AMC 8 · 2024 · #1
쉬운 모드 학년 4문제
222,222라는 수에서 시작한다고 상상해봅시다. 이 수에서 다섯 개의 수를 차례대로 빼려고 합니다.
빼는 수는 순서대로 22,222, 2,222, 222, 22, 그리고 2입니다.
뺄셈을 모두 마쳤을 때, 그 결과 값의 일의 자리 숫자는 무엇일까요?
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AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $222{,}222 - 22{,}222 - 2{,}222 - 222 - 22 - 2$ 의 값의 **일의 자리 숫자**가 무엇인지 묻는 문제입니다. 전체 값을 구할 필요는 없고, 마지막 한 자리 숫자만 알면 됩니다.
주어진 것: 큰 수 하나에서 다섯 개의 작은 수를 차례로 빼는 식: $222{,}222 - 22{,}222 - 2{,}222 - 222 - 22 - 2$; 식에 등장하는 모든 수는 숫자 2로만 이루어져 있다; 모든 항의 일의 자리 숫자가 2이다; 다섯 개의 선택지: (A) 0, (B) 2, (C) 4, (D) 8, (E) 10
구하는 것: 최종 결과의 일의 자리 숫자
이해
문제 재정리: $222{,}222 - 22{,}222 - 2{,}222 - 222 - 22 - 2$ 의 값의 **일의 자리 숫자**가 무엇인지 묻는 문제입니다. 전체 값을 구할 필요는 없고, 마지막 한 자리 숫자만 알면 됩니다.
주어진 것: 큰 수 하나에서 다섯 개의 작은 수를 차례로 빼는 식: $222{,}222 - 22{,}222 - 2{,}222 - 222 - 22 - 2$; 식에 등장하는 모든 수는 숫자 2로만 이루어져 있다; 모든 항의 일의 자리 숫자가 2이다; 다섯 개의 선택지: (A) 0, (B) 2, (C) 4, (D) 8, (E) 10
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기
여섯 자리 큰 수가 무서워 보이지만, 우리가 알아야 할 건 **마지막 한 자리**뿐입니다. 그러니 각 수를 일의 자리 숫자 하나로 줄여 버리면, 문제 전체가 한 자리 수 계산으로 바뀌어 훨씬 쉬운 문제가 됩니다(도구 #9). 모든 수가 2로 끝난다는 **패턴**(도구 #5) 덕분에 이 줄이기가 깔끔하게 들어맞고, 객관식이니 마지막에 **선택지 소거**(도구 #3)로 검산까지 할 수 있습니다.
실행 — 정답: B
4.NBT.A.2 단계 1 - 식에 들어 있는 모든 수 — $222{,}222$, $22{,}222$, $2{,}222$, $222$, $22$, $2$ — 의 일의 자리 숫자가 전부 2라는 것을 관찰합니다.
- 합이나 차의 일의 자리 숫자는 각 수의 일의 자리 숫자만으로 결정되므로, 일의 자리를 뺀 나머지 자리는 모두 무시할 수 있습니다.
- 이것이 바로 "더 쉬운 문제로 줄이기"의 핵심 — 여섯 자리 수를 한 자리 수로 줄여 버립니다.
💡 여러 자리 수를 읽고 일의 자리 숫자가 무엇인지 짚어내는 것은 4학년 자릿값(place value) 단원에서 다루는 바로 그 능력입니다.
2.OA.B.2 단계 2 - 빼는 다섯 개의 수의 일의 자리 숫자를 모아서 더해 봅니다.
- 각각 일의 자리에 2를 하나씩 기여하므로 합은 $2+2+2+2+2 = 10$ 입니다.
- 따라서 빼는 다섯 수의 총합은 일의 자리 숫자가 **0** 인 수가 됩니다.
💡 20 이하의 작은 수 다섯 개를 머릿속으로 더하는 것은 2학년에서 익히는 기본 셈입니다.
4.NBT.B.4 단계 3 - 이제 원래 식의 일의 자리 칸만 보면 $2 - 0 = 2$ 와 같은 모양이 됩니다.
- 첫 수 $222{,}222$ 의 일의 자리는 2, 빼는 수들의 합의 일의 자리는 0이므로 일의 자리에서 **받아내림(빌려오기)이 일어나지 않습니다**.
- 따라서 최종 답의 일의 자리 숫자는 2 입니다.
💡 여러 자리 수를 자릿값별로 빼는 4학년 표준 계산법 덕분에 일의 자리 칸만 따로 떼어 안전하게 다룰 수 있습니다.
2.NBT.A.1 단계 4 - 선택지로 교차 확인합니다.
- 후보는 0, 2, 4, 8, 10.
- 우리가 구한 일의 자리 숫자는 2이므로 **(B)** 와 일치합니다.
- (E) 10은 애초에 한 자리 숫자가 아니므로 모양만 봐도 제외할 수 있고, 0·4·8 은 $2-0$ 으로 절대 나올 수 없는 값입니다.
💡 수의 일의 자리를 짚어 선택지와 맞춰 보는 것은 2학년 자릿값 개념의 직접적인 활용입니다.
4.NBT.A.2 식에 들어 있는 모든 수 — $222{,}222$, $22{,}222$, $2{,}222$, $222$, $22$, $2$ — 의 일의 자리 숫 2.OA.B.2 빼는 다섯 개의 수의 일의 자리 숫자를 모아서 더해 봅니다. 각각 일의 자리에 2를 하나씩 기여하므로 합은 $2+2+2+2+2 = 10$ 입니다 4.NBT.B.4 이제 원래 식의 일의 자리 칸만 보면 $2 - 0 = 2$ 와 같은 모양이 됩니다. 첫 수 $222{,}222$ 의 일의 자리는 2, 빼는 수들 2.NBT.A.1 선택지로 교차 확인합니다. 후보는 0, 2, 4, 8, 10. 우리가 구한 일의 자리 숫자는 2이므로 **(B)** 와 일치합니다. (E) 10 검토
합리성 확인: 실제로 끝까지 계산해 보면, $22{,}222 + 2{,}222 + 222 + 22 + 2 = 24{,}690$ 이고 $222{,}222 - 24{,}690 = 197{,}532$ 입니다. $197{,}532$ 의 일의 자리는 정말로 2이므로, 일의 자리만 보고 푼 지름길이 전체 계산과 일치합니다. 정답 (B) 2 가 맞습니다.
대안 접근: 다른 방법으로는 도구 #13(대수로 바꾸기)을 빌려 **모듈로 10 연산**으로 풀 수 있습니다. 각 항이 $\equiv 2 \pmod{10}$ 이므로 $2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 = -8 \equiv 2 \pmod{10}$. 답은 같지만, 초등학생에게는 "더 쉬운 문제로 줄이기" 쪽이 훨씬 자연스럽습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
2.NBT.A.1세 자리 수의 세 자리가 각각 백·십·일을 나타냄을 이해한다 (각 수의 일의 자리를 짚어 선택지와 맞춰 보기 위해 사용.)2.OA.B.220 이하의 덧셈·뺄셈을 암산 전략으로 능숙하게 한다 (다섯 개의 일의 자리 숫자 $2+2+2+2+2=10$ 을 머릿속으로 더하는 데 사용.)4.NBT.A.2여러 자리 수를 읽고 쓰며 기호로 비교한다 ($222{,}222$ 까지의 여러 자리 수에서 일의 자리 숫자가 2임을 인식하는 데 사용.)4.NBT.B.4여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 한다 (여러 자리 뺄셈에서 자릿값별로 생각하여 일의 자리 칸의 결과를 곧바로 읽어내는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 여러 자리 수 자릿값 감각만 알면 풀려요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 여러 자리 수 자릿값 감각만 알면 풀려요!
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