AMC 8 · 2015 · #6

쉬운 모드 학년 8

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문제

삼각형 $ABC$ 를 떠올려봅시다. 두 변의 길이가 같아요: $AB = 29$ , $BC = 29$ . 나머지 한 변은 $AC = 42$ 입니다.

이 삼각형의 넓이는 얼마일까요?

그림

꼭짓점 B에서 밑변 AC로 수선을 내리면, 대칭이 이등변삼각형을 두 개의 합동인 직각삼각형으로 나눕니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

100

(B)

420

(C)

500

(D)

609

(E)

701

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 삼각형 $ABC$ 는 $AB = BC = 29$, 밑변 $AC = 42$ 인 이등변삼각형입니다. 이 삼각형의 넓이를 구하세요.

주어진 것: $AB = BC = 29$ (길이가 같은 두 변); $AC = 42$ (밑변); 선택지: (A) $100$, (B) $420$, (C) $500$, (D) $609$, (E) $701$

구하는 것: $\triangle ABC$ 의 넓이

이해

문제 재정리: 삼각형 $ABC$ 는 $AB = BC = 29$, 밑변 $AC = 42$ 인 이등변삼각형입니다. 이 삼각형의 넓이를 구하세요.

주어진 것: $AB = BC = 29$ (길이가 같은 두 변); $AC = 42$ (밑변); 선택지: (A) $100$, (B) $420$, (C) $500$, (D) $609$, (E) $701$

계획

주요 도구: #12 그림 그리기

보조 도구: #13 대칭 이용하기

세 변의 길이는 알지만 높이는 모르고, 넓이 공식에는 밑변과 높이가 모두 필요합니다. 도구 #12(그림 그리기)로 이등변삼각형을 그리면, 꼭짓점 $B$ 에서 밑변 $AC$ 로 수선을 내리는 그림이 자연스럽게 떠오릅니다. 도구 #13(대칭 이용하기)이 핵심 — $AB = BC$ 이므로 $B$ 에서 내린 수선은 동시에 $AC$ 의 수직이등분선이라, 밑변을 정확히 절반씩($21, 21$) 나눠 합동인 두 직각삼각형을 만듭니다. 그러면 피타고라스 정리로 높이가 한 줄에 나오고, 넓이 공식으로 마무리됩니다.

실행 — 정답: B

#13 대칭 이용하기 4.G.A.3 단계 1

$AB = BC = 29$, $AC = 42$ 인 $\triangle ABC$ 를 그린 뒤, 꼭짓점 $B$ 에서 밑변 $AC$ 에 수선을 내려 만난 점을 $D$ 라고 합시다.
이등변삼각형이라 이 수선은 대칭축이 되고, 따라서 $D$ 는 $AC$ 의 중점이 됩니다 — $AD = DC = 21$.

$$AD = DC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{42}{2} = 21$$

💡 이등변삼각형의 대칭선을 알아차리는 것은 4학년 "대칭 도형" 에서 다루는 내용입니다.

#12 그림 그리기 8.G.B.7 단계 2

직각삼각형 $\triangle ABD$ 에 주목합니다.
빗변 $AB = 29$, 한 다리 $AD = 21$, 나머지 다리가 구하려는 높이 $h = BD$ 입니다.
피타고라스 정리를 적용합니다.

$$AD^2 + BD^2 = AB^2 \;\Rightarrow\; 21^2 + h^2 = 29^2$$

💡 수선을 그어 이등변삼각형을 두 직각삼각형으로 나누는 것은 8학년 "피타고라스 정리 적용" 의 전형적 세팅입니다.

#12 그림 그리기 8.EE.A.2 단계 3

$h$ 에 대해 풉니다.
두 제곱수를 계산해 빼면 됩니다.

$$h^2 = 29^2 - 21^2 = 841 - 441 = 400 \;\Rightarrow\; h = \sqrt{400} = 20$$

💡 $\sqrt{400}$ 의 양의 제곱근을 구하는 것은 8학년 "작은 완전제곱수의 제곱근" 그대로이고, $20\text{-}21\text{-}29$ 는 잘 알려진 피타고라스 수입니다.

#12 그림 그리기 6.G.A.1 단계 4

넓이 공식에 밑변 $AC = 42$, 높이 $BD = 20$ 을 대입합니다.

$$\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \times 42 \times 20 = 21 \times 20 = 420 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $\tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$ 는 6학년 삼각형 넓이 공식입니다.

[1] #13 4.G.A.3 $AB = BC = 29$, $AC = 42$ 인 $\triangle ABC$ 를 그린 뒤, 꼭짓점 $B$ 에서 밑변 $AC$ 에 수선을 내려

[2] #12 8.G.B.7 직각삼각형 $\triangle ABD$ 에 주목합니다. 빗변 $AB = 29$, 한 다리 $AD = 21$, 나머지 다리가 구하려는 높이 $h

[3] #12 8.EE.A.2 $h$ 에 대해 풉니다. 두 제곱수를 계산해 빼면 됩니다.

[4] #12 6.G.A.1 넓이 공식에 밑변 $AC = 42$, 높이 $BD = 20$ 을 대입합니다.

검토

합리성 확인: 바깥에 두른 직사각형으로 검산해 봅니다. $42 \times 20$ 직사각형의 넓이는 $840$ 이고, 그 안에 들어가는 이 삼각형은 정확히 절반이라 $420$ — 우리 답과 일치합니다. 또 $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$ 로 $20\text{-}21\text{-}29$ 는 표준 피타고라스 수이므로 높이는 어림이 아니라 정확한 값입니다.

대안 접근: 도구 #17(공식 활용하기) — 헤론(Heron)의 공식. 반둘레 $s = \tfrac{29 + 29 + 42}{2} = 50$ 이므로, $\text{넓이} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{50 \cdot 21 \cdot 21 \cdot 8} = \sqrt{176400} = 420$. 답은 같지만, 대칭을 알아차린 순간 헤론까지 갈 필요가 없어집니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.3 2차원 도형의 대칭축 인식 (이등변삼각형에서 $B$ 에서 내린 수선이 대칭축임을 알아차려 $AC$ 를 길이 $21$ 의 두 조각으로 이등분.)
6.G.A.1 삼각형 및 다른 다각형의 넓이 구하기 ($\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} = \tfrac{1}{2} \times 42 \times 20 = 420$ 적용.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 미지 변 구하기 (직각삼각형 $\triangle ABD$ 에서 $21^2 + h^2 = 29^2$ 으로 높이를 구함.)
8.EE.A.2 제곱근 기호 사용 및 작은 완전제곱수의 제곱근 계산 ($h^2 = 400$ 에서 $h = \sqrt{400} = 20$ 으로 높이를 결정.)

⭐ 이등변삼각형의 대칭 덕분에 이 문제는 8학년 피타고라스 정리($20\text{-}21\text{-}29$ 수)와 6학년 넓이 공식만으로 풀립니다.

문제

그림

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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