 골라서 $8 + 9 = 17$, 끝자리 $7$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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