AMC 8 · 1999 · #5

쉬운 모드 학년 4

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문제

직사각형 모양의 정원을 머릿속에 그려봅시다. 길이는 60피트, 너비는 20피트예요. 정원 둘레에 울타리가 빙 둘러쳐져 있어요.

이제 그 울타리를 다 떼어내서, 똑같은 울타리로 다시 새 정원을 만들어요. 새 정원은 직사각형이 아니라 정사각형이에요. 사용한 울타리의 총 길이는 같습니다.

새로 만든 정사각형 정원은 원래 정원보다 더 넓어요. 몇 제곱피트 더 넓어졌을까요?

그림

같은 울타리로 만든 두 모양 — 60×20 직사각형과 40×40 정사각형, 둘 다 둘레는 160피트.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

100

(B)

200

(C)

300

(D)

400

(E)

500

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $60$ 피트 $\times$ $20$ 피트 직사각형 정원이 울타리로 둘러싸여 있습니다. 같은 울타리를 다시 사용해 정사각형 정원을 만들면, 정사각형 정원은 원래 직사각형 정원보다 넓이가 몇 제곱피트 더 커질까요?

주어진 것: 원래 정원: 가로 $60$ ft, 세로 $20$ ft 인 직사각형; 같은 울타리를 다시 써서 정사각형 정원을 둘러싼다; 선택지: (A) $100$, (B) $200$, (C) $300$, (D) $400$, (E) $500$

구하는 것: 둘레가 같은 정사각형으로 바꿨을 때 늘어나는 넓이 (제곱피트)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 나누기

보조 도구: #1 그림 그리기

한 문장 안에 작은 작업 세 개가 숨어 있으므로 도구 #7(작은 문제로 나누기)로 순서를 잡습니다: (i) 직사각형의 둘레와 넓이를 구하고, (ii) 같은 둘레를 정사각형에 옮겨 한 변과 넓이를 구하고, (iii) 둘을 빼서 늘어난 넓이를 얻습니다. 도구 #1(그림 그리기)은 보조 역할이에요. $60 \times 20$ 직사각형 옆에 정사각형을 같이 그려 보면, "같은 울타리" 가 두 도형을 잇는 다리는 "같은 둘레" 하나뿐임이 한눈에 보입니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 나누기 3.MD.D.8 단계 1

작은 문제 1: 직사각형의 둘레(울타리 길이)와 넓이를 구합니다.

$P = 2(60 + 20) = 2 \times 80 = 160 \text{ ft}$, $A_{\text{직}} = 60 \times 20 = 1200 \text{ ft}^2$

💡 직사각형의 둘레와 넓이 공식은 3학년 내용입니다. 둘레 $160$ 이 우리가 다시 쓸 수 있는 울타리의 길이입니다.

#7 작은 문제로 나누기 3.MD.C.7 단계 2

작은 문제 2: 정사각형은 같은 $160$ ft 울타리로 만들므로 네 변의 합이 $160$ 입니다.
$4$ 로 나눠 한 변을 구하고, 그 변을 제곱해 넓이를 구합니다.

$s = \dfrac{160}{4} = 40 \text{ ft}$, $A_{\text{정}} = 40 \times 40 = 1600 \text{ ft}^2$

💡 정사각형은 $P = 4s$ 이므로 $s = P/4$. 넓이는 한 변 $\times$ 한 변, 역시 3학년 표준입니다.

#7 작은 문제로 나누기 4.OA.A.3 단계 3

작은 문제 3: 새 넓이에서 원래 넓이를 빼서 늘어난 양을 구합니다.

$$1600 - 1200 = 400 \text{ ft}^2 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 "얼마나 더" 는 비교 뺄셈입니다. 4학년 "사칙연산을 이용한 여러 단계 문장제" 표준이 이런 마무리를 정확히 다룹니다.

[1] #7 3.MD.D.8 작은 문제 1: 직사각형의 둘레(울타리 길이)와 넓이를 구합니다.

[2] #7 3.MD.C.7 작은 문제 2: 정사각형은 같은 $160$ ft 울타리로 만들므로 네 변의 합이 $160$ 입니다. $4$ 로 나눠 한 변을 구하고, 그 변을

[3] #7 4.OA.A.3 작은 문제 3: 새 넓이에서 원래 넓이를 빼서 늘어난 양을 구합니다.

검토

합리성 확인: 빠른 확인: $2(60+20) = 160$ 이고 $4 \times 40 = 160$ 이라 같은 울타리로 두 정원 모두 둘러쌀 수 있음이 맞습니다. 직사각형은 길고 좁고($60 \times 20$) 정사각형은 균형이 잡혀 있는데($40 \times 40$), 둘레가 같을 때 넓이가 가장 큰 도형은 항상 정사각형이므로 넓이는 반드시 늘어나야 합니다 — 답 (D) 와 자연스럽게 맞습니다. 수치로도 $1600 - 1200 = 400$. 다른 선택지는 간단한 확인에서 걸러집니다. 만약 늘어난 넓이가 $100$ 이나 $200$ 이라면 정사각형 넓이가 $40^2 = 1600$ 보다 훨씬 작아야 하는데 그렇지 않으니까요.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기): 모눈종이에 $60 \times 20$ 직사각형을 그리면 단위 정사각형이 $60 \times 20 = 1200$ 개 들어갑니다. 같은 울타리를 늘여 $40 \times 40$ 정사각형으로 다시 그리면 단위 정사각형이 $40 \times 40 = 1600$ 개 들어가고요. 두 그림 사이에 늘어난 단위 정사각형은 $1600 - 1200 = 400$ 개로, 다시 (D). 그림으로 보면 같은 둘레라도 정사각형이 더 "통통하게" 넓이를 차지한다는 사실도 한눈에 들어옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.MD.D.8 다각형의 둘레와 관련된 실생활 및 수학 문제 해결하기 (직사각형의 둘레 $P = 2(60+20) = 160$ ft (재사용할 울타리 길이)를 구하는 데 사용.)
3.MD.C.7 넓이를 곱셈과 덧셈 연산에 연결하기 (직사각형 넓이 $60 \times 20 = 1200$ 과 정사각형 넓이 $40 \times 40 = 1600$ 을 "한 변 $\times$ 한 변" 곱으로 계산하는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계 자연수 문장제 해결하기 (둘레 $\to$ 나눗셈 $\to$ 곱셈 $\to$ 뺄셈의 세 작은 문제를 이어 늘어난 넓이 $1600 - 1200 = 400$ 에 도달하는 데 사용.)

⭐ 울타리가 같으면 둘레도 같고, 둘레가 같을 때는 길고 좁은 직사각형보다 정사각형이 더 넓은 넓이를 차지해요 — 둘레, 한 변, 빼기의 3-4학년 단계 세 번이면 이 AMC 8 문제는 가볍게 끝납니다.

문제

그림

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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