AMC 8 · 2006 · #6

쉬운 모드 학년 3

문제

직사각형 두 개를 떠올려 봅시다. 두 직사각형은 모두 가로 $2$ 인치, 세로 $4$ 인치 크기입니다.

이 두 직사각형을 붙여서 알파벳 T 모양을 만듭니다. 한 직사각형은 가로로 누워서 T의 윗부분이 되고, 다른 직사각형은 그 아래에 세로로 세워져 T의 기둥이 됩니다. 윗부분의 아랫변 가운데가 기둥의 윗변에 닿아 있어요.

이렇게 만든 T 모양의 둘레는 몇 인치일까요? (둘레는 바깥쪽을 따라 한 바퀴 돈 길이입니다.)

그림

2×4인치 직사각형 두 개로 만든 T; 바깥쪽 변의 길이를 따라가 보세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $2 \times 4$ 인치 직사각형 두 개를 붙여 알파벳 T 모양을 만듭니다 — 하나는 위쪽에 가로로 눕히고, 다른 하나는 그 아래 가운데에 세로로 세웁니다. 이렇게 만들어진 T의 둘레는 몇 인치인가요?

주어진 것: 각 직사각형의 크기는 $2$ 인치 × $4$ 인치; 두 직사각형을 합쳐 알파벳 T 모양을 이룬다; 위쪽 직사각형은 가로 $4$ 인치, 세로 $2$ 인치이고, 세로로 선 직사각형은 가로 $2$ 인치, 세로 $4$ 인치이며 위쪽 직사각형의 아래 변 가운데에 붙어 있다; 선택지: (A) $12$, (B) $16$, (C) $20$, (D) $22$, (E) $24$

구하는 것: T 모양의 둘레 (단위: 인치)

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 부분 문제로 나누기

도형의 둘레를 묻는 문제, 특히 모양이 직사각형이 아닐 때는 도구 #1(그림 그리기)이 가장 자연스러운 첫 단계입니다. T를 그린 다음 변마다 길이를 적고, 바깥 경계를 한 바퀴 따라가며 더하면 됩니다. T의 변은 모두 여덟 개이고 각 변은 $1$, $2$, $4$ 인치 중 하나여서 그림에서 곧바로 읽을 수 있어요. 도구 #7(부분 문제로 나누기)은 검산용 — T를 두 직사각형으로 보고, 각 둘레를 더한 뒤 안쪽에 숨어 버린 부분을 빼면 같은 답이 나옵니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 3.MD.D.8 단계 1

T를 그리고 각 변에 길이를 표시합니다.
위쪽 직사각형은 가로 $4$ 인치, 세로 $2$ 인치, 세로 직사각형은 가로 $2$ 인치, 세로 $4$ 인치입니다.
세로 직사각형(폭 $2$)이 위쪽 직사각형(폭 $4$)의 가운데에 붙어 있으므로 양쪽으로 $\dfrac{4 - 2}{2} = 1$ 인치씩 위쪽 직사각형이 튀어나옵니다.

$$\text{양쪽 튀어나오는 길이} = \dfrac{4 - 2}{2} = 1 \text{ 인치}$$

💡 도형을 그리고 각 변 옆에 길이를 적으면, 문제는 "경계를 따라가며 더하기"로 단순해집니다.

#1 그림 그리기 3.MD.D.8 단계 2

T의 왼쪽 위 꼭짓점에서 출발해 시계 방향으로 경계를 따라갑니다.
변을 차례대로 적으면: 위쪽 가로 변, 위쪽 직사각형 오른쪽 세로 변, 오른쪽 튀어나온 부분(가로), 세로 직사각형 오른쪽 변, 아래쪽 변, 세로 직사각형 왼쪽 변, 왼쪽 튀어나온 부분(가로), 위쪽 직사각형 왼쪽 세로 변.

$$\text{차례대로 변의 길이} = 4,\; 2,\; 1,\; 4,\; 2,\; 4,\; 1,\; 2 \text{ 인치}$$

💡 한 방향으로 한 바퀴 돌면 모든 바깥 변을 정확히 한 번씩 세게 됩니다.

#1 그림 그리기 3.MD.D.8 단계 3

여덟 개 변의 길이를 모두 더해 둘레를 구합니다.

$$P = 4 + 2 + 1 + 4 + 2 + 4 + 1 + 2 = 20 \text{ 인치} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 변을 묶어서 더하면 깔끔합니다: 맨 위 + 맨 아래 $= 4 + 2 = 6$, 세로 기둥의 긴 두 변 $= 4 + 4 = 8$, 위쪽 직사각형의 짧은 두 변 $= 2 + 2 = 4$, 양쪽 튀어나옴 $= 1 + 1 = 2$. 합치면 $6 + 8 + 4 + 2 = 20$.

[1] #1 3.MD.D.8 T를 그리고 각 변에 길이를 표시합니다. 위쪽 직사각형은 가로 $4$ 인치, 세로 $2$ 인치, 세로 직사각형은 가로 $2$ 인치, 세로 $4$

[2] #1 3.MD.D.8 T의 왼쪽 위 꼭짓점에서 출발해 시계 방향으로 경계를 따라갑니다. 변을 차례대로 적으면: 위쪽 가로 변, 위쪽 직사각형 오른쪽 세로 변, 오른쪽

[3] #1 3.MD.D.8 여덟 개 변의 길이를 모두 더해 둘레를 구합니다.

검토

합리성 확인: 두 $2 \times 4$ 직사각형을 따로 두면 각자의 둘레는 $2(2+4) = 12$ 이고, 합치면 $24$ 인치입니다. 두 직사각형이 T 모양으로 붙으면 두 직사각형 각각의 변 $2$ 인치가 도형 안쪽으로 숨어 버립니다. 그래서 둘레는 $2 + 2 = 4$ 인치만큼 줄어 $24 - 4 = 20$ 인치가 됩니다. 경계 따라가기로 얻은 답과 일치하고, $20$ 은 선택지 중 하나이며 $16$ 과 $24$ 사이에 있어 "두 직사각형을 붙인 도형"의 둘레로 자연스러운 값입니다.

대안 접근: 도구 #7(부분 문제로 나누기): 직사각형 각각의 둘레를 따로 구한 뒤 공유 변을 빼는 방법입니다. 한 직사각형의 둘레는 $2(2+4) = 12$ 이므로 둘이 합치면 $24$ 인치. 두 직사각형은 $2$ 인치 길이로 맞닿아 있고(세로 직사각형의 윗변이 위쪽 직사각형 아래 변의 가운데 $2$ 인치와 만남), 이 부분은 두 직사각형의 둘레에 각각 포함돼 있지만 T의 경계에서는 사라집니다. 그래서 $24 - 2 \cdot 2 = 20$ 인치.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

3.MD.D.8 다각형의 둘레를 포함한 실생활 및 수학 문제 해결 (T의 여덟 개 바깥 변의 길이를 더해 둘레를 구하는 데 사용.)
3.OA.D.8 사칙연산을 이용한 두 단계 문장제 해결 (변 길이를 더하기 전에 $(4 - 2) \div 2$ 로 한쪽 튀어나오는 길이 $1$ 인치를 구하는 데 사용.)

⭐ 직사각형이 아닌 도형의 둘레를 구할 때는 그림을 그리고 각 변에 길이를 적은 뒤 바깥을 한 바퀴 따라가며 더하면 됩니다 — $4+2+1+4+2+4+1+2 = 20$.

문제

그림

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

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