AMC 8 · 2002 · #4
쉬운 모드 학년 4문제
회문(palindrome)이란 앞에서 읽으나 뒤에서 읽으나 똑같은 수를 말합니다. 예를 들어 2002는 왼쪽부터 읽어도 오른쪽부터 읽어도 똑같으니 회문입니다.
2002년 다음에 처음으로 나오는 회문인 연도를 찾아봅시다. 그 연도의 네 자릿수를 모두 곱해봅시다.
곱한 값은 얼마일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $2002$ 는 앞에서 읽으나 뒤에서 읽으나 같은 수, 즉 회문(回文)입니다. $2002$ 이후에 나오는 가장 가까운 회문 연도를 찾고, 그 네 자리 숫자를 모두 곱한 값을 구하세요.
주어진 것: 회문은 왼쪽에서 읽은 것과 오른쪽에서 읽은 것이 같은 수; $2002$ 는 $4$ 자리 회문 연도; $2002$ 보다 큰 회문 연도 중 가장 작은 것을 찾는다; 선택지: (A) $0$, (B) $4$, (C) $9$, (D) $16$, (E) $25$
구하는 것: 다음 회문 연도의 네 자리 숫자를 모두 곱한 값
이해
문제 재정리: $2002$ 는 앞에서 읽으나 뒤에서 읽으나 같은 수, 즉 회문(回文)입니다. $2002$ 이후에 나오는 가장 가까운 회문 연도를 찾고, 그 네 자리 숫자를 모두 곱한 값을 구하세요.
주어진 것: 회문은 왼쪽에서 읽은 것과 오른쪽에서 읽은 것이 같은 수; $2002$ 는 $4$ 자리 회문 연도; $2002$ 보다 큰 회문 연도 중 가장 작은 것을 찾는다; 선택지: (A) $0$, (B) $4$, (C) $9$, (D) $16$, (E) $25$
계획
주요 도구: #5 규칙 찾기
보조 도구: #6 추측하고 확인하기
$4$ 자리 회문은 항상 ABBA 꼴입니다 — 천의 자리 숫자와 일의 자리 숫자가 같고, 백의 자리 숫자와 십의 자리 숫자가 같다는 뜻이죠. 도구 #5(규칙 찾기)가 바로 이 모양을 잡아냅니다. 모양만 정해지면 마무리는 도구 #6(추측하고 확인하기)이 합니다 — $2002$ 와 가깝게 두기 위해 A는 $2$ 로 유지하고, B 의 다음 값만 시험해 보면 됩니다.
실행 — 정답: B
4.NBT.A.2 단계 1 - $4$ 자리 회문의 모양을 먼저 적습니다.
- 천의 자리를 A, 백의 자리를 B 라 하면, 십의 자리도 B 여야 하고 일의 자리도 A 여야 하므로 연도는 ABBA 로 읽힙니다.
💡 각 자리에는 자리값이 있고, 회문 규칙은 일의 자리를 천의 자리에, 십의 자리를 백의 자리에 묶어 줍니다.
4.NBT.A.2 단계 2 - $2002$ 를 그 모양에 맞춰 봅니다.
- 천의 자리가 $2$ 이므로 A $= 2$, 백의 자리가 $0$ 이므로 B $= 0$.
- 십의 자리($0$)와 일의 자리($2$)도 ABBA 규칙과 일치합니다.
💡 $2002$ 를 ABBA 로 읽어 두면 어떤 값부터 올려야 할지 한눈에 보입니다.
4.NBT.A.2 단계 3 - $2002$ 와 가깝게 두려면 A 는 $2$ 그대로 두고, B 만 다음 값으로 올려 봅니다.
- A 를 $3$ 으로 바꾸면 가장 작은 회문이 $3003$ 까지 튀어버려 너무 멀어집니다.
- 그래서 B 를 $0$ 에서 $1$ 로 올려 결과를 확인합니다.
💡 B 를 $1$ 만큼 올리면 연도는 백의 자리·십의 자리에서 각각 $1$ 씩 늘어 $110$ 만큼 커지므로, A 를 그대로 두는 한 가장 작은 도약입니다.
3.OA.C.7 단계 4 $2112$ 의 네 자리 숫자를 모두 곱합니다.
💡 $1$ 을 곱해도 값이 변하지 않으므로, 결국 $2 \times 2$ 만 남습니다.
4.NBT.A.2 $4$ 자리 회문의 모양을 먼저 적습니다. 천의 자리를 A, 백의 자리를 B 라 하면, 십의 자리도 B 여야 하고 일의 자리도 A 여야 하므로 4.NBT.A.2 $2002$ 를 그 모양에 맞춰 봅니다. 천의 자리가 $2$ 이므로 A $= 2$, 백의 자리가 $0$ 이므로 B $= 0$. 십의 자리($0$ 4.NBT.A.2 $2002$ 와 가깝게 두려면 A 는 $2$ 그대로 두고, B 만 다음 값으로 올려 봅니다. A 를 $3$ 으로 바꾸면 가장 작은 회문이 $30 3.OA.C.7 $2112$ 의 네 자리 숫자를 모두 곱합니다. 검토
합리성 확인: $2112$ 가 정말 회문인지 확인합니다 — 뒤에서 읽어도 $2112$, 같은 수입니다. 또 $2002$ 와 $2112$ 사이에 다른 회문이 없는지 봅니다. $2$ 로 시작하는 회문은 모두 $\overline{2BB2}$ 꼴이고 B 가 $0$ 과 $1$ 사이에서 가질 수 있는 값은 정확히 그 둘뿐이므로 $2002$ 와 $2112$ 사이에 끼어드는 회문은 없습니다. 마지막으로 $2 \times 1 \times 1 \times 2 = 4$ 가 선택지 (B) 와 일치하고, 함정 $0, 9, 16, 25$ 는 각각 $2020$, $2332$, $2222$, $2552$ 를 답으로 잘못 골랐을 때 나오는 값입니다 — 어느 것도 $2002$ 다음 회문은 아닙니다.
대안 접근: 도구 #2(체계적으로 나열하기): $2003$ 부터 한 해씩 올려가며 숫자를 뒤집어 봅니다. $2003 \to 3002$ (X), $2004 \to 4002$ (X), $\ldots$, $2112 \to 2112$ (O). 처음으로 일치하는 해가 $2112$ 이고, 그 자리 숫자를 곱하면 $4$. 규칙으로 푸는 것보다는 느리지만 모든 후보를 직접 확인하므로 빠뜨릴 일이 없습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.NBT.A.2다자리 자연수를 십진 표기·이름·전개식으로 읽고 쓰기 ($4$ 자리 연도에서 각 자리의 자리값을 알아채고 ABBA 회문 모양에 맞춰 $2112$ 를 다음 회문 연도로 찾는 데 사용.)3.OA.C.7$100$ 이내의 곱셈·나눗셈을 능숙하게 수행하기 (네 자리 숫자의 곱 $2 \times 1 \times 1 \times 2 = 4$ 를 계산하는 데 사용.)
⭐ $4$ 자리 회문은 언제나 ABBA 모양이라, $2002$ 다음 회문은 가운데 자리 숫자만 한 칸 올리면 나옵니다 — 그래서 $2112$, 그 자리 숫자를 곱하면 $4$.
⭐ $4$ 자리 회문은 언제나 ABBA 모양이라, $2002$ 다음 회문은 가운데 자리 숫자만 한 칸 올리면 나옵니다 — 그래서 $2112$, 그 자리 숫자를 곱하면 $4$.
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