AMC 8 · 2019 · #2
쉬운 모드 학년 4문제
모양과 크기가 똑같은 작은 직사각형 세 개가 있다고 상상해봅시다. 이 세 개를 이어 붙여 아래 그림처럼 하나의 큰 직사각형 ABCD를 만들었어요.
작은 직사각형 한 개의 짧은 변은 5피트입니다.
큰 직사각형 ABCD의 넓이는 몇 제곱피트일까요?
그림
똑같은 작은 직사각형 세 개로 큰 직사각형 ABCD를 채웠어요: 왼쪽에 둘이 눕고 오른쪽에 하나가 서 있어요. 짧은 변 s = 5피트.
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AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 똑같이 생긴 작은 직사각형 $3$ 개를 빈틈없이 이어 붙여 큰 직사각형 $ABCD$ 를 만들었습니다. 그림을 보면 왼쪽에는 두 개가 위아래로 쌓여 있고(긴 변이 가로 방향), 오른쪽에는 한 개가 세로로 서 있습니다(긴 변이 세로 방향). 작은 직사각형의 짧은 변의 길이가 $5$ 피트일 때, 큰 직사각형 $ABCD$ 의 넓이(제곱피트)를 구하시오.
주어진 것: 작은 직사각형 $3$ 개는 서로 합동(짧은 변 $s$, 긴 변 $l$ 이 모두 같음); 작은 직사각형의 짧은 변: $s = 5$ 피트; 왼쪽: 작은 직사각형 두 개가 위아래로 쌓여 있음 (각각 긴 변이 가로 방향); 오른쪽: 작은 직사각형 한 개가 세로로 서 있음 (긴 변이 세로 방향); 선택지: (A) $45$, (B) $75$, (C) $100$, (D) $125$, (E) $150$ (제곱피트)
구하는 것: 큰 직사각형 $ABCD$ 의 넓이(제곱피트)
이해
문제 재정리: 똑같이 생긴 작은 직사각형 $3$ 개를 빈틈없이 이어 붙여 큰 직사각형 $ABCD$ 를 만들었습니다. 그림을 보면 왼쪽에는 두 개가 위아래로 쌓여 있고(긴 변이 가로 방향), 오른쪽에는 한 개가 세로로 서 있습니다(긴 변이 세로 방향). 작은 직사각형의 짧은 변의 길이가 $5$ 피트일 때, 큰 직사각형 $ABCD$ 의 넓이(제곱피트)를 구하시오.
주어진 것: 작은 직사각형 $3$ 개는 서로 합동(짧은 변 $s$, 긴 변 $l$ 이 모두 같음); 작은 직사각형의 짧은 변: $s = 5$ 피트; 왼쪽: 작은 직사각형 두 개가 위아래로 쌓여 있음 (각각 긴 변이 가로 방향); 오른쪽: 작은 직사각형 한 개가 세로로 서 있음 (긴 변이 세로 방향); 선택지: (A) $45$, (B) $75$, (C) $100$, (D) $125$, (E) $150$ (제곱피트)
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
이 문제는 그림이 모든 것을 말해 주므로 도구 #1(그림 그리기) 로 들어가는 게 자연스럽습니다 — 모든 짧은 변에 $s$, 모든 긴 변에 $l$ 을 적어 놓으면, '왼쪽 단과 오른쪽 단의 높이가 같아야 한다' 는 조건이 곧장 $2s = l$ 이라는 관계로 떠오릅니다. 그 다음은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 (1) $s$ 로부터 $l$ 구하기, (2) $ABCD$ 의 가로·세로 구하기, (3) 넓이 계산 — 세 단계로 깔끔하게 나눠 풉니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) 까지 갈 필요 없이, 잘 그린 한 장이면 충분합니다.
실행 — 정답: E
3.G.A.1 단계 1 - 그림 위에 작은 직사각형의 짧은 변은 모두 $s$, 긴 변은 모두 $l$ 로 표시해 봅니다.
- 왼쪽 단(쌓인 두 직사각형)으로 보면 $ABCD$ 의 세로는 짧은 변 두 개의 합 $s + s = 2s$ 이고, 오른쪽 단(세로로 선 직사각형 한 개)으로 보면 같은 세로가 긴 변 한 개분 $l$ 입니다.
- 같은 세로를 두 가지로 잰 것이므로 $2s = l$ 이 됩니다.
💡 같은 길이를 두 가지 방식으로 표현해 식을 얻는 것은 3학년 "도형이 공유하는 속성" 그대로입니다.
3.OA.A.3 단계 2 주어진 $s = 5$ 피트를 식에 대입해 작은 직사각형의 긴 변 $l$ 을 구합니다.
💡 한 자리 수를 두 배 하는 것은 3학년 곱셈 문장제 수준입니다.
3.G.A.1 단계 3 - 이제 큰 직사각형 $ABCD$ 의 가로·세로를 구합니다.
- 세로는 $l = 10$ 피트(오른쪽 단의 긴 변, 또는 왼쪽 두 짧은 변의 합 $5 + 5$).
- 가로는 왼쪽 단(가로로 누운 직사각형의 긴 변 $l = 10$)에 오른쪽 단(세로로 선 직사각형의 짧은 변 $s = 5$) 을 더한 $10 + 5 = 15$ 피트입니다.
💡 옆으로 붙은 두 조각의 가로를 더해 전체 가로를 얻는 것은 3학년 도형 분할·합성 사고와 같습니다.
4.MD.A.3 단계 4 직사각형 넓이 공식 $\text{넓이} = \text{가로} \times \text{세로}$ 를 $ABCD$ 에 적용해 최종 답을 제곱피트로 구합니다.
💡 실생활 측정 문제에 직사각형 넓이 공식을 적용하는 4학년 표준 4.MD.A.3 그 자체입니다.
3.G.A.1 그림 위에 작은 직사각형의 짧은 변은 모두 $s$, 긴 변은 모두 $l$ 로 표시해 봅니다. 왼쪽 단(쌓인 두 직사각형)으로 보면 $ABCD$ 3.OA.A.3 주어진 $s = 5$ 피트를 식에 대입해 작은 직사각형의 긴 변 $l$ 을 구합니다. 3.G.A.1 이제 큰 직사각형 $ABCD$ 의 가로·세로를 구합니다. 세로는 $l = 10$ 피트(오른쪽 단의 긴 변, 또는 왼쪽 두 짧은 변의 합 $5 + 4.MD.A.3 직사각형 넓이 공식 $\text{넓이} = \text{가로} \times \text{세로}$ 를 $ABCD$ 에 적용해 최종 답을 제곱피트로 구 검토
합리성 확인: 조각 수로 검산해 봅시다. 작은 직사각형 한 개의 넓이는 $s \times l = 5 \times 10 = 50$ 제곱피트이고, 큰 직사각형은 이 작은 직사각형 $3$ 개로 정확히 채워져 있으므로 전체 넓이는 $3 \times 50 = 150$ 제곱피트입니다. 공식으로 구한 값과 정확히 일치하고, 선택지 (E) 와도 맞습니다. $15 \times 10$ 피트짜리 바닥 넓이라는 크기도 "작은 직사각형 세 개로 만든 방" 으로 자연스럽습니다.
대안 접근: 도구 #10(직접 만져보기) — $5 \times 10$ 짜리 종이 직사각형 세 장을 잘라, 왼쪽에는 두 장을 위아래로 눕혀 쌓고 오른쪽에는 한 장을 세로로 세워 보면, 바깥 윤곽이 정확히 $15 \times 10$ 직사각형이 됩니다. 큰 직사각형이 그 세 장으로 빈틈없이 덮인다는 게 손으로 확인되므로 $\text{넓이} = 3 \times (5 \times 10) = 150$ 제곱피트 — 공식 없이도 같은 답이 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
3.G.A.1다른 범주의 도형들이 공통 속성을 공유함을 이해하기 ($ABCD$ 의 세로를 왼쪽 단으로 재면 $2s$, 오른쪽 단으로 재면 $l$ 이라는 두 표현이 같은 길이를 가리키므로 $2s = l$ 이 된다는 점, 그리고 $ABCD$ 의 가로가 좌·우 두 조각의 가로의 합이라는 점을 파악하는 데 사용.)3.OA.A.3100 이내의 곱셈·나눗셈 문장제 해결 (주어진 짧은 변 $s = 5$ 를 두 배 해서 긴 변 $l = 2 \times 5 = 10$ 피트를 구하는 데 사용.)4.MD.A.3직사각형의 넓이·둘레 공식을 실생활 문제에 적용하기 (큰 직사각형 $ABCD$ 에 $\text{넓이} = \text{가로} \times \text{세로} = 15 \times 10 = 150$ 제곱피트를 적용하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "직사각형 넓이 = 가로 $\times$ 세로" 공식만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "직사각형 넓이 = 가로 $\times$ 세로" 공식만 알면 풀 수 있어요!
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