AMC 8 · 1999 · #9

• 벤 다이어그램의 영역에 이름을 붙입니다.
• 그림에서 화단 $A$(위쪽 사각형)는 화단 $B$(오른쪽 원), 화단 $C$(왼쪽 원)와 각각 겹치고, $B$ 와 $C$ 는 떨어져 있습니다.
• 그래서 영역은 다섯 가지뿐입니다: $A$ 만, $B$ 만, $C$ 만, $A\cap B$, $A\cap C$.
• $B\cap C$ 영역도, 세 화단 공통 영역도 없습니다.

💡 계산을 시작하기 전에 그림부터 봅니다. 겹침의 모양이 어느 영역을 추적해야 하고 어느 영역은 비어 있는지를 알려 줍니다.

• 작은 문제 1: 공유되는 식물이 없다고 가정하고 세 화단을 그냥 더합니다.
• 이렇게 하면 두 화단에 함께 속한 식물이 두 번 세어지므로, 이 합은 진짜 총합보다 큽니다.

💡 세 크기를 그냥 더하면 모든 식물을 한 화단에만 속한 것처럼 다루는 셈입니다. 공유되는 식물은 두 번 세어지니까 이 합은 공유량만큼 부풀려져 있습니다.

• 작은 문제 2: 두 번 세어진 만큼을 빼 줍니다.
• $A\cap B$ 영역의 식물은 $A$ 에서 한 번, $B$ 에서 한 번 세어졌으니 한 번 빼 줘야 합니다.
• $A\cap C$ 도 마찬가지입니다.
• $B\cap C$ 영역은 없으므로 더 뺄 것은 없습니다.

💡 공유된 식물은 앞 단계에서 두 번 세어졌으니 한 번씩 빼 주면 정확히 한 번만 세어진 상태가 됩니다.

• 부풀어 있던 합에서 공유량을 뺍니다.
• $B$ 와 $C$ 가 만나지 않으므로 세 화단 공통에 속하는 식물도 없고, 따라서 다시 더해 줄 항도 없습니다.

💡 벤 다이어그램에서 "부분을 더하고 두 번 센 만큼을 빼는" 정리가 선택지 (C) 로 정확히 떨어집니다.