AMC 8 · 2005 · #13
쉬운 모드 학년 3문제
여섯 개의 꼭짓점이 A,B,C,D,E,F로 표시된 도형을 생각해봅시다. 모든 모서리는 직각이고, 변들은 모두 가로 아니면 세로 방향으로 뻗어 있어요. (큰 직사각형에서 한 모서리를 작은 직사각형 모양으로 떼어낸 모습입니다.)
이 도형 전체의 넓이는 52입니다. 세 변의 길이는 다음과 같이 알려져 있어요.
- AB=8
- BC=9
- FA=5
나머지 두 변은 DE와 EF입니다. DE+EF의 값은 얼마일까요?
그림
모든 모서리가 직각인 L자 육각형 ABCDEF — AB=8, BC=9, FA=5은 주어졌고 DE와 EF는 미지수입니다.
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 육각형 $ABCDEF$ 는 모든 꼭짓점이 직각인 L자 모양입니다. 차례대로 $AB = 8$ (윗변), $BC = 9$ (오른쪽 변), $FA = 5$ (왼쪽 위 변)이고, 다각형의 넓이는 $52$ 입니다. $DE + EF$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: $AB = 8$, $BC = 9$, $FA = 5$; 다각형 $ABCDEF$ 의 넓이는 $52$; 모든 내각이 직각인 (축에 평행한) L자 모양; 선택지: (A) $7$, (B) $8$, (C) $9$, (D) $10$, (E) $11$
구하는 것: $DE + EF$ 의 값
이해
문제 재정리: 육각형 $ABCDEF$ 는 모든 꼭짓점이 직각인 L자 모양입니다. 차례대로 $AB = 8$ (윗변), $BC = 9$ (오른쪽 변), $FA = 5$ (왼쪽 위 변)이고, 다각형의 넓이는 $52$ 입니다. $DE + EF$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: $AB = 8$, $BC = 9$, $FA = 5$; 다각형 $ABCDEF$ 의 넓이는 $52$; 모든 내각이 직각인 (축에 평행한) L자 모양; 선택지: (A) $7$, (B) $8$, (C) $9$, (D) $10$, (E) $11$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 나누기
도구 #1(그림 그리기) 이 핵심입니다. L자 모양을 그리고 변 길이를 적은 뒤, $AF$ 를 아래로, $DC$ 를 위로 연장해 새 꼭짓점 $O$ 에서 만나게 합니다. 그러면 L 모양은 큰 직사각형 $ABCO$ 의 한 모서리에서 가로 $EF$, 세로 $DE$ 인 작은 직사각형을 잘라낸 모양이 됩니다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 나누기) 로 문제를 두 단계로 쪼개세요. (a) 직각 구조에서 세로 변의 합을 이용해 $DE$ 를 구하기, (b) "큰 직사각형 − 잘라낸 직사각형 = $52$" 식으로 $EF$ 를 구하기. 도구 #13(대수로 바꾸기) 대신 #1 + #7 로 가면 한 번의 뺄셈과 한 번의 짧은 방정식만 풀면 됩니다. 연립방정식이 필요 없습니다.
실행 — 정답: C
3.G.A.1 단계 1 - 그림을 그리고 직사각형을 완성합니다.
- $ABCDEF$ 를 L자 모양으로 그린 뒤, $FA$ 를 아래로, $DC$ 를 위로 연장해 새 꼭짓점 $O$ 에서 만나게 합니다.
- 이때 $ABCO$ 는 가로 $AB = 8$, 세로 $BC = 9$ 인 직사각형이고, 원래 L 모양은 이 직사각형에서 한 모서리의 작은 직사각형 $FEDO$ 를 잘라낸 것과 같습니다.
💡 L 모양을 직사각형으로 채우면, 익숙하지 않은 6각형이 두 직사각형의 차이가 됩니다. 직사각형 넓이는 가로 × 세로 한 번이면 끝나죠.
3.MD.D.8 단계 2 - 작은 문제 1: 세로 변들로부터 $DE$ 를 구합니다.
- 그림 왼쪽에서 세로 방향 길이는 위쪽 $FA$ 와 아래쪽 $DE$ 가 합쳐져 오른쪽의 전체 세로 $BC$ 와 같아야 합니다.
- 따라서 $FA + DE = BC$.
💡 축에 평행한 도형에서 왼쪽 세로 변들의 합은 오른쪽 세로 변의 합과 같습니다. 같은 두 가로선 사이를 잇는 두 경로의 세로 길이가 같다는 뜻일 뿐이에요.
3.MD.C.7 단계 3 - 작은 문제 2: 넓이로부터 $EF$ 를 구합니다.
- L의 넓이는 큰 직사각형에서 가로 $EF$, 세로 $DE = 4$ 인 잘라낸 직사각형 $FEDO$ 를 뺀 값입니다.
💡 "큰 직사각형 − 작은 직사각형" 은 어떤 L자 넓이라도 가장 깔끔하게 다루는 방법입니다.
3.OA.D.8 단계 4 두 조각을 더해 답을 구합니다.
💡 작은 문제 두 개의 답을 합치는 마무리 단계입니다.
3.G.A.1 그림을 그리고 직사각형을 완성합니다. $ABCDEF$ 를 L자 모양으로 그린 뒤, $FA$ 를 아래로, $DC$ 를 위로 연장해 새 꼭짓점 $O 3.MD.D.8 작은 문제 1: 세로 변들로부터 $DE$ 를 구합니다. 그림 왼쪽에서 세로 방향 길이는 위쪽 $FA$ 와 아래쪽 $DE$ 가 합쳐져 오른쪽의 전 3.MD.C.7 작은 문제 2: 넓이로부터 $EF$ 를 구합니다. L의 넓이는 큰 직사각형에서 가로 $EF$, 세로 $DE = 4$ 인 잘라낸 직사각형 $FED 3.OA.D.8 두 조각을 더해 답을 구합니다. 검토
합리성 확인: 값을 그림에 다시 넣어 확인합니다. $DE = 4$, $EF = 5$ 이면 잘라낸 모서리는 가로 $5$, 세로 $4$ 인 넓이 $20$ 의 직사각형입니다. 큰 직사각형 넓이는 $8 \times 9 = 72$. 빼면 $72 - 20 = 52$ 로 주어진 넓이와 정확히 일치합니다. 크기 점검: $DE$ 는 $BC = 9$ 보다 작아야 하고 (왼쪽 변의 일부일 뿐) $EF$ 는 $AB = 8$ 보다 작아야 하므로 $DE + EF < 17$. 답 $9$ 는 안전한 범위에 들어갑니다. (A) $7$ 이면 $4\,EF = 12$ 가 되어 넓이가 $72 - 12 = 60 \neq 52$ 이고, (E) $11$ 이면 $4\,EF = 28$ 이 되어 넓이가 $72 - 28 = 44 \neq 52$. $9$ 만 맞습니다.
대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) 을 한 번 더, 이번에는 L을 두 직사각형으로 자르는 방식. $EF$ 를 오른쪽으로 연장해 $BC$ 와 만나는 점 $P$ 까지 그립니다. 그러면 L은 위쪽 직사각형 $ABPF$ (가로 $8$, 세로 $FA = 5$, 넓이 $40$) 와 아래쪽 직사각형 $PCDE$ (가로 $CD$, 세로 $BC - FA = 4$) 로 나뉩니다. 위·아래 가로 합이 같아야 하므로 $CD = 8 - EF$. 총 넓이를 $52$ 로 놓으면 $40 + 4(8 - EF) = 52 \Rightarrow 32 - 4EF = 12 \Rightarrow EF = 5$, $DE = BC - FA = 4$. 합은 $9$, 답 (C).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)
3.G.A.1도형의 공통 속성을 이해하고, 공통 속성으로 더 큰 범주를 정의하기 (L 모양의 직각 구조를 인식하고, 큰 직사각형에서 작은 직사각형을 잘라낸 형태로 재구성하는 데 사용.)3.MD.C.7넓이를 곱셈·덧셈 연산과 연결하기 (겹치지 않는 직사각형으로 분해해 넓이 구하기 포함) (L 모양의 넓이를 $\text{큰 직사각형 넓이} - \text{잘라낸 직사각형 넓이}$ 로 보고 $8 \times 9 - EF \times DE = 52$ 를 세우는 데 사용.)3.MD.D.8다각형의 둘레와 변의 길이를 다루는 실생활·수학 문제 해결하기 (직각 구조에서 $FA + DE = BC$ 임을 이용해 $DE = 9 - 5 = 4$ 를 구하는 데 사용.)3.OA.D.8사칙연산을 이용한 두 단계 문장제 해결하기 ($DE = 4$ 와 $EF = 5$ 를 덧셈으로 합쳐 묻는 값 $DE + EF = 9$ 를 얻는 데 사용.)
⭐ L자 모양을 큰 직사각형으로 채우면 빠진 부분은 더 작은 직사각형. "큰 직사각형 − 잘라낸 직사각형 = $52$" 가 $EF$ 를, "왼쪽 세로 변의 합 = 오른쪽 세로 변" 이 $DE$ 를 알려 줍니다. 3학년 넓이 계산만으로 풀려요.
⭐ L자 모양을 큰 직사각형으로 채우면 빠진 부분은 더 작은 직사각형. "큰 직사각형 − 잘라낸 직사각형 = $52$" 가 $EF$ 를, "왼쪽 세로 변의 합 = 오른쪽 세로 변" 이 $DE$ 를 알려 줍니다. 3학년 넓이 계산만으로 풀려요.
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.
