AMC 8 · 2017 · #17
쉬운 모드 학년 4문제
금화 한 무더기와 빈 보물 상자 여러 개가 있다고 상상해 봅시다.
첫 번째 시도: 상자 하나당 금화를 9 개씩 넣으려고 했어요. 그런데 금화가 다 떨어졌을 때 빈 상자가 2 개 남았어요.
두 번째 시도: 처음부터 다시, 이번에는 상자 하나당 금화를 6 개씩 넣었어요. 이번에는 모든 상자에 금화가 들어갔지만, 마지막에 금화가 3 개 남았어요.
상자 개수는 두 시도에서 똑같고, 금화 개수도 두 시도에서 똑같아요.
처음에 가지고 있던 금화는 모두 몇 개일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 금화 한 무더기와 빈 보물 상자 몇 개가 있습니다. 모든 상자에 $9$ 개씩 금화를 넣으려고 했더니 금화가 모자라서 상자 $2$ 개가 빈 채로 남았습니다. 대신 모든 상자에 $6$ 개씩 넣어 보니 상자는 전부 채워졌지만 금화가 $3$ 개 남았습니다. 처음에 금화는 모두 몇 개였을까요?
주어진 것: 계획 A: 상자마다 $9$ 개씩 넣었더니 앞쪽 $(C-2)$ 개의 상자만 가득 차고 금화는 모두 소진됨 ($C$ 는 전체 상자 수); 계획 B: 상자마다 $6$ 개씩 넣었더니 $C$ 개의 상자가 모두 차고 금화가 $3$ 개 남음; 두 계획은 같은 금화 무더기, 같은 상자 개수를 사용함; 선택지: (A) $9$, (B) $27$, (C) $45$, (D) $63$, (E) $81$
구하는 것: 처음에 가지고 있던 금화의 총 개수 $G$
이해
문제 재정리: 금화 한 무더기와 빈 보물 상자 몇 개가 있습니다. 모든 상자에 $9$ 개씩 금화를 넣으려고 했더니 금화가 모자라서 상자 $2$ 개가 빈 채로 남았습니다. 대신 모든 상자에 $6$ 개씩 넣어 보니 상자는 전부 채워졌지만 금화가 $3$ 개 남았습니다. 처음에 금화는 모두 몇 개였을까요?
주어진 것: 계획 A: 상자마다 $9$ 개씩 넣었더니 앞쪽 $(C-2)$ 개의 상자만 가득 차고 금화는 모두 소진됨 ($C$ 는 전체 상자 수); 계획 B: 상자마다 $6$ 개씩 넣었더니 $C$ 개의 상자가 모두 차고 금화가 $3$ 개 남음; 두 계획은 같은 금화 무더기, 같은 상자 개수를 사용함; 선택지: (A) $9$, (B) $27$, (C) $45$, (D) $63$, (E) $81$
계획
주요 도구: #3 가능성 지우기
보조 도구: #6 추측하고 확인하기
AMC 객관식이고 $G$ 의 후보가 다섯 개뿐이며, 각 후보를 문제 상황에 그대로 대입해 보기 쉽습니다. 그래서 도구 #3(가능성 지우기) 으로 다섯 후보를 차례로 검증하는 것이 가장 자연스러운 첫 수입니다 — 각 후보 $G$ 에 대해 상자 수 $C$ 를 계획 A 와 계획 B 두 가지 방법으로 계산해 보고, 두 값이 일치하는 후보 하나만 남기는 방식입니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 은 그 개별 검증을 실행하는 엔진으로, 후보를 정해 대입하고 두 그림이 맞아떨어지는지 확인합니다. 연립방정식(도구 #13) 까지 가지 않아도 더 빠르고 더 초등 수준에서 풀 수 있는 방법입니다.
실행 — 정답: C
4.OA.A.3 단계 1 - 두 상황을 각각 식으로 옮깁니다.
- 계획 A 는 $C-2$ 개의 상자에 $9$ 개씩 넣어서 금화가 모두 소진되므로 $G = 9 \times (C-2)$, 즉 $C = \dfrac{G}{9} + 2$ 입니다.
- 계획 B 는 $C$ 개의 상자에 $6$ 개씩 넣고 $3$ 개가 남으므로 $G = 6C + 3$, 즉 $C = \dfrac{G-3}{6}$ 입니다.
💡 여러 단계의 문장제를 읽고 문장 하나하나를 작은 계산으로 바꾸는 것은 4학년 다단계 문장제 그대로입니다.
3.OA.C.7 단계 2 - 후보 (A) $G = 9$ 를 검증합니다.
- 계획 A: $C_A = 9 / 9 + 2 = 3$ 상자.
- 계획 B: $C_B = (9 - 3) / 6 = 1$ 상자.
- $3 \ne 1$ 이므로 같은 금화 무더기가 두 가지 다른 상자 수를 요구한다는 모순이 생깁니다.
- (A) 탈락.
💡 검증에 쓰이는 나눗셈·덧셈은 모두 $100$ 이하에서 이루어지는 3학년 곱셈·나눗셈 유창성 범위입니다.
3.OA.C.7 단계 3 - 후보 (B) $G = 27$ 을 검증합니다.
- 계획 A: $C_A = 27 / 9 + 2 = 5$ 상자.
- 계획 B: $C_B = (27 - 3) / 6 = 4$ 상자.
- 여전히 일치하지 않으므로 (B) 탈락.
💡 $27 \div 9$, $24 \div 6$ 같은 3학년 나눗셈 사실을 가능성 지우기 루프 안에서 그대로 사용합니다.
3.OA.A.4 단계 4 - 후보 (C) $G = 45$ 를 검증합니다.
- 계획 A: $C_A = 45 / 9 + 2 = 5 + 2 = 7$ 상자.
- 계획 B: $C_B = (45 - 3) / 6 = 42 / 6 = 7$ 상자.
- 두 그림이 모두 $7$ 상자로 일치하므로 (C) 가 살아남습니다.
💡 두 식을 동시에 만족시키는 미지의 상자 수 $C$ 를 찾는 것이 바로 3학년 "곱셈·나눗셈 식에서 미지의 정수 구하기" 입니다.
4.OA.A.3 단계 5 - 마무리로 나머지 후보도 지웁니다.
- (D) $G = 63$: $C_A = 63 / 9 + 2 = 9$, $C_B = (63 - 3) / 6 = 10$ — 불일치.
- (E) $G = 81$: $C_A = 81 / 9 + 2 = 11$, $C_B = (81 - 3) / 6 = 13$ — 불일치.
- 살아남은 후보는 (C) 뿐이므로 답은 $G = 45$, 즉 (C).
💡 남은 후보를 모두 지우고 다단계 검증을 마치는 것은 4학년 문장제 풀이의 마지막 단계 그대로입니다.
4.OA.A.3 두 상황을 각각 식으로 옮깁니다. 계획 A 는 $C-2$ 개의 상자에 $9$ 개씩 넣어서 금화가 모두 소진되므로 $G = 9 \times (C- 3.OA.C.7 후보 (A) $G = 9$ 를 검증합니다. 계획 A: $C_A = 9 / 9 + 2 = 3$ 상자. 계획 B: $C_B = (9 - 3) / 6 3.OA.C.7 후보 (B) $G = 27$ 을 검증합니다. 계획 A: $C_A = 27 / 9 + 2 = 5$ 상자. 계획 B: $C_B = (27 - 3) 3.OA.A.4 후보 (C) $G = 45$ 를 검증합니다. 계획 A: $C_A = 45 / 9 + 2 = 5 + 2 = 7$ 상자. 계획 B: $C_B = ( 4.OA.A.3 마무리로 나머지 후보도 지웁니다. (D) $G = 63$: $C_A = 63 / 9 + 2 = 9$, $C_B = (63 - 3) / 6 = 1 검토
합리성 확인: $G = 45$, $C = 7$ 을 다시 대입해 보면: 계획 A 는 $5$ 개의 상자에 $9$ 개씩 ($5 \times 9 = 45$, 금화 전부 사용, 상자 $2$ 개는 비어 있음 — 문제와 일치). 계획 B 는 $7$ 개의 상자에 $6$ 개씩 ($7 \times 6 = 42$) 채우고 $45 - 42 = 3$ 개 남음 — 역시 일치. 두 이야기 모두 같은 숫자로 맞아떨어지므로 $45$ 는 일관됩니다.
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) 으로도 풀립니다. $9(C - 2) = 6C + 3$ 을 펼치면 $9C - 18 = 6C + 3$, 정리하면 $3C = 21$ 이므로 $C = 7$, $G = 6 \times 7 + 3 = 45$. 대수 풀이도 깔끔하지만, 후보 다섯 개뿐인 AMC 객관식에서는 선택지를 직접 대입(도구 #3 + 도구 #6) 하는 쪽이 같은 속도이면서 3-4학년 산술만으로 끝낼 수 있어 더 유리합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
3.OA.C.7$100$ 이내의 곱셈·나눗셈 유창성 (각 후보 $G \in \{9, 27, 45, 63, 81\}$ 에 대해 $G \div 9$ 와 $(G - 3) \div 6$ 을 계산하는 데 사용 — 모든 곱셈·나눗셈이 $100$ 이내에 머무름.)3.OA.A.4곱셈 또는 나눗셈 식에서 미지의 정수 구하기 (살아남은 후보 $G = 45$ 에서 $G = 9(C-2)$ 와 $G = 6C + 3$ 을 동시에 만족시키는 상자 수 $C$ 를 찾는 데 사용.)4.OA.A.3정수 사칙연산을 활용한 다단계 문장제 해결 (금화를 두 가지 방식으로 나누어 담는 두 시나리오를 읽고, 각각 작은 정수 식으로 옮긴 뒤, 한 후보를 두 식 모두에 동시에 검증하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 다단계 문장제 풀이만 알면 풀 수 있어요 — 답 후보 다섯 개를 두 가지 이야기에 각각 대입해 보고, 둘 다 맞는 하나만 남기면 끝!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 다단계 문장제 풀이만 알면 풀 수 있어요 — 답 후보 다섯 개를 두 가지 이야기에 각각 대입해 보고, 둘 다 맞는 하나만 남기면 끝!
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