AMC 8 · 2019 · #19

• 상위 세 팀을 $A, B, C$, 하위 세 팀을 $D, E, F$ 라 합시다.
• 각 팀은 $10$ 경기를 치르는데, 그중 다른 그룹과 $6$ 경기, 같은 그룹 안에서 $4$ 경기를 합니다.
• 작은 문제 1은 "상위 팀이 $D, E, F$ 와의 경기에서 얻을 수 있는 최대 점수는?" 이고, 작은 문제 2는 "$A, B, C$ 끼리의 경기에서 점수를 어떻게 나누는가?" 입니다.

💡 $10$ 경기를 두 묶음으로 쪼개는 것이 도구 #7 — 쪼개고 나면 각 조각이 작고 쉬운 셈 문제가 됩니다.

• 작은 문제 1을 풉니다.
• 점수를 최대로 만들기 위해 $A, B, C$ 각자가 $D, E, F$ 와의 $2$ 경기를 모두 이긴다고 둡니다 — 하위 그룹 상대로 $6$ 승.
• 따라서 상위 팀 한 팀당 외부 경기에서 $6 \times 3 = 18$ 점을 얻고, 이 승리들은 서로 충돌하지 않습니다 (상위 팀끼리 같은 경기를 두고 다투지 않기 때문).

💡 $6 \times 3$ 으로 $6$ 승의 점수를 세는 것은 3학년 곱셈 문장제 그대로입니다.

• 작은 문제 2를 정리합니다.
• 상위 그룹 안에서는 $\binom{3}{2} \times 2 = 6$ 경기가 치러집니다.
• 승부가 나면 한 경기에서 $3+0=3$ 점이 나오고, 무승부면 $1+1=2$ 점만 나옵니다.
• 그러므로 상위 세 팀이 내부 경기에서 함께 가질 수 있는 점수의 최댓값은 $6 \times 3 = 18$ 점이고, 셋이 똑같이 나누면 $18 \div 3 = 6$ 점씩 — 단, 실제로 모든 팀이 정확히 $6$ 점을 받는 결과를 만들어 낼 수 있어야 합니다.

💡 승부 경기($3$ 점 배분) 와 무승부($2$ 점 배분) 를 비교하면 무승부는 점수를 "버리는" 셈이라, 최대를 노릴 때는 승부 경기만 봅니다.

• $6$ 점씩을 실제로 만들 수 있음을 보입니다.
• 세 짝 ($A$ 대 $B$, $A$ 대 $C$, $B$ 대 $C$) 이 각각 두 경기를 하므로, 각 짝에서 두 팀이 한 경기씩 나눠 이기게 만듭니다.
• 그러면 모든 상위 팀이 내부 경기에서 $2$ 승 $2$ 패를 거두고, $2 \times 3 + 2 \times 0 = 6$ 점을 얻어 셋이 정확히 같습니다.

💡 승수를 세고 그 승수를 점수로 바꾸는 두 단계 문장제는 3학년 사칙연산 풀이 그대로입니다.

• 두 조각의 결과를 더해 상위 팀의 총점을 구합니다: $18 + 6 = 24$ 점.
• 따라서 $24$ 점은 도달 가능하고 등점 조건을 만족하는 최댓값이므로 답은 $\textbf{(C) }24$ 입니다.

💡 $18+6$ 같은 두 자리 수 덧셈은 2학년 유창성 단계 — 마지막 한 줄로 논증을 마무리합니다.

• 더 큰 선택지들을 도구 #3(가능성 지우기) 으로 검증합니다.
• $\textbf{(E) }30$ 은 $A, B, C$ 가 모든 경기를 이겨야 한다는 뜻인데 — 상위 팀끼리의 경기에서 두 팀이 동시에 이길 수는 없으므로 불가능.
• $\textbf{(D) }26$ 은 팀당 내부 경기에서 $26 - 18 = 8$ 점, 셋 합 $24$ 점이 필요한데 내부 경기는 $6$ 경기뿐이고 거기서 나올 수 있는 점수 총합의 최댓값은 $6 \times 3 = 18$ 점뿐입니다.
• 따라서 $24$ 가 진짜 최댓값입니다.

💡 깔끔한 상한을 이용해 객관식 보기를 지우는 것이 도구 #3 — 이로써 답이 $24$ 에 고정됩니다.