AMC 8 · 2005 · #16
쉬운 모드 학년 4문제
다리가 다섯 개인 화성인을 한 명 상상해봅시다. 화성인의 서랍에는 양말이 가득 들어 있고, 각 양말은 빨간색, 흰색, 파란색 중 하나입니다. 각 색깔의 양말은 적어도 5개씩은 있어요.
화성인은 서랍 안을 보지 않고 양말을 한 번에 한 짝씩 꺼냅니다.
화성인은 같은 색 양말 5개를 확실히 모으고 싶어요. 어떤 색깔 순서로 나오든 같은 색이 5개 모이는 것을 보장하려면, 양말을 최소 몇 짝 꺼내야 할까요?
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AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 화성인의 서랍에는 빨강, 흰색, 파랑 양말이 들어 있고 색깔마다 적어도 $5$ 켤레씩 있습니다. 보지 않고 한 번에 한 짝씩 꺼낼 때, 같은 색 양말 $5$ 짝을 반드시 갖게 되려면 최소 몇 짝을 꺼내야 할까요?
주어진 것: 가능한 색깔은 빨강, 흰색, 파랑의 세 가지; 각 색깔마다 양말이 $5$ 짝 이상 들어 있음; 양말은 보지 않고 한 짝씩 꺼냄; 선택지: (A) $6$, (B) $9$, (C) $12$, (D) $13$, (E) $15$
구하는 것: 같은 색 양말이 $5$ 짝 모이도록 보장되는 최소 꺼냄 횟수
이해
문제 재정리: 화성인의 서랍에는 빨강, 흰색, 파랑 양말이 들어 있고 색깔마다 적어도 $5$ 켤레씩 있습니다. 보지 않고 한 번에 한 짝씩 꺼낼 때, 같은 색 양말 $5$ 짝을 반드시 갖게 되려면 최소 몇 짝을 꺼내야 할까요?
주어진 것: 가능한 색깔은 빨강, 흰색, 파랑의 세 가지; 각 색깔마다 양말이 $5$ 짝 이상 들어 있음; 양말은 보지 않고 한 짝씩 꺼냄; 선택지: (A) $6$, (B) $9$, (C) $12$, (D) $13$, (E) $15$
계획
주요 도구: #14 극단의 원리
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #2 빠짐없이 나열하기
"반드시" 라는 말이 도구 #14(극단의 원리)의 신호입니다. 답은 운 좋게 빨리 모이는 경우가 아니라, 가장 운 나쁜 순서가 강요하는 값이에요. 가장 운 나쁜 경우는 한 색깔이 $5$ 에 닿는 순간을 최대한 미루는 것 — 세 색깔에 가능한 한 고르게 펼쳐 꺼내는 거죠. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 작은 버전(예: $2$ 색에서 $3$ 짝)으로 감을 잡고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 색깔별 최악의 누적을 적어 두면 셈 실수가 없습니다.
실행 — 정답: D
3.OA.A.1 단계 1 - 더 쉬운 버전으로 몸을 풀어 봅시다.
- 색깔이 $2$ 가지이고 같은 색 $3$ 짝을 모으는 경우.
- 가장 운 나쁜 순서는 두 색에서 $2$ 짝씩 — $2 \times 2 = 4$ 짝까지는 어느 색도 $3$ 이 아닙니다.
- 그러면 그 다음($5$ 번째) 짝은 어떤 색이든 그 색을 $3$ 으로 만들죠.
- 그래서 작은 답은 $(\text{목표} - 1) \times (\text{색깔 수}) + 1 = 2 \times 2 + 1 = 5$.
- 이 식이 그대로 옮겨갑니다.
💡 3학년의 "같은 묶음" 곱셈 그림이에요. 묶음은 색깔이고, 한 묶음은 "목표 $-1$" 까지 채울 수 있어요.
3.OA.A.1 단계 2 - 이제 원래 문제의 최악 경우를 구성합니다.
- 색이 $3$ 가지이고 목표가 $5$ 짝이니, 가장 운 나쁜 순서는 세 색 모두 $4$ 짝씩 뽑힌 상태.
- 색깔별 누적을 적어 두면 "$5$ 가 되기 직전" 의 최대값이 보입니다.
💡 $3$ 묶음 $\times$ $4$ 짝의 "같은 묶음" 그림이 곧 $3 \times 4 = 12$. 세 색 모두 아직 $5$ 가 아닙니다.
3.OA.D.8 단계 3 - 극단의 원리로 결정타.
- $4 + 4 + 4 = 12$ 짝까지 뽑은 다음, $13$ 번째 짝은 빨강·흰색·파랑 중 하나일 수밖에 없고, 어느 색이든 그 색의 누적은 $4$ 에서 $5$ 로 올라갑니다.
- 그래서 $13$ 짝이면 반드시 같은 색 $5$ 짝이 확보되고, $12$ 짝으로는 못 됩니다.
- 보장되는 최소값은 $13$.
💡 "최악 + 1" 은 3학년 두 단계 사고예요. 가장 운 나쁜 합을 구한 뒤 $1$ 을 더해 임계점을 넘기는 거죠.
4.OA.A.3 단계 4 - $12$ 짝으로는 부족하다는 점을 확인.
- $12$ 짝만 뽑으면 최악 분배 $(4,4,4)$ 가 가능하고, 그러면 어느 색도 $5$ 가 안 됩니다.
- 따라서 $12$ 는 보장값이 될 수 없고, 그보다 작은 답들도 같은 이유로 탈락.
💡 반례 한 줄로 후보 답을 탈락시키는 4학년 "답이 말이 되나?" 습관을 거꾸로 쓴 거예요.
3.OA.A.1 더 쉬운 버전으로 몸을 풀어 봅시다. 색깔이 $2$ 가지이고 같은 색 $3$ 짝을 모으는 경우. 가장 운 나쁜 순서는 두 색에서 $2$ 짝씩 — 3.OA.A.1 이제 원래 문제의 최악 경우를 구성합니다. 색이 $3$ 가지이고 목표가 $5$ 짝이니, 가장 운 나쁜 순서는 세 색 모두 $4$ 짝씩 뽑힌 상태 3.OA.D.8 극단의 원리로 결정타. $4 + 4 + 4 = 12$ 짝까지 뽑은 다음, $13$ 번째 짝은 빨강·흰색·파랑 중 하나일 수밖에 없고, 어느 색이 4.OA.A.3 $12$ 짝으로는 부족하다는 점을 확인. $12$ 짝만 뽑으면 최악 분배 $(4,4,4)$ 가 가능하고, 그러면 어느 색도 $5$ 가 안 됩니다 검토
합리성 확인: 공식 $(\text{목표} - 1) \times (\text{색깔 수}) + 1 = (5-1) \times 3 + 1 = 4 \times 3 + 1 = 13$ 에 그대로 대입하면 (D) 가 나옵니다. 인접 선택지도 점검: (C) $12$ 는 정확히 "최악 $(4,4,4)$" 에 막혀 한 짝 모자라고, (E) $15$ 는 이미 $13$ 짝에서 보장이 끝나므로 과합니다. 문제의 "다섯 다리" 와 "각 색 $5$ 짝 이상" 조건은 도중에 서랍이 비지 않게 해 줄 뿐이고, $13$ 짝 안에 그런 일은 결코 일어나지 않습니다.
대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): 양말을 "뽑는" 대신 색깔별 통 $3$ 개에 "넣는" 그림으로 봅니다. 모든 통이 $4$ 이하면 합은 최대 $3 \times 4 = 12$. 그러니 $12$ 짝은 모든 통을 $4$ 로 유지할 수 있지만, $13$ 짝은 불가능 — 어떤 통은 $5$ 이상이 됩니다. 같은 답 $13$ 을, 3학년 "나머지 있는 나눗셈" 그림($\lceil 13/3 \rceil = 5$)으로 다시 설명한 셈입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
3.OA.A.1자연수의 곱을 같은 묶음의 총 개수로 해석하기 (최악 누적에서 색깔 $3$ 가지 $\times$ 색당 $4$ 짝 $= 3 \times 4 = 12$ 을 "같은 묶음" 그림으로 읽어 "아직 $5$ 가 아닌" 최대 합을 못 박는 데 사용.)3.OA.D.8사칙연산을 활용한 두 단계 문장제 해결 (최악 곱셈 $3 \times 4 = 12$ 과 임계점을 넘기는 "$+1$" 을 결합해 보장값 $13$ 을 만드는 데 사용.)4.OA.A.3자연수를 이용한 다단계 문장제 해결 (쉬운 예열, 최악 구성, "$+1$" 마무리, "$12$ 짝으로는 부족" 확인까지 묶어 답 $13$ 으로 끝맺는 다단계 문장제로 사용.)
⭐ "반드시" 문제는 가장 운 나쁜 경우로 풉니다. 가능한 한 고르게 펼친 다음, 한 짝만 더 — 그 한 짝이 보장값을 만듭니다.
⭐ "반드시" 문제는 가장 운 나쁜 경우로 풉니다. 가능한 한 고르게 펼친 다음, 한 짝만 더 — 그 한 짝이 보장값을 만듭니다.
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