AMC 8 · 2003 · #14
쉬운 모드 학년 4문제
다음 덧셈 퍼즐을 봅시다. 각 문자는 서로 다른 한 자리 숫자(0부터 9까지)를 나타냅니다.
\setlength\tabcolsep0.5mm+FTTOWWUOOR
즉 TWO+TWO=FOUR 입니다. 같은 문자는 같은 숫자를 의미하고, 서로 다른 문자는 서로 다른 숫자를 의미해요.
두 가지 단서가 있습니다. T=7이고, O는 짝수입니다.
이 두 조건만으로 W의 값은 한 가지로 정해집니다. W는 얼마일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 세로셈 $TWO + TWO = FOUR$ 에서 각 문자는 서로 다른 $0$ - $9$ 자리 숫자를 나타냅니다. $T = 7$ 이고 $O$ 가 짝수일 때, $W$ 의 유일한 값을 구하세요.
주어진 것: 세로셈: $TWO + TWO = FOUR$; 각 문자는 서로 다른 한 자리 숫자; $T = 7$; $O$ 는 짝수; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$
구하는 것: $W$ 의 값
이해
문제 재정리: 세로셈 $TWO + TWO = FOUR$ 에서 각 문자는 서로 다른 $0$ - $9$ 자리 숫자를 나타냅니다. $T = 7$ 이고 $O$ 가 짝수일 때, $W$ 의 유일한 값을 구하세요.
주어진 것: 세로셈: $TWO + TWO = FOUR$; 각 문자는 서로 다른 한 자리 숫자; $T = 7$; $O$ 는 짝수; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #3 가능성 지우기
필산 퍼즐은 한 덩어리처럼 보이지만, 세로셈은 네 개의 작은 문제를 자동으로 나눠 줍니다 (도구 #7): 천의 자리, 백의 자리, 일의 자리, 십의 자리. 가장 많은 글자를 빠르게 묶을 수 있는 순서 — 천 $\to$ 백 $\to$ 일 $\to$ 십 — 으로 풀면 $T, F, O, R$ 이 차례로 정해집니다. 마지막 십의 자리에서는 $W$ 후보가 $0, 1, 2, 3, 4$ 다섯 개로 줄어들고, 거기서 도구 #3(가능성 지우기) 이 "모든 글자는 서로 다른 숫자" 규칙으로 후보를 하나씩 지워 줍니다.
실행 — 정답: D
4.NBT.A.2 단계 1 - 작은 문제 1 — 천의 자리.
- 합이 합한 두 수보다 한 자리 더 길므로 $F$ 는 백의 자리에서 넘어온 올림입니다.
- 백의 자리 합은 최대 $T + T + 1 = 7 + 7 + 1 = 15$ 이므로 그 올림은 $1$ 만 가능합니다.
💡 4학년 자리값 추론: 자릿수에서 "위로 튀어나온" 숫자가 올림이고, 세 자리 수 두 배는 올림이 많아야 $1$ 이라는 점을 그대로 사용.
4.NBT.B.4 단계 2 - 작은 문제 2 — 백의 자리.
- $T + T + c_2 = 10F + O$ 이고 $c_2$ 는 십의 자리에서 올라온 올림 ($c_2 \in \{0, 1\}$).
- $T = 7, F = 1$ 을 대입합니다.
💡 4학년 표준 덧셈 알고리즘: 자릿수의 결과는 "열 합 $- 10 \times$ 올림". 짝수 조건이 두 경우 중 하나를 지웁니다.
4.NBT.B.4 단계 3 - 작은 문제 3 — 일의 자리.
- $O = 4$ 를 사용해 $O + O$ 를 계산하면 $R$ 과 십의 자리로의 올림 $c_1$ 이 정해집니다.
💡 이 자리는 받아올림이 없습니다 — 열 합이 한 자리 수라 그대로 $R$ 이 되고, 십의 자리로는 아무것도 넘어가지 않습니다.
4.OA.B.4 단계 4 - 작은 문제 4 — 십의 자리.
- 들어오는 올림이 $c_1 = 0$, 나가는 올림도 $c_2 = 0$ 이므로 $W + W = U$ 이고 $2W < 10$, 즉 $W \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.
- 이제 도구 #3(가능성 지우기)으로 "모든 글자는 서로 다른 숫자" 규칙과 이미 사용된 $\{T, F, O, R\} = \{7, 1, 4, 8\}$ 을 적용합니다.
💡 4학년 "수 범위 안에서 따지기": $W$ 는 두 배해도 한 자리여야 하고, 다른 글자와 겹치지도 말아야 합니다. 다섯 후보 중 하나만 남습니다.
4.NBT.A.2 작은 문제 1 — 천의 자리. 합이 합한 두 수보다 한 자리 더 길므로 $F$ 는 백의 자리에서 넘어온 올림입니다. 백의 자리 합은 최대 $T 4.NBT.B.4 작은 문제 2 — 백의 자리. $T + T + c_2 = 10F + O$ 이고 $c_2$ 는 십의 자리에서 올라온 올림 ($c_2 \in {0 4.NBT.B.4 작은 문제 3 — 일의 자리. $O = 4$ 를 사용해 $O + O$ 를 계산하면 $R$ 과 십의 자리로의 올림 $c_1$ 이 정해집니다. 4.OA.B.4 작은 문제 4 — 십의 자리. 들어오는 올림이 $c_1 = 0$, 나가는 올림도 $c_2 = 0$ 이므로 $W + W = U$ 이고 $2W < 검토
합리성 확인: 전체 대응 $T = 7, W = 3, O = 4, F = 1, U = 6, R = 8$ 을 원문제에 대입하면 $734 + 734 = 1468 = FOUR$ 가 맞습니다. 여섯 글자가 여섯 가지 서로 다른 숫자 $\{1, 3, 4, 6, 7, 8\}$ 을 쓰고, $T = 7$, $O = 4$ 가 짝수라는 조건도 모두 만족합니다. 다른 선택지들은 "모두 다른 숫자" 규칙을 위반하거나 $U \ge 10$ 이 되므로 $W = 3$ 이 유일한 답입니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)를 선택지에 바로 적용하면 시험장에서는 더 빠릅니다: $T = 7$ 로 고정하고 $W = 0, 1, 2, 3, 4$ 를 차례로 넣어 $2 \times \overline{7W4} = 2 \times (700 + 10W + 4)$ 를 계산한 뒤, 결과가 $1\,4\,U\,8$ 모양이고 여섯 자리가 모두 다른지만 확인합니다. $W = 3$ 일 때만 $1468$ 이 나와 (D) 와 일치합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.NBT.A.210진 표기법으로 여러 자리 수 읽고 쓰기, 자리값 인식하기 (맨 앞 글자 $F$ 가 백의 자리에서 넘어온 올림임을 파악하고 $F = 1$ 로 좁히는 데 사용.)4.NBT.B.4표준 알고리즘으로 여러 자리 수 더하고 빼기 (자릿수별 덧셈 $T + T + c_2 = 10F + O$ 와 $O + O = 10 c_1 + R$ 을 이용해 $O = 4$ 와 $R = 8$ 을 결정.)4.OA.B.4약수·배수 찾고 정해진 범위 안에서 수 추론하기 ($2W < 10$ 에서 $W \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ 후보를 만든 뒤 이미 사용된 숫자나 자기 자신과 겹치는 후보를 지우는 데 사용.)
⭐ 필산 퍼즐도 결국 세로셈입니다. 자리 하나씩 차근차근 풀면서 $F$, $O$, $R$ 을 차례로 묶고 나면 십의 자리에서는 $W$ 후보가 다섯 개뿐 — 모든 글자가 서로 다른 숫자가 되도록 만드는 건 $W = 3$ 하나입니다.
⭐ 필산 퍼즐도 결국 세로셈입니다. 자리 하나씩 차근차근 풀면서 $F$, $O$, $R$ 을 차례로 묶고 나면 십의 자리에서는 $W$ 후보가 다섯 개뿐 — 모든 글자가 서로 다른 숫자가 되도록 만드는 건 $W = 3$ 하나입니다.
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.