AMC 8 · 2011 · #24
쉬운 모드 학년 4문제
소수는 1보다 큰 자연수 중에서, 1과 자기 자신으로만 나누어떨어지는 수를 말해요. 예를 들어 2,3,5,7,11,13,… 같은 수들이 소수입니다.
이제 10001을 두 소수의 합으로 나타내고 싶다고 합시다. 즉, 10001=p+q가 되도록, p와 q가 모두 소수가 되게 하는 거예요.
이렇게 나타낼 수 있는 방법은 모두 몇 가지일까요?
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AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $10001$ 을 두 소수의 합으로 나타내는 방법이 몇 가지인지 세는 문제입니다. 두 소수의 순서는 구분하지 않습니다($p + q$ 와 $q + p$ 는 같은 한 가지로 셉니다).
주어진 것: 두 소수의 합이 $10001$ 이어야 함; 두 항 모두 소수여야 함; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$
구하는 것: $p + q = 10001$ 을 만족하는 소수 쌍 $(p,\, q)$ 의 개수 (순서 무관)
이해
문제 재정리: $10001$ 을 두 소수의 합으로 나타내는 방법이 몇 가지인지 세는 문제입니다. 두 소수의 순서는 구분하지 않습니다($p + q$ 와 $q + p$ 는 같은 한 가지로 셉니다).
주어진 것: 두 소수의 합이 $10001$ 이어야 함; 두 항 모두 소수여야 함; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$
계획
주요 도구: #3 가능성 지우기
보조 도구: #5 패턴 찾기
$10001$ 보다 작은 소수를 일일이 나열하는 건 불가능에 가까우니, 합의 홀짝 패턴(도구 #5)으로 후보를 단숨에 좁힙니다. 홀$+$홀$=$짝, 짝$+$짝$=$짝, 홀$+$짝$=$홀이라서 $10001$ 같은 홀수가 되려면 두 소수 중 정확히 하나가 짝수여야 합니다. 짝수 소수는 $2$ 뿐이므로 도구 #3(가능성 지우기)으로 무한히 많은 경우가 단 한 쌍 $(2,\, 9999)$ 으로 줄어듭니다. 마지막엔 $9999$ 가 소수인지 약수 하나만 확인하면 끝납니다.
실행 — 정답: A
2.OA.C.3 단계 1 - $10001$ 의 홀짝부터 봅니다.
- 일의 자리가 $1$ 이므로 홀수입니다.
- 합의 홀짝 패턴을 적용하면, 홀$+$홀$=$짝, 짝$+$짝$=$짝, 홀$+$짝$=$홀이므로 합이 홀수가 되려면 두 수 중 정확히 하나만 짝수여야 합니다.
💡 홀짝을 구분하고 합의 홀짝을 따지는 것은 2학년 표준이고, 이 문제의 핵심 일을 다 해 줍니다.
4.OA.B.4 단계 2 - 짝수 소수가 어떤 것이 있는지 정합니다.
- $2$ 보다 큰 짝수는 $1$ 과 자기 자신 외에 $2$ 라는 약수를 더 가지므로 합성수입니다.
- 따라서 짝수 소수는 $2$ 하나뿐입니다.
- 그러므로 우리 쌍에서 짝수 쪽 소수는 반드시 $2$ 입니다.
💡 4학년에서는 작은 수의 약수를 따져 소수/합성수를 판별하는데, 그 방법 그대로 $2$ 외의 짝수가 전부 탈락합니다.
4.NBT.B.4 단계 3 - 남은 한 항을 결정합니다.
- 한 소수가 $2$ 라면 다른 한 소수는 $10001 - 2 = 9999$ 가 되어야 합니다.
- 그래서 후보 쌍은 오직 $(2,\, 9999)$ 하나입니다.
- $9999$ 가 소수면 답은 $1$ 가지, 합성수면 답은 $0$ 가지입니다.
💡 여러 자리수 뺄셈은 4학년 유창성 표준이고, 그 한 번의 계산으로 유일한 후보가 정해집니다.
4.OA.B.4 단계 4 - $9999$ 가 소수인지 $3$ 의 배수 판정법으로 확인합니다(어떤 수가 $3$ 의 배수이려면 각 자리 숫자의 합이 $3$ 의 배수여야 합니다).
- $9999$ 의 자릿수 합은 $9+9+9+9 = 36$ 이고 $36 = 3 \times 12$ 입니다.
- 따라서 $3$ 이 $9999$ 의 약수이고, $9999 \neq 3$ 이므로 $9999$ 는 합성수입니다.
💡 $3$ 의 배수를 알아보고 자명한 약수쌍으로 합성수임을 선언하는 것은 4학년 소수/합성수 표준 그대로입니다.
4.OA.B.4 단계 5 - 결과를 합칩니다.
- 유일한 후보 쌍 $(2,\, 9999)$ 가 $9999$ 의 합성수성 때문에 탈락했고, 홀짝 거름망을 통과하는 다른 쌍은 존재하지 않습니다.
- 따라서 $10001$ 은 두 소수의 합으로 나타낼 수 없습니다.
💡 마지막 답은 가능성을 모두 지운 뒤 살아남은 후보의 수로, 4학년 소수/합성수 추론을 그대로 적용한 결과입니다.
2.OA.C.3 $10001$ 의 홀짝부터 봅니다. 일의 자리가 $1$ 이므로 홀수입니다. 합의 홀짝 패턴을 적용하면, 홀$+$홀$=$짝, 짝$+$짝$=$짝, 4.OA.B.4 짝수 소수가 어떤 것이 있는지 정합니다. $2$ 보다 큰 짝수는 $1$ 과 자기 자신 외에 $2$ 라는 약수를 더 가지므로 합성수입니다. 따라서 4.NBT.B.4 남은 한 항을 결정합니다. 한 소수가 $2$ 라면 다른 한 소수는 $10001 - 2 = 9999$ 가 되어야 합니다. 그래서 후보 쌍은 오직 4.OA.B.4 $9999$ 가 소수인지 $3$ 의 배수 판정법으로 확인합니다(어떤 수가 $3$ 의 배수이려면 각 자리 숫자의 합이 $3$ 의 배수여야 합니다) 4.OA.B.4 결과를 합칩니다. 유일한 후보 쌍 $(2,\, 9999)$ 가 $9999$ 의 합성수성 때문에 탈락했고, 홀짝 거름망을 통과하는 다른 쌍은 존재 검토
합리성 확인: 홀짝 논리를 확인하려고 작은 사례를 검토합니다 — $10 = 3 + 7 = 5 + 5$ (짝수 합 $\rightarrow$ 홀$+$홀이 됨), 그러나 $9 = 2 + 7$ 처럼 홀수 합은 한 항이 $2$ 가 되어야 합니다. 패턴이 우리 논리와 일치합니다. 본문제에서도 $10001 - 2 = 9999$ 이고, 자릿수 합 판정으로 $9999$ 가 $3$ 의 배수임이 정확히 잡힙니다. 답 $0$ 은 홀짝 추론과 약수 판정 양쪽 모두와 정합합니다.
대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 작은 소수 $p$ 부터 $(p,\, 10001 - p)$ 쌍을 차례로 검사할 수도 있습니다. $p = 2 \Rightarrow 9999 = 3 \times 3333$ (합성수). $p = 3 \Rightarrow 9998 = 2 \times 4999$ (짝수라 합성수). $p = 5 \Rightarrow 9996$ (짝수, 합성수). $3$ 이상 모든 홀수 $p$ 에 대해 $10001 - p$ 가 $2$ 보다 큰 짝수가 되므로 자동으로 합성수입니다. 결국 어떤 $p$ 도 통과하지 못하므로 답이 $0$ 가지로 같습니다. 다만 느립니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
2.OA.C.3물체 묶음의 개수가 홀수인지 짝수인지 판별 ($10001$ 이 홀수임을 확인하고, 홀수 합이 되려면 두 항 중 정확히 하나가 홀수, 다른 하나가 짝수여야 함을 끌어내는 데 사용.)4.OA.B.4약수쌍과 배수 찾기; 소수/합성수 판별 (짝수 소수는 $2$ 뿐임을 정하고, $9999 = 3 \times 3333$ 이 합성수임을 보여 후보 쌍 $(2,\, 9999)$ 을 탈락시키는 데 사용.)4.NBT.B.4여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈을 능숙하게 수행 ($10001 - 2 = 9999$ 를 계산해 $2$ 와 짝지을 유일한 상대를 결정하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "소수/합성수" 추론만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "소수/합성수" 추론만 알면 풀 수 있어요!
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