AMC 8 · 2008 · #4

쉬운 모드 학년 3

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문제

큰 정삼각형 하나를 떠올려 보세요. 그 안에는 더 작은 정삼각형이 들어 있습니다. 두 삼각형 사이의 공간은 모양과 크기가 모두 똑같은 사다리꼴 3개로 나뉘어 있어요.

큰 삼각형의 넓이는 $16$ 이고, 안쪽 작은 삼각형의 넓이는 $1$ 입니다.

사다리꼴 하나의 넓이는 얼마일까요?

그림

큰 삼각형(넓이 16) 안에 작은 삼각형(넓이 1)이 들어 있고, 그 사이가 똑같은 사다리꼴 3개로 나뉘어요 — 한 사다리꼴의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 큰 정삼각형의 넓이가 $16$ 이고, 그 안에 들어 있는 작은 정삼각형의 넓이가 $1$ 입니다. 두 정삼각형 사이의 공간은 합동인 사다리꼴 세 개로 나뉘어 있습니다. 사다리꼴 한 개의 넓이는 얼마인가요?

주어진 것: 바깥 정삼각형의 넓이는 $16$; 안쪽 정삼각형의 넓이는 $1$; 두 정삼각형 사이의 사다리꼴 세 개는 합동(모양과 크기가 똑같다); 선택지: (A) $3$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $7$

구하는 것: 사다리꼴 한 개의 넓이

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 나누기

보조 도구: #15 그림으로 떠올리기

바깥 삼각형은 두 종류의 조각으로 이루어져 있어요. 작은 삼각형 하나와 사다리꼴 세 개이고, 서로 겹치는 부분은 없어요. 도구 #7(작은 문제로 나누기)로 풀이를 두 단계로 쪼갭니다. 먼저 사다리꼴 세 개의 넓이 합을 구하고(바깥에서 안쪽을 뺌), 그다음 합동이라는 사실을 이용해 셋으로 똑같이 나눕니다. 도구 #15(그림으로 떠올리기)로 그림을 확인하면 사다리꼴 세 개가 두 삼각형 사이 띠 모양 영역을 빈틈이나 겹침 없이 정확히 덮고 있다는 점이 보입니다.

실행 — 정답: C

#15 그림으로 떠올리기 3.MD.C.7 단계 1

영역을 머릿속에 그려 봅니다.
바깥 삼각형은 안쪽 삼각형과 그 주위의 사다리꼴 세 개로 이루어져 있고, 이 조각들은 서로 겹치지 않아요.
그래서 바깥 삼각형의 넓이는 안쪽 삼각형의 넓이와 사다리꼴 세 개의 넓이 합과 같습니다.

$$\text{바깥 넓이} = \text{안쪽 넓이} + \text{(사다리꼴 3개의 넓이)}$$

💡 3학년 넓이 개념: 영역을 겹치지 않는 조각으로 나누면 전체 넓이는 조각들의 넓이를 더한 값과 같습니다.

#7 작은 문제로 나누기 3.MD.C.7 단계 2

바깥 삼각형의 넓이에서 안쪽 삼각형의 넓이를 빼서 사다리꼴 세 개의 넓이 합을 구합니다.

$$\text{사다리꼴 3개의 넓이} = 16 - 1 = 15$$

💡 "띠 모양의 넓이" 라는 작은 문제예요. 사다리꼴들은 안쪽 삼각형이 차지하지 않은 공간을 정확히 채웁니다.

#7 작은 문제로 나누기 3.OA.A.2 단계 3

사다리꼴 세 개는 합동이라 넓이가 같으므로, $15$ 를 정확히 셋으로 나누면 사다리꼴 한 개의 넓이가 나옵니다.

$$\text{사다리꼴 1개의 넓이} = \dfrac{15}{3} = 5 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 3학년 등분 나눗셈: $15$ 를 똑같은 조각 $3$ 개로 똑같이 나누면 한 조각당 $5$.

[1] #15 3.MD.C.7 영역을 머릿속에 그려 봅니다. 바깥 삼각형은 안쪽 삼각형과 그 주위의 사다리꼴 세 개로 이루어져 있고, 이 조각들은 서로 겹치지 않아요. 그래서

[2] #7 3.MD.C.7 바깥 삼각형의 넓이에서 안쪽 삼각형의 넓이를 빼서 사다리꼴 세 개의 넓이 합을 구합니다.

[3] #7 3.OA.A.2 사다리꼴 세 개는 합동이라 넓이가 같으므로, $15$ 를 정확히 셋으로 나누면 사다리꼴 한 개의 넓이가 나옵니다.

검토

합리성 확인: 조각들을 다시 더해 봅시다. 안쪽 삼각형 $1$ 더하기 사다리꼴 세 개 각 $5$ 이므로 $1 + 3 \times 5 = 1 + 15 = 16$, 바깥 삼각형의 넓이와 정확히 일치합니다. 답 $5$ 는 선택지 가운데 값이고 크기도 자연스러워요. 각 사다리꼴은 작디작은 안쪽 삼각형보다는 크지만 전체 도형보다는 훨씬 작거든요. 그림과 잘 맞습니다.

대안 접근: 도구 #5(규칙 찾기)로 변의 길이 비를 이용하는 방법도 있어요. 바깥 삼각형의 넓이 $16$ 이 안쪽 삼각형의 넓이 $1$ 의 $16$ 배이므로 변의 길이 비는 $\sqrt{16} = 4$ 배입니다. 안쪽 삼각형의 한 변이 $1$ 단위라면 바깥 삼각형의 한 변은 $4$ 단위가 되어, 사다리꼴의 평행한 두 변은 $1$ 과 $4$. 정삼각형의 높이 비를 함께 쓰면 사다리꼴의 넓이는 $5$ 로 나와요 — 같은 답 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

3.MD.C.7 넓이를 곱셈·덧셈과 연결 짓기 (바깥 삼각형의 넓이가 안쪽 삼각형의 넓이와 사다리꼴 세 개의 넓이 합을 더한 값과 같다는 사실로부터, 뺄셈으로 띠 영역의 넓이를 얻는 데 사용.)
3.OA.A.2 자연수의 나눗셈의 몫을 해석하기 (띠 영역의 넓이 $15$ 를 합동인 사다리꼴 $3$ 개에 똑같이 나누어 $15 \div 3 = 5$ 를 얻는 데 사용.)

⭐ 큰 삼각형에서 작은 삼각형을 빼면 사다리꼴 세 개의 넓이 합이 나옵니다 — 셋이 똑같으니까 그 값을 $3$ 으로 나누면 끝. 빼기 다음에 똑같이 나누기.

문제

그림

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

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