AMC 8 · 2008 · #17
쉬운 모드 학년 4문제
오스본 선생님이 학생들에게 직사각형을 하나씩 그리라고 합니다.
직사각형은 두 가지 규칙을 지켜야 해요. 변의 길이는 자연수여야 하고, 둘레는 정확히 50 단위여야 합니다.
학생들은 자기가 그린 직사각형의 넓이를 구합니다. 학생마다 그린 직사각형이 다를 수 있으니까 넓이도 다를 수 있어요.
가능한 넓이 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값의 차이는 얼마일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 각 학생은 변의 길이가 모두 정수이고 둘레가 $50$ 인 직사각형을 그립니다. 그리고 그 넓이를 계산합니다. 가능한 가장 큰 넓이와 가장 작은 넓이의 차이는 얼마인가요?
주어진 것: 직사각형의 변의 길이는 정수이다; 둘레는 $50$ 유닛이다; 선택지: (A) $76$, (B) $120$, (C) $128$, (D) $132$, (E) $136$
구하는 것: 가능한 가장 큰 넓이와 가장 작은 넓이의 차이
이해
문제 재정리: 각 학생은 변의 길이가 모두 정수이고 둘레가 $50$ 인 직사각형을 그립니다. 그리고 그 넓이를 계산합니다. 가능한 가장 큰 넓이와 가장 작은 넓이의 차이는 얼마인가요?
주어진 것: 직사각형의 변의 길이는 정수이다; 둘레는 $50$ 유닛이다; 선택지: (A) $76$, (B) $120$, (C) $128$, (D) $132$, (E) $136$
계획
주요 도구: #14 극단의 원리
보조 도구: #4 변수 도입하기, #2 체계적으로 나열하기
둘레 조건에서 $l + w = 25$ 가 고정됩니다. 그러면 넓이 $l \times w$ 는 $25$ 를 두 양의 정수로 어떻게 가르느냐에 따라 달라져요. 합이 정해진 두 수의 곱의 최댓값과 최솟값을 묻고 있으므로 도구 #14(극단의 원리)가 핵심입니다 — 두 수가 가장 가까울 때 곱이 가장 크고, 가장 멀 때 가장 작거든요. 도구 #4(변수 도입하기)로 변의 길이에 $l$, $w$ 라는 이름을 붙이고, 도구 #2(체계적으로 나열하기)로 양 끝 쌍을 확인하면 극단값이 맞는지 점검할 수 있습니다.
실행 — 정답: D
3.MD.D.8 단계 1 - 변에 이름을 붙이고 둘레 조건을 간단한 합으로 바꿉니다.
- 길이를 $l$, 너비를 $w$ 라 합시다.
- 둘레는 $2(l+w)=50$, 즉 $l+w=25$.
- 둘 다 양의 정수여야 합니다.
💡 직사각형 둘레 $P = 2(l+w)$ 는 3학년 둘레 단원 그대로입니다. 양변을 $2$ 로 나누면 단순한 합 조건이 됩니다.
3.MD.C.7 단계 2 - 합이 고정된 곱에 극단의 원리를 적용합니다.
- $l + w = 25$ 가 고정이므로 $w = 25 - l$ 로 두면 넓이는 $A = l(25-l)$.
- $l$ 이 가운데($12$ 나 $13$)에서 양 끝($1$ 이나 $24$)으로 갈수록 두 인수가 멀어지고 곱은 작아집니다.
- 곱은 두 인수가 가장 가까울 때 가장 큽니다.
💡 직사각형의 넓이는 가로 $\times$ 세로(3학년). $25$ 의 정수 분할 중 가장 가까운 쌍은 $(12,13)$, 가장 먼 쌍은 $(1,24)$.
3.MD.C.7 단계 3 - 양 끝 경우를 나열하고 계산합니다.
- $(12,13)$ 이 가장 큰 넓이, $(1,24)$ 가 가장 작은 넓이.
- 정수 쌍 목록을 훑어 보면 그 사이 값들은 모두 이 두 극단 사이에 있음을 확인할 수 있습니다.
💡 쌍을 나열하면 흐름이 보입니다: 두 변의 차가 줄어들수록 곱은 $24, 46, 66, \dots$ 로 커지다가 $(12,13)$ 에서 $156$ 으로 최대가 됩니다.
4.OA.A.3 단계 4 묻는 차이를 뺄셈으로 구합니다.
💡 여러 단계 문장제는 마지막에 뺄셈 한 번으로 마무리됩니다(4학년): 최대 넓이 빼기 최소 넓이.
3.MD.D.8 변에 이름을 붙이고 둘레 조건을 간단한 합으로 바꿉니다. 길이를 $l$, 너비를 $w$ 라 합시다. 둘레는 $2(l+w)=50$, 즉 $l+w= 3.MD.C.7 합이 고정된 곱에 극단의 원리를 적용합니다. $l + w = 25$ 가 고정이므로 $w = 25 - l$ 로 두면 넓이는 $A = l(25-l) 3.MD.C.7 양 끝 경우를 나열하고 계산합니다. $(12,13)$ 이 가장 큰 넓이, $(1,24)$ 가 가장 작은 넓이. 정수 쌍 목록을 훑어 보면 그 사 4.OA.A.3 묻는 차이를 뺄셈으로 구합니다. 검토
합리성 확인: 답 $132$ 는 선택지 (D) 와 일치합니다. 흐름을 중간값으로도 점검해 봅시다: $(10,15)$ 은 $150$, $(11,14)$ 는 $154$, $(12,13)$ 은 $156$ — 두 변이 가까워질수록 곱이 커지고, $25$ 가 홀수라 $l=w$ 인 경우는 없습니다. 반대쪽 끝에서는 $(1,24)=24$, $(2,23)=46$ 으로 가장 치우친 쌍에서 넓이가 가장 작습니다. 따라서 $156-24=132$ 가 일관됩니다.
대안 접근: 도구 #3(방정식 세우기): $w = 25 - l$ 을 $A = lw$ 에 대입하면 $A(l) = 25l - l^2 = -(l - 12.5)^2 + 156.25$. 위로 볼록인 포물선이고 꼭짓점이 $l=12.5$ 이므로 정수 최대는 $l=12$ 또는 $13$ 에서(둘 다 $156$), 정수 최소는 $1 \le l \le 24$ 의 양 끝 $l=1$ 또는 $24$ 에서(둘 다 $24$). 차이는 다시 $156-24=132$.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
3.MD.D.8다각형의 둘레와 관련된 실생활·수학 문제 해결 ($P = 2(l+w) = 50$ 을 이용해 조건을 정수 변에 대한 $l + w = 25$ 로 줄이는 데 사용.)3.MD.C.7넓이를 곱셈과 덧셈의 연산과 연결하기 (넓이를 $A = l \times w$ 로 쓰고 $12 \times 13 = 156$, $1 \times 24 = 24$ 를 계산하는 데 사용.)4.OA.A.3사칙연산을 활용한 자연수의 여러 단계 문장제 해결 (둘레 조건 세우기, 극단 경우 찾기, 마지막 뺄셈 $156 - 24 = 132$ 를 한 흐름의 여러 단계 문장제로 묶는 데 사용.)
⭐ 두 자연수의 합이 정해져 있을 때, 두 수가 서로 가까울수록 곱이 크고, 서로 멀수록 곱이 작아요.
⭐ 두 자연수의 합이 정해져 있을 때, 두 수가 서로 가까울수록 곱이 크고, 서로 멀수록 곱이 작아요.
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.