AMC 8 · 2023 · #14
쉬운 모드 학년 4문제
니콜라스가 우표 모으기를 좋아하는 친구 안톤에게 소포를 보낸다고 떠올려 봅시다. 니콜라스는 소포 위에 우표를 가능한 한 많이 붙이고 싶어 해요.
니콜라스의 서랍 안에는 세 종류의 우표가 있어요.
- 5센트짜리 우표
- 10센트짜리 우표
- 25센트짜리 우표
종류별로 정확히 20장씩 가지고 있습니다.
내야 할 우편 요금은 딱 $7.10입니다. (1달러는 100센트니까, $7.10은 710센트와 같아요.)
우표 값의 합이 정확히 $7.10이 되도록 골라야 합니다. 이렇게 했을 때 니콜라스가 붙일 수 있는 우표는 최대 몇 장일까요?
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AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 니콜라스는 $5$센트, $10$센트, $25$센트짜리 우표를 각각 $20$장씩 가지고 있습니다. 정확히 $710$센트(= $\$7.10$)의 요금을 우표로 만들되, 사용하는 우표 장수를 가능한 한 많이 하려고 합니다. 사용할 수 있는 최대 장수는 몇 장일까요?
주어진 것: 우표 종류: $5$센트, $10$센트, $25$센트의 세 가지; 각 종류별로 정확히 $20$장씩 보유; 만들어야 하는 우편 요금: 정확히 $\$7.10 = 710$센트; 전체 $60$장의 총 가치: $20\cdot 5+20\cdot 10+20\cdot 25 = 100+200+500 = 800$센트; 보기: (A) $45$, (B) $46$, (C) $51$, (D) $54$, (E) $55$
구하는 것: 총 가치가 정확히 $710$센트가 되도록 할 때 사용할 수 있는 우표의 최대 장수
이해
문제 재정리: 니콜라스는 $5$센트, $10$센트, $25$센트짜리 우표를 각각 $20$장씩 가지고 있습니다. 정확히 $710$센트(= $\$7.10$)의 요금을 우표로 만들되, 사용하는 우표 장수를 가능한 한 많이 하려고 합니다. 사용할 수 있는 최대 장수는 몇 장일까요?
주어진 것: 우표 종류: $5$센트, $10$센트, $25$센트의 세 가지; 각 종류별로 정확히 $20$장씩 보유; 만들어야 하는 우편 요금: 정확히 $\$7.10 = 710$센트; 전체 $60$장의 총 가치: $20\cdot 5+20\cdot 10+20\cdot 25 = 100+200+500 = 800$센트; 보기: (A) $45$, (B) $46$, (C) $51$, (D) $54$, (E) $55$
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기 / 여집합 세기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #6 추측하고 확인하기
$710$센트를 만들면서 우표를 "많이" 쓰는 조합을 직접 찾으려고 하면, 작은 우표를 계속 더해야 해서 머릿속이 복잡해집니다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 시선을 뒤집어 보면, 전체 컬렉션의 가치는 $800$센트인데 우편에 쓰지 않을(=빼놓을) 우표의 가치는 정확히 $800-710=90$센트여야 합니다. "사용하는 장수를 최대화한다"는 것은 "빼놓는 장수를 최소화한다"와 같습니다. 그래서 문제는 "$90$센트를 만드는 가장 적은 우표 장수는?"이라는 작고 깔끔한 질문으로 바뀝니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 큰 단위부터 채우는 단계로 나누고, 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 마지막에 답을 한 번 더 점검합니다.
실행 — 정답: E
3.OA.C.7 단계 1 - 먼저 전체 가치를 정리합니다.
- 각 종류는 (장수)$\times$(가치)만큼 기여하고, 세 기여분을 더하면 컬렉션 전체의 가치가 됩니다.
- 전체 장수도 같이 세어 둡니다.
💡 $20$ 같은 작은 수에 $5,10,25$를 곱하는 것은 3학년 때 익히는 기본 곱셈이에요.
2.MD.C.8 단계 2 - 도구 #16의 관점 뒤집기를 적용합니다.
- 컬렉션은 $800$센트이지만 실제 우편에 쓰는 금액은 $710$센트이므로, 빼놓는 우표들의 가치는 정확히 $800-710=90$센트여야 합니다.
- 사용하는 장수를 "최대화"하는 것은 빼놓는 장수를 "최소화"하는 것과 같습니다.
💡 두 금액의 차이를 구해 "남는 금액"을 찾는 것은 2학년 화폐 단원에서 다루는 기술이에요.
4.NBT.B.6 단계 3 - 이제 작은 문제로 바뀌었습니다: $90$센트를 "가장 적은" 우표 수로 만들기.
- 적게 쓰려면 큰 단위 먼저 사용해야 합니다.
- $90$ 안에 들어가는 $25$센트짜리 우표의 수는 $\lfloor 90/25\rfloor=3$장이고, 이로 $75$센트를 채우고 $15$센트가 남습니다.
💡 $90$을 $25$로 나누어 몫과 나머지를 구하는 것은 "$25$가 몇 개 들어가나?"라는 4학년 나눗셈이에요.
2.MD.C.8 단계 4 - 남은 $15$센트도 가장 적은 우표 수로 채웁니다.
- $10$센트 한 장으로 $10$센트를 채우고, 남은 $5$센트는 $5$센트 한 장으로 채웁니다.
- 따라서 빼놓는 우표는 $25$센트 $3$장 + $10$센트 $1$장 + $5$센트 $1$장으로 총 $5$장입니다.
- 각 종류 $20$장씩 보유하므로 이 조합은 충분히 가능합니다.
💡 $5,10,25$센트짜리 동전(우표)을 조합해 목표 금액을 만드는 것은 2학년 화폐 문제와 똑같아요.
4.OA.A.3 단계 5 - 전체 장수에서 빼놓는 장수를 빼면 됩니다.
- 사용할 수 있는 최대 우표 수는 $60-5=55$장이고, 이것은 보기 (E)와 일치합니다.
💡 여러 단계를 거친 계획을 하나의 뺄셈으로 마무리하는 것은 4학년의 다단계 문장제 기준이에요.
4.OA.A.3 단계 6 - 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 직접 검산합니다.
- $5$센트 우표 $20-1=19$장, $10$센트 우표 $20-1=19$장, $25$센트 우표 $20-3=17$장을 쓴다고 가정해 장수와 금액을 각각 확인합니다.
💡 답을 원래 식에 대입해 "장수"와 "금액" 모두 맞는지 확인하는 다단계 검산은 4학년 단계에서 충분히 할 수 있어요.
3.OA.C.7 먼저 전체 가치를 정리합니다. 각 종류는 (장수)$\times$(가치)만큼 기여하고, 세 기여분을 더하면 컬렉션 전체의 가치가 됩니다. 전체 장 2.MD.C.8 도구 #16의 관점 뒤집기를 적용합니다. 컬렉션은 $800$센트이지만 실제 우편에 쓰는 금액은 $710$센트이므로, 빼놓는 우표들의 가치는 정확 4.NBT.B.6 이제 작은 문제로 바뀌었습니다: $90$센트를 "가장 적은" 우표 수로 만들기. 적게 쓰려면 큰 단위 먼저 사용해야 합니다. $90$ 안에 들어 2.MD.C.8 남은 $15$센트도 가장 적은 우표 수로 채웁니다. $10$센트 한 장으로 $10$센트를 채우고, 남은 $5$센트는 $5$센트 한 장으로 채웁니 4.OA.A.3 전체 장수에서 빼놓는 장수를 빼면 됩니다. 사용할 수 있는 최대 우표 수는 $60-5=55$장이고, 이것은 보기 (E)와 일치합니다. 4.OA.A.3 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 직접 검산합니다. $5$센트 우표 $20-1=19$장, $10$센트 우표 $20-1=19$장, $25$센트 우 검토
합리성 확인: $55$장이 그럴듯한지 점검해 봅니다. 니콜라스는 $800$센트어치의 우표 $60$장을 가지고 있는데 필요한 금액은 $710$센트뿐이므로 $90$센트가 "남는" 상황입니다. 이 $90$센트를 빼놓을 때 "가장 적은 장수"로 빼려면 큰 액면(쿼터)을 위주로 빼야 하고, 그 결과 빼놓는 장수가 $5$장이 됩니다. 그러므로 사용 장수는 $60-5=55$장으로, 보기 중 가장 큰 값이며 "최대화"라는 문제 요구와도 일치합니다. $45$, $46$ 같은 작은 보기는 굳이 더 많은 우표를 빼놓는다는 뜻이라 "최대"가 될 수 없습니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)만으로도 풀 수 있습니다. 가장 큰 보기 $55$부터 시도해 봅니다. 사용한 $5$센트 장수를 $a$, $10$센트 장수를 $b$, $25$센트 장수를 $c$라 하면 $a+b+c=55$, $5a+10b+25c=710$입니다. 둘째 식에서 첫째 식의 $5$배를 빼면 $5b+20c=435$, 즉 $b+4c=87$이 되고, $c=17$로 놓으면 $b=19$, $a=19$로 모두 $20$ 이하입니다. 즉 $55$가 실현 가능하므로 답은 (E)입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
2.MD.C.8Solve word problems involving dollar bills, quarters, dimes, nickels, and pennies ($5$센트, $10$센트, $25$센트의 조합으로 정확한 금액(목표 $710$센트와 빼놓는 $90$센트)을 만드는 화폐 문장제 추론에 사용했습니다.)3.OA.C.7Fluently multiply and divide within 100 ($20\times 5$, $20\times 10$, $20\times 25$, $3\times 25$ 등 우표 가치를 합산할 때의 곱셈 계산에 사용했습니다.)4.NBT.B.6Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends ($90$센트를 $25$센트짜리로 채울 때 $\lfloor 90/25\rfloor=3$, 나머지 $15$를 구하는 몫-나머지 계산에 사용했습니다.)4.OA.A.3Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (관점 뒤집기 → 큰 액면부터 채우기 → $60-5$ 뺄셈 → 검산까지 이어지는 다단계 문장제를 묶어 하나의 풀이로 구성하는 데 사용했습니다.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 '다단계 문장제 풀이'만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 '다단계 문장제 풀이'만 알면 풀 수 있어요!
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