AMC 10 · 2020 · #9

학년 6 arithmetic

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Chained Ratio Linking

lcmratio-proportionmultiples guess-and-checkpattern-recognition ↑ 선수 지식: lcmratio-proportion

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

A single bench section at a school event can hold either $7$ adults or $11$ children. When $N$ bench sections are connected end to end, an equal number of adults and children seated together will occupy all the bench space. What is the least possible positive integer value of $N?$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 벤치 한 개에는 어른 $7$ 명만 앉거나 어린이 $11$ 명만 앉을 수 있다. 벤치 $N$ 개를 끝과 끝을 이어 붙였을 때 어른과 어린이가 같은 수로 함께 앉아 벤치를 빈자리 없이 정확히 채우려면 $N$ 의 최솟값은 얼마인가?

주어진 것: 벤치 $1$ 개 $=$ 어른 $7$ 자리 $=$ 어린이 $11$ 자리; 벤치 $N$ 개를 일렬 배치, 빈자리 없이 가득; 앉는 어른 수 $=$ 앉는 어린이 수 $=$ 양의 정수, $k$ 라 하자; 선택지: (A) $9$, (B) $18$, (C) $27$, (D) $36$, (E) $77$

구하는 것: 양의 정수 $N$ 의 최솟값

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #5 패턴 찾기

보기는 다섯 개뿐. 도구 #6 (추측·확인) 으로 각 $N$ 을 벤치 균형식에 대입. 도구 #3 (가능성 지우기) 으로 사람 수가 분수가 되는 $N$ 탈락. 도구 #5 (패턴) 가 본질 규칙을 드러냄 — $k$ 는 $7$ 과 $11$ 의 공배수여야 하고 최솟값은 $\text{LCM}(7, 11) = 77$, 그래서 $N = 77/7 + 77/11 = 11 + 7 = 18$.

실행 — 정답: B

#5 패턴 찾기 6.RP.A.3 단계 1

자리 배치를 벤치 개수의 분수로 옮김.
어른 $k$ 명은 $\dfrac{k}{7}$ 개 벤치 (어른 $7$ 명마다 한 벤치).
어린이 $k$ 명은 $\dfrac{k}{11}$ 개 벤치.
두 합이 정확히 $N$.

$$\dfrac{k}{7} + \dfrac{k}{11} = N$$

💡 어른 $7$ 명 $=$ 벤치 $1$ 개이므로 어른 $k$ 명 $=$ 벤치 $k/7$ 개. 어린이도 같은 논리.

#5 패턴 찾기 6.NS.B.4 단계 2

$N$ 이 양의 정수이려면 $k$ 가 두 분모 ($7$ 과 $11$) 의 공배수여야 함.
가장 작은 그런 $k$ 는 $\text{LCM}(7, 11) = 77$ ($7$ 과 $11$ 은 둘 다 소수이고 공통인수 없음).

$$k = \text{LCM}(7, 11) = 77$$

💡 두 수가 모두 소수면 LCM 은 그저 곱.

#6 추측하고 확인하기 3.OA.C.7 단계 3

$k = 77$ 을 벤치식에 대입.

$$N = \dfrac{77}{7} + \dfrac{77}{11} = 11 + 7 = 18$$

💡 어른 $77$ 명은 벤치 $11$ 개, 어린이 $77$ 명은 벤치 $7$ 개 — 합쳐서 $18$ 개를 빈자리 없이 채움.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.7 단계 4

더 작은 보기는 안 되는지 확인.
$N = 9$ 이면 $\dfrac{k}{7} + \dfrac{k}{11} = 9$ 에서 $k = \dfrac{9 \cdot 77}{18} = 38.5$ — 사람 수가 분수, 불가능.
$18$ 의 배수가 아닌 어떤 $N$ 도 같은 이유로 탈락.

$N = 9 \Rightarrow k = 38.5$ — 사람 수 분수, 불가능

💡 $18$ 미만의 $N$ 은 모두 사람 수가 정수가 안 되어 물리적으로 불가능.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 5

$N = 18$ 은 (B).

$$N = 18\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 일치하는 보기 고르기.

[1] #5 6.RP.A.3 자리 배치를 벤치 개수의 분수로 옮김. 어른 $k$ 명은 $\dfrac{k}{7}$ 개 벤치 (어른 $7$ 명마다 한 벤치). 어린이 $k$ 명

[2] #5 6.NS.B.4 $N$ 이 양의 정수이려면 $k$ 가 두 분모 ($7$ 과 $11$) 의 공배수여야 함. 가장 작은 그런 $k$ 는 $\text{LCM}(7,

[3] #6 3.OA.C.7 $k = 77$ 을 벤치식에 대입.

[4] #3 6.EE.B.7 더 작은 보기는 안 되는지 확인. $N = 9$ 이면 $\dfrac{k}{7} + \dfrac{k}{11} = 9$ 에서 $k = \dfrac{

[5] #3 4.NBT.A.2 $N = 18$ 은 (B).

검토

합리성 확인: 물리적 배치로 검증. 벤치 $18$ 개에 어른 $77$ 명 (벤치 $11$ 개) $+$ 어린이 $77$ 명 (벤치 $7$ 개). 어른 수 $=$ 어린이 수 $= 77$ ✓. 사용 벤치 $11 + 7 = 18$ 개 ✓. 빈자리 없음. 또 $7 + 11 = 18$ 이라는 깔끔한 지름길도 — 벤치당 어른 $a$ 명, 어린이 $c$ 명일 때 $\gcd(a, c) = 1$ 이면 $k = ac$, $N = c + a$.

대안 접근: 도구 #6 (순수 추측·확인) 으로 보기별 대입. $N = 18$ 검사: $\dfrac{k}{7} + \dfrac{k}{11} = 18 \Rightarrow k \cdot \dfrac{18}{77} = 18 \Rightarrow k = 77$ ✓. $N = 9$: $k = 38.5$ ✗. $N = 27$: $k = 115.5$ ✗. $N = 36$: $k = 154$ ✓ 이지만 $N = 18$ 보다 큼. 최솟값은 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비와 비율로 실생활·수학 문제 풀기 ('어른 $7$ 명당 벤치 하나'를 벤치 개수 $\dfrac{k}{7}$ 로 옮기고 어린이도 같은 식으로 표현.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($\text{LCM}(7, 11) = 77$ — 두 벤치 분수를 모두 정수로 만드는 최소 $k$.)
3.OA.C.7 $100$ 이내 곱셈·나눗셈을 능숙하게 ($77/7 = 11$, $77/11 = 7$ 으로 $N = 18$ 계산.)
6.EE.B.7 $px = q$ 꼴 방정식으로 실생활 문제 풀기 ($\dfrac{k}{7} + \dfrac{k}{11} = N$ 에서 $k$ 를 풀어 더 작은 보기 검증.)
4.NBT.A.2 여러 자리 자연수를 읽고 쓰고 비교하기 (계산값 $18$ 을 (B) 와 매칭.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 LCM 만 알면 풀 수 있어요 — 같은 인원 $k$ 가 어른 $7$-인 벤치로도 어린이 $11$-인 벤치로도 정수로 나뉘려면 $k = \text{LCM}(7,11) = 77$, 그래서 벤치 수는 $77/7 + 77/11 = 11 + 7 = 18$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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