AMC 8 · 2020 · #7
쉬운 모드 학년 4문제
2347 같은 네 자리 수를 떠올려봅시다. 다음 세 가지 규칙을 모두 만족하는 네 자리 수가 몇 개인지 세려고 해요.
규칙 1: 그 수는 2020보다 크고 2400보다 작아야 합니다.
규칙 2: 네 개의 자릿수가 모두 서로 달라야 합니다.
규칙 3: 자릿수가 왼쪽에서 오른쪽으로 점점 커져야 합니다. (예를 들어 2347은 자릿수가 2,3,4,7인데, 뒤로 갈수록 매번 더 큰 숫자가 와요.)
세 규칙을 모두 만족하는 네 자리 수는 몇 개일까요?
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AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $2020$ 보다 크고 $2400$ 보다 작은 네 자리 정수 중에서, 네 자릿수가 모두 서로 다르고 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 점점 커지는(엄격히 증가하는) 수가 몇 개인지 세는 문제입니다.
주어진 것: 정수 $N$ 은 $2020 < N < 2400$ 을 만족; $N$ 의 네 자릿수를 왼쪽부터 $a, b, c, d$ 라 함; 네 자릿수는 모두 서로 다름; 자릿수가 왼쪽에서 오른쪽으로 엄격히 증가: $a < b < c < d$; 선택지: (A) $9$, (B) $10$, (C) $15$, (D) $21$, (E) $28$
구하는 것: 위 조건을 모두 만족하는 네 자리 정수 $\overline{abcd}$ 의 총 개수
이해
문제 재정리: $2020$ 보다 크고 $2400$ 보다 작은 네 자리 정수 중에서, 네 자릿수가 모두 서로 다르고 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 점점 커지는(엄격히 증가하는) 수가 몇 개인지 세는 문제입니다.
주어진 것: 정수 $N$ 은 $2020 < N < 2400$ 을 만족; $N$ 의 네 자릿수를 왼쪽부터 $a, b, c, d$ 라 함; 네 자릿수는 모두 서로 다름; 자릿수가 왼쪽에서 오른쪽으로 엄격히 증가: $a < b < c < d$; 선택지: (A) $9$, (B) $10$, (C) $15$, (D) $21$, (E) $28$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #3 가능성 지우기
"몇 개인가?" 라고 묻는 문제이니 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 가 기본입니다. 다만 네 자리 수를 무작정 나열하기 전에, 도구 #3(가능성 지우기) 로 앞 두 자릿수부터 좁힙니다 — $2020 < N < 2400$ 범위와 "증가하는 자릿수" 조건이 합쳐지면 $a$ 와 $b$ 값이 사실상 하나로 정해지고, 자유롭게 고를 자릿수는 뒤의 두 개뿐입니다. $a, b$ 가 고정되면 $b$ 보다 큰 숫자들 중에서 증가하는 쌍 $(c, d)$ 만 차분히 나열하면 됩니다.
실행 — 정답: C
4.NBT.A.2 단계 1 - 천의 자리 $a$ 부터 못 박습니다.
- $N$ 이 $2020$ 과 $2400$ 사이에 있으니 $N$ 은 $2$ 로 시작하는 네 자리 수여야 합니다.
- ($1$ 로 시작하면 아무리 커도 $1999 < 2020$ 이고, $3$ 이상으로 시작하면 적어도 $3000 > 2400$ 이라서 둘 다 범위 밖입니다.) 따라서 $a = 2$.
💡 네 자리 수를 맨 앞자리만 보고 비교하는 것은 4학년 자릿값 그대로 — $2{,}xxx$ 묶음에 들어가려면 앞자리가 $2$ 여야 합니다.
4.NBT.A.2 단계 2 - 백의 자리 $b$ 를 못 박습니다.
- $a = 2$ 이고 $a < b$ 이므로 $b \geq 3$.
- 그런데 $b = 4$ 라면 그 뒤로 가장 작게 증가하는 $c, d$ 가 $5$ 와 $6$ 일 때 $N$ 의 최솟값이 $2456$ 이 되어 $2400$ 을 넘어갑니다.
- $b$ 가 더 커도 마찬가지로 범위 밖.
- 결국 $b = 3$ 만 가능합니다.
💡 $b$ 를 양쪽 부등식 사이에 끼워 넣어 좁히는 것도 같은 자릿값 비교 — 이번엔 백의 자리에서 적용했을 뿐입니다.
4.OA.A.3 단계 3 - 문제를 한 단계 더 축소합니다.
- 조건을 만족하는 $N$ 은 모두 $23cd$ 꼴이고, 추가 조건은 $3 < c < d \leq 9$ 입니다.
- 결국 $\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ 에서 $c < d$ 인 쌍 $(c, d)$ 의 개수만 세면 됩니다.
💡 큰 문제를 "작은 집합에서 쌍 고르기" 로 줄이는 것은 4학년 다단계 문장제 전형 그대로입니다.
2.OA.C.4 단계 4 - 작은 쪽 $c$ 를 기준으로 쌍 $(c, d)$ 를 빠짐없이 나열합니다.
- 각 $c$ 에 대해 $d$ 는 $c$ 보다 큰 자릿수면 됩니다.
- $c=4$: $(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9)$ — $5$ 개.
- $c=5$: $4$ 개.
- $c=6$: $3$ 개.
- $c=7$: $2$ 개.
- $c=8$: $1$ 개.
- $c=9$: $0$ 개 (자기보다 큰 자릿수가 없음).
💡 $5, 4, 3, 2, 1$ 개씩 줄지어 늘어선 항목을 모두 세는 일은 2학년 직사각형 배열의 합 — 행마다 개수만 더하면 끝납니다.
4.OA.A.3 단계 5 쌍 하나가 정수 $\overline{23cd}$ 하나에 정확히 대응하므로, 쌍의 개수가 곧 정수의 개수입니다.
💡 쌍과 수가 일대일로 대응하니 두 개수가 같아진다 — 4학년 다단계 추론으로 마무리.
4.NBT.A.2 천의 자리 $a$ 부터 못 박습니다. $N$ 이 $2020$ 과 $2400$ 사이에 있으니 $N$ 은 $2$ 로 시작하는 네 자리 수여야 합니다 4.NBT.A.2 백의 자리 $b$ 를 못 박습니다. $a = 2$ 이고 $a < b$ 이므로 $b \geq 3$. 그런데 $b = 4$ 라면 그 뒤로 가장 작게 4.OA.A.3 문제를 한 단계 더 축소합니다. 조건을 만족하는 $N$ 은 모두 $23cd$ 꼴이고, 추가 조건은 $3 < c < d \leq 9$ 입니다. 결 2.OA.C.4 작은 쪽 $c$ 를 기준으로 쌍 $(c, d)$ 를 빠짐없이 나열합니다. 각 $c$ 에 대해 $d$ 는 $c$ 보다 큰 자릿수면 됩니다. $c= 4.OA.A.3 쌍 하나가 정수 $\overline{23cd}$ 하나에 정확히 대응하므로, 쌍의 개수가 곧 정수의 개수입니다. 검토
합리성 확인: $15$ 개 중 몇 개를 직접 확인해 봅시다 — $2345$ (자릿수 $2,3,4,5$, 엄격히 증가, 범위 안), $2378$ ($2,3,7,8$), $2389$ ($2,3,8,9$) 모두 조건 통과. 만들 수 있는 가장 큰 수가 $2389 < 2400$, 가장 작은 수가 $2345 > 2020$ 이라 전체가 정확히 요구 범위 안에 들어옵니다. 답 $15$ 는 (C) 와 일치하고, 다른 선택지 ($9, 10, 21, 28$) 는 자연스러운 오답 시나리오에 해당하지 않습니다.
대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) + 조합 공식: $a, b$ 가 $2, 3$ 으로 고정되고 나면 $\{4,5,6,7,8,9\}$ 라는 $6$ 원소 집합에서 두 자릿수를 뽑기만 하면 되고 (큰 쪽이 $d$, 작은 쪽이 $c$ — 증가 순서는 단 하나) 그 가짓수는 $\binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ 입니다. 답은 똑같지만 이 풀이는 7학년 수준의 조합 공식을 끌어쓰는 반면, 위의 "빠짐없이 나열하기" 풀이는 4학년 수준 도구만으로 도달합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.NBT.A.2여러 자리 정수를 읽고 쓰며 부등호로 비교하기 (네 자리 수의 자릿값 비교로 $2020 < N < 2400$ 에서 $a = 2$ 를 끌어내고, 같은 비교로 ($b \geq 4$ 라면 $N > 2400$ 이 되므로) $b = 3$ 임을 못 박는 데 사용.)4.OA.A.3네 가지 사칙연산을 활용한 다단계 정수 문장제 해결 (원래의 "몇 개?" 문제를 "$\{4,\dots,9\}$ 에서 증가하는 쌍 $(c, d)$ 가 몇 개인가?" 라는 더 작은 문제로 줄이고, 쌍 하나당 정수 하나가 대응함을 확인하는 데 사용.)2.OA.C.4직사각형 배열 안 물체의 총 개수를 덧셈으로 구하기 (작은 쪽 $c$ 별로 쌍을 묶었을 때 행마다 $5, 4, 3, 2, 1$ 개씩 나오는 것을 $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ 로 합치는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 자릿값 비교와 "빠짐없이 나열해서 더하기" 만 알면 풀 수 있어요 — 조합 공식 같은 건 필요 없답니다!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 자릿값 비교와 "빠짐없이 나열해서 더하기" 만 알면 풀 수 있어요 — 조합 공식 같은 건 필요 없답니다!
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