AMC 8 · 2007 · #9
쉬운 모드 학년 4문제
4×4 격자판을 떠올려봅시다. 몇 칸에는 숫자가 적혀 있고, 나머지 칸은 비어 있어요.
규칙은 이래요. 각 가로줄에는 숫자 1,2,3,4가 각각 한 번씩만 나와야 해요. 각 세로줄에도 마찬가지로 1,2,3,4가 각각 한 번씩만 나와야 해요.
격자판은 다음과 같습니다:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline 1 & & 2 &\\ \hline 2 & 3 & &\\ \hline & &&4\\ \hline & &&\\ \hline\end{tabular}
오른쪽 맨 아래 칸(가장 오른쪽 아래 모서리)에 들어갈 숫자는 무엇일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $4 \times 4$ 격자를 채우려고 합니다. 각 행과 각 열에 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$ 가 정확히 한 번씩 들어가야 하고, 몇 칸은 이미 채워져 있습니다. 오른쪽 아래 칸에 들어갈 숫자를 구하세요.
주어진 것: 격자는 $4 \times 4$; $1$ 행: $1$ 열에 $1$, $3$ 열에 $2$; $2$ 행: $1$ 열에 $2$, $2$ 열에 $3$; $3$ 행: $4$ 열에 $4$; 각 행은 $1$, $2$, $3$, $4$ 를 정확히 한 번씩 사용; 각 열도 $1$, $2$, $3$, $4$ 를 정확히 한 번씩 사용; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) 결정할 수 없음
구하는 것: 오른쪽 아래 칸 $(4,4)$ 에 들어갈 숫자
이해
문제 재정리: $4 \times 4$ 격자를 채우려고 합니다. 각 행과 각 열에 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$ 가 정확히 한 번씩 들어가야 하고, 몇 칸은 이미 채워져 있습니다. 오른쪽 아래 칸에 들어갈 숫자를 구하세요.
주어진 것: 격자는 $4 \times 4$; $1$ 행: $1$ 열에 $1$, $3$ 열에 $2$; $2$ 행: $1$ 열에 $2$, $2$ 열에 $3$; $3$ 행: $4$ 열에 $4$; 각 행은 $1$, $2$, $3$, $4$ 를 정확히 한 번씩 사용; 각 열도 $1$, $2$, $3$, $4$ 를 정확히 한 번씩 사용; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) 결정할 수 없음
계획
주요 도구: #3 가능성 지우기
보조 도구: #1 그림 그리기
$(4,4)$ 는 $4$ 열에 있습니다. 규칙에 따라 $4$ 열에는 $1$, $2$, $3$, $4$ 가 모두 들어가야 하죠. $4$ 열의 네 칸 중 세 칸은 이미 숫자가 있거나, 같은 행에 같은 숫자가 있어 후보가 막힙니다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 $(4,4)$ 의 후보를 하나씩 지우면 결국 한 숫자만 남습니다. 도구 #1(그림 그리기)은 행·열 충돌을 한눈에 보기 위해 격자를 옆에 두는 역할입니다. 대수는 필요 없고, 행·열 점검만으로 충분합니다.
실행 — 정답: B
3.OA.D.9 단계 1 - 격자를 그리고 $4$ 열의 네 칸을 표시합니다.
- 우리가 구하려는 칸은 $(4,4)$ 입니다.
- 나머지 세 칸은 각자의 행과 비교해 어떤 숫자가 들어갈 수 있고 없는지 따져보면 됩니다.
💡 격자를 직접 그리면 행·열 규칙이 눈에 들어옵니다. 각 행과 각 열은 $1$~$4$ 를 정확히 한 번씩 가져야 한다는 3학년 패턴 인식 단계입니다.
4.OA.C.5 단계 2 - $(3,4)$ 가 이미 $4$ 이므로 $4$ 열의 $4$ 는 이 칸에 들어갔습니다.
- 따라서 $(1,4)$, $(2,4)$, $(4,4)$ 에는 $1$, $2$, $3$ 이 어떤 순서로든 들어가야 합니다.
💡 이미 자리 잡은 숫자를 빼면 남은 빈 칸의 후보가 $\{1, 2, 3\}$ 으로 줄어듭니다.
4.OA.C.5 단계 3 - $4$ 열에서 숫자 $2$ 가 어디에 들어갈 수 있는지 찾습니다.
- 행을 보며 각 칸을 점검합니다.
- $1$ 행은 $(1,3)$ 에 $2$ 가 있으므로 $(1,4) \ne 2$.
- $2$ 행은 $(2,1)$ 에 $2$ 가 있으므로 $(2,4) \ne 2$.
- $4$ 열에서 $2$ 가 들어갈 수 있는 곳은 맨 아래 $(4,4)$ 뿐입니다.
💡 한 열을 골라서 숫자 $2$ 가 못 들어가는 칸을 차례로 지우면, 남는 칸이 자동으로 그 숫자의 자리가 됩니다.
4.OA.C.5 단계 4 따라서 $(4,4) = 2$ 이고, 답은 선택지 (B) 입니다.
💡 후보 중 정확히 한 숫자만 남았으므로 답이 결정됩니다 — (E) "결정할 수 없음" 도 자연히 배제됩니다.
3.OA.D.9 격자를 그리고 $4$ 열의 네 칸을 표시합니다. 우리가 구하려는 칸은 $(4,4)$ 입니다. 나머지 세 칸은 각자의 행과 비교해 어떤 숫자가 들 4.OA.C.5 $(3,4)$ 가 이미 $4$ 이므로 $4$ 열의 $4$ 는 이 칸에 들어갔습니다. 따라서 $(1,4)$, $(2,4)$, $(4,4)$ 에는 4.OA.C.5 $4$ 열에서 숫자 $2$ 가 어디에 들어갈 수 있는지 찾습니다. 행을 보며 각 칸을 점검합니다. $1$ 행은 $(1,3)$ 에 $2$ 가 있으 4.OA.C.5 따라서 $(4,4) = 2$ 이고, 답은 선택지 (B) 입니다. 검토
합리성 확인: 격자를 끝까지 채워서 규칙이 잘 지켜지는지 확인해 봅시다. $1$ 행에는 $(1,2)$ 와 $(1,4)$ 에 $3$ 과 $4$ 가 들어가야 합니다. $2$ 열에는 이미 $(2,2)$ 에 $3$ 이 있으므로 $(1,2) \ne 3$ → $(1,2) = 4$, $(1,4) = 3$. 그러면 $4$ 열에는 $(1,4) = 3$, $(3,4) = 4$, $(4,4) = 2$ 이므로 $(2,4) = 1$. 모든 행과 열이 $1$, $2$, $3$, $4$ 를 정확히 한 번씩 쓰고, 오른쪽 아래 칸이 $2$ 라는 결론과 일치합니다.
대안 접근: 도구 #1(그림 그리기)로 격자 전체를 추론으로 채우는 방법: $1$ 행은 $3$ 과 $4$ 가 더 필요한데 $2$ 열에 이미 $3$ 이 있으므로 $1$ 행은 $1, 4, 2, 3$. $2$ 행은 $1$ 과 $4$ 가 필요하고 $3$ 열은 $1$ 을 받으니 $2$ 행은 $2, 3, 4, 1$. $3$ 행 앞 세 칸에는 $1, 2, 3$ 이 들어가야 하고 $1$ 열에 이미 $1, 2$ 가 있으므로 $(3,1) = 3$, 나머지를 채우면 $3$ 행은 $3, 1, 2, 4$. $4$ 행에 남은 숫자를 채워 넣으면 $(4,4)$ 에는 $4$ 열에 아직 안 쓰인 $2$ 가 들어가 결론이 같아집니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
3.OA.D.9연산 성질을 이용해 산술 패턴을 찾고 설명하기 (각 행과 각 열에 $1$, $2$, $3$, $4$ 가 정확히 한 번씩 들어가는 라틴 방진(Latin square) 패턴을 인식하는 데 사용.)4.OA.C.5규칙을 따르는 수·도형 패턴을 만들고 그 패턴의 특징 찾기 (행·열 규칙을 $4$ 열 각 칸에 적용해 불가능한 숫자를 지우고, 오른쪽 아래 칸에 들어갈 단 하나의 숫자를 결정하는 데 사용.)
⭐ 구해야 할 칸이 있는 열만 집중해서 봅니다. 같은 행이나 같은 열 때문에 막히는 숫자를 하나씩 지우면 마지막에 남는 숫자가 답입니다.
⭐ 구해야 할 칸이 있는 열만 집중해서 봅니다. 같은 행이나 같은 열 때문에 막히는 숫자를 하나씩 지우면 마지막에 남는 숫자가 답입니다.
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