AMC 8 · 2010 · #6
쉬운 모드 학년 4문제
대칭축이란 어떤 도형을 가로지르도록 그렸을 때, 그 선을 기준으로 한쪽이 다른 쪽의 거울에 비친 모습처럼 똑같이 되는 선이에요.
아래의 도형들을 하나씩 떠올려보고, 그런 선을 몇 개나 그을 수 있는지 생각해봅시다.
대칭축이 가장 많은 도형은 무엇일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 다섯 개의 도형 — 정삼각형, 정사각형이 아닌 마름모, 정사각형이 아닌 직사각형, 등변사다리꼴, 정사각형 — 중에서 대칭축이 가장 많은 도형은 무엇일까요?
주어진 것: 다섯 개의 후보 도형, 각 선택지에 하나씩; (A) 정삼각형 — 세 변과 세 각이 모두 같음; (B) 정사각형이 아닌 마름모 — 네 변은 같지만 각이 모두 같지는 않음; (C) 정사각형이 아닌 직사각형 — 네 각이 모두 직각이지만 이웃한 변의 길이가 다름; (D) 등변사다리꼴 — 한 쌍의 평행한 변과 같은 길이의 두 다리(빗변); (E) 정사각형 — 네 변이 모두 같고 네 각이 모두 직각
구하는 것: 대칭축의 개수가 가장 많은 도형 (A)–(E)
이해
문제 재정리: 다섯 개의 도형 — 정삼각형, 정사각형이 아닌 마름모, 정사각형이 아닌 직사각형, 등변사다리꼴, 정사각형 — 중에서 대칭축이 가장 많은 도형은 무엇일까요?
주어진 것: 다섯 개의 후보 도형, 각 선택지에 하나씩; (A) 정삼각형 — 세 변과 세 각이 모두 같음; (B) 정사각형이 아닌 마름모 — 네 변은 같지만 각이 모두 같지는 않음; (C) 정사각형이 아닌 직사각형 — 네 각이 모두 직각이지만 이웃한 변의 길이가 다름; (D) 등변사다리꼴 — 한 쌍의 평행한 변과 같은 길이의 두 다리(빗변); (E) 정사각형 — 네 변이 모두 같고 네 각이 모두 직각
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기
대칭축 개수 세기는 본질적으로 시각적인 작업이라 도구 #1(그림 그리기) 이 주된 도구로 가장 자연스럽습니다 — 각 도형을 직접 스케치한 뒤, 수직선·수평선·두 대각선 등 가능한 접는 선을 하나씩 시도해 보면 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 는 정리용으로, 다섯 도형 각각의 개수를 표처럼 나열한 뒤 그중 최댓값을 읽기만 하면 됩니다. 대수나 좌표는 필요 없고, 도형의 속성만 묻는 순수한 문제입니다.
실행 — 정답: E
4.G.A.3 단계 1 - 정삼각형을 그려 보고 접는 선을 시도합니다.
- 한 꼭짓점에서 마주 보는 변의 중점까지 잇는 선은 정확히 도형을 자기 자신과 겹치게 합니다.
- 꼭짓점이 셋이므로 그런 접는 선이 셋입니다.
💡 "접었을 때 자기 자신과 겹친다" 는 게 바로 4학년 대칭축의 정의입니다.
4.G.A.3 단계 2 - 정사각형이 아닌 마름모(다이아몬드 모양; 네 변은 같지만 각은 $90^\circ$ 가 아닌 것)를 그려 봅니다.
- 두 대각선은 접는 선이 되어 도형이 자기 자신과 겹칩니다.
- 그러나 중심을 지나는 수평선·수직선으로 접으면 비스듬한 변끼리 맞지 않습니다.
- 그래서 마름모의 대칭축은 정확히 둘입니다.
💡 후보가 되는 접는 선을 하나씩 직접 시험하는 것도 똑같이 4학년 대칭축 표준입니다.
4.G.A.3 단계 3 - 정사각형이 아닌 직사각형(예: 일반 문 모양)을 그려 봅니다.
- 가운데를 지나는 수평선과 수직선으로 접으면 도형이 자기 자신과 겹칩니다.
- 그러나 두 대각선으로 접으면 긴 변이 짧은 변 위로 가게 되어 겹치지 않습니다.
- 그래서 직사각형도 대칭축이 둘입니다.
💡 그림에 후보 선을 직접 그어 보는 같은 4학년 접기 테스트입니다.
4.G.A.3 단계 4 - 등변사다리꼴(평행한 두 변과 같은 길이의 두 다리)을 그려 봅니다.
- 도형을 자기 자신과 겹치게 하는 접는 선은 두 평행한 변의 중점을 잇는 수직선 하나뿐입니다.
- 대칭축은 하나.
💡 특정 사각형에 4학년 대칭축의 정의를 그대로 적용한 것입니다.
4.G.A.3 단계 5 - 정사각형을 그려 봅니다.
- 두 대각선(꼭짓점에서 꼭짓점)이 접는 선이 되고, 가운데를 지나는 수평선과 수직선(두 중선)도 접는 선이 됩니다.
- 총 네 개의 대칭축이 있습니다.
💡 정사각형은 마름모의 대각선들과 직사각형의 중선들을 모두 가지는 — 4학년이면 직접 확인할 수 있는 사실.
3.G.A.1 단계 6 - 다섯 개수를 빠짐없이 나열한 뒤 최댓값을 읽습니다: 삼각형 $3$, 마름모 $2$, 직사각형 $2$, 사다리꼴 $1$, 정사각형 $4$.
- 가장 큰 값은 $4$ 로, 정사각형이 답입니다.
💡 각 도형을 속성(여기서는 대칭축 개수) 으로 나열해 비교하는 것은 3학년의 "도형들이 속성을 공유한다" 는 아이디어입니다.
4.G.A.3 정삼각형을 그려 보고 접는 선을 시도합니다. 한 꼭짓점에서 마주 보는 변의 중점까지 잇는 선은 정확히 도형을 자기 자신과 겹치게 합니다. 꼭짓점 4.G.A.3 정사각형이 아닌 마름모(다이아몬드 모양; 네 변은 같지만 각은 $90^\circ$ 가 아닌 것)를 그려 봅니다. 두 대각선은 접는 선이 되어 도 4.G.A.3 정사각형이 아닌 직사각형(예: 일반 문 모양)을 그려 봅니다. 가운데를 지나는 수평선과 수직선으로 접으면 도형이 자기 자신과 겹칩니다. 그러나 4.G.A.3 등변사다리꼴(평행한 두 변과 같은 길이의 두 다리)을 그려 봅니다. 도형을 자기 자신과 겹치게 하는 접는 선은 두 평행한 변의 중점을 잇는 수직 4.G.A.3 정사각형을 그려 봅니다. 두 대각선(꼭짓점에서 꼭짓점)이 접는 선이 되고, 가운데를 지나는 수평선과 수직선(두 중선)도 접는 선이 됩니다. 총 3.G.A.1 다섯 개수를 빠짐없이 나열한 뒤 최댓값을 읽습니다: 삼각형 $3$, 마름모 $2$, 직사각형 $2$, 사다리꼴 $1$, 정사각형 $4$. 가장 검토
합리성 확인: 변이 $n$ 개인 정다각형은 대칭축이 $n$ 개입니다. 정삼각형은 $n = 3$ 의 정다각형, 정사각형은 $n = 4$ 의 정다각형 — 그러니 정사각형이 정삼각형보다 정확히 하나 더 많아야 하고, 우리 계산과 맞습니다. 정사각형이 아닌 마름모와 직사각형은 정사각형의 대칭축 중 절반씩만 (대각선만 또는 중선만) 가지므로 각 $2$. 등변사다리꼴은 네 변 도형 중 가장 덜 대칭적이라 $1$. 전체가 잘 맞아떨어집니다.
대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 로도 접근할 수 있습니다 — "규칙성(정다각형성)" 이 클수록 대칭축이 많다는 패턴. 도형을 규칙성 순으로 줄 세우면 정사각형(가장 규칙적인 사각형, $4$) — 정삼각형(가장 규칙적인 삼각형, $3$) — 마름모·직사각형(절반만 규칙적, 각 $2$) — 등변사다리꼴(가장 덜 규칙적, $1$). 패턴이 곧장 (E) 를 가리킵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.G.A.3이차원 도형의 대칭축 인식 (다섯 후보 도형 각각의 대칭축 개수를 "접었을 때 자기 자신과 겹치는지" 테스트로 세는, 문제 전체의 핵심 기능.)3.G.A.1서로 다른 범주의 도형들이 속성을 공유함을 이해 (다섯 도형 범주를 공통 속성(대칭축 개수) 하나로 비교해 최댓값을 고르는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "대칭축" 개념만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "대칭축" 개념만 알면 풀 수 있어요!
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