AMC 10 · 2020 · #9
학년 6 algebra문제
How many ordered pairs of integers (x,y) satisfy the equation x2020+y2=2y?
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AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $x^{2020} + y^2 = 2y$ 를 만족하는 정수 순서쌍 $(x, y)$ 의 개수를 구하시오.
주어진 것: 식 $x^{2020} + y^2 = 2y$; $x, y$ 모두 정수; $2020$ 은 짝수 지수; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) 무한히 많음
구하는 것: 정수 순서쌍 $(x, y)$ 의 개수
이해
문제 재정리: $x^{2020} + y^2 = 2y$ 를 만족하는 정수 순서쌍 $(x, y)$ 의 개수를 구하시오.
주어진 것: 식 $x^{2020} + y^2 = 2y$; $x, y$ 모두 정수; $2020$ 은 짝수 지수; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) 무한히 많음
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기
도구 #7 로 완전제곱을 이용해 $x^{2020} + (y-1)^2 = 1$ 로 변형 — 두 항 모두 음 아닌 정수, 합이 $1$. 도구 #9 (더 쉬운) 로 무서워 보이는 $x^{2020}$ 을 "$x = 0$ 이면 $0$, $x = \pm 1$ 이면 $1$, 그 외엔 거대" 로 단순화. 도구 #2 로 합이 $1$ 인 두 경우만 나열. 도구 #3 으로 보기와 매칭.
실행 — 정답: D
6.EE.A.3 단계 1 $2y$ 를 좌변으로 옮기고 $y$ 항을 완전제곱으로 정리.
💡 완전제곱으로 양 항을 모두 음 아닌 값으로.
6.EE.A.1 단계 2 - $x^{2020}$ 과 $(y-1)^2$ 모두 음 아닌 정수 ($2020$ 은 짝수 지수, $(y-1)^2$ 은 완전제곱).
- 음 아닌 정수 두 개의 합이 $1$ 이려면 하나는 $0$, 다른 하나는 $1$ 뿐.
- 두 시나리오만 확인하면 됨.
💡 음 아닌 정수의 합이 $1$ 이면 $0 + 1$ 뿐.
6.EE.B.5 단계 3 - 시나리오 1: $x^{2020} = 0$ 이고 $(y - 1)^2 = 1$.
- 앞 식에서 $x = 0$.
- 뒤 식에서 $y - 1 = \pm 1$, 즉 $y = 0$ 또는 $y = 2$.
- 즉 두 쌍: $(0, 0), (0, 2)$.
💡 $0 + 1 = 1$ 갈래.
6.EE.B.5 단계 4 - 시나리오 2: $x^{2020} = 1$ 이고 $(y - 1)^2 = 0$.
- 앞 식에서 $x = \pm 1$ (정수 중 $2020$ 제곱이 $1$ 인 것).
- 뒤 식에서 $y = 1$.
- 즉 두 쌍 더: $(1, 1), (-1, 1)$.
💡 $1 + 0 = 1$ 갈래.
2.OA.A.1 단계 5 - 두 시나리오는 서로 다른 $y$ 값을 가지므로 겹치지 않음.
- 합하면 $2 + 2 = 4$ 쌍: $(0, 0), (0, 2), (1, 1), (-1, 1)$.
💡 서로 겹치지 않으니 그냥 합.
4.NBT.A.2 단계 6 $4$ 는 (D).
💡 일치하는 보기 찾기.
6.EE.A.3 $2y$ 를 좌변으로 옮기고 $y$ 항을 완전제곱으로 정리. 6.EE.A.1 $x^{2020}$ 과 $(y-1)^2$ 모두 음 아닌 정수 ($2020$ 은 짝수 지수, $(y-1)^2$ 은 완전제곱). 음 아닌 정수 두 6.EE.B.5 시나리오 1: $x^{2020} = 0$ 이고 $(y - 1)^2 = 1$. 앞 식에서 $x = 0$. 뒤 식에서 $y - 1 = \pm 1$, 6.EE.B.5 시나리오 2: $x^{2020} = 1$ 이고 $(y - 1)^2 = 0$. 앞 식에서 $x = \pm 1$ (정수 중 $2020$ 제곱이 $1 2.OA.A.1 두 시나리오는 서로 다른 $y$ 값을 가지므로 겹치지 않음. 합하면 $2 + 2 = 4$ 쌍: $(0, 0), (0, 2), (1, 1), (- 4.NBT.A.2 $4$ 는 (D). 검토
합리성 확인: 네 쌍을 원식 $x^{2020} + y^2 = 2y$ 에 대입해 확인: $(0, 0): 0 + 0 = 0 = 2 \cdot 0$ ✓; $(0, 2): 0 + 4 = 4 = 2 \cdot 2$ ✓; $(1, 1): 1 + 1 = 2 = 2 \cdot 1$ ✓; $(-1, 1): 1 + 1 = 2 = 2 \cdot 1$ ✓. 다른 쌍이 없음도 확인: $|x| \geq 2$ 면 $x^{2020} \geq 2^{2020}$ 이라 $(y-1)^2$ 이 음수가 되어야 하는데 불가능. 보기 (E) 무한히 많음은 배제. ✓
대안 접근: 도구 #6 (추측·확인) 으로 작은 $x$ 부터: $x = 0$ 이면 $y(y-2) = 0$, $y \in \{0, 2\}$. $x = \pm 1$ 이면 $(y-1)^2 = 0$, $y = 1$. $|x| \geq 2$ 면 좌변이 너무 커 해 없음. 같은 $4$ 쌍.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.A.3연산의 성질로 동치인 식 만들기 ($y^2 - 2y$ 를 $(y - 1)^2 - 1$ 로 정리 (완전제곱) 해서 양변을 음 아닌 항의 합 $= 1$ 로 만듦.)6.EE.A.1자연수 지수 식 쓰고 계산하기 (짝수 지수라 $x^{2020} \geq 0$ 이고, $x^{2020} = 1$ 은 정수에서 $x = \pm 1$ 일 때뿐임을 사용.)6.EE.B.5방정식·부등식의 풀이를 값을 찾는 과정으로 이해 ($(y - 1)^2 = 1$ 과 $(y - 1)^2 = 0$ 을 풀어 $y$ 를 구하고, 대응되는 $x$ 를 $x^{2020} = 0$ 또는 $1$ 에서 읽어냄.)2.OA.A.1$100$ 이내 한·두 단계 덧셈·뺄셈 응용 문제 풀기 (두 시나리오 개수 합산: $2 + 2 = 4$.)4.NBT.A.2여러 자리 자연수를 읽고 쓰고 비교하기 (개수 $4$ 를 (D) 와 매칭.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 식 변형만 알면 풀 수 있어요 — 완전제곱으로 $x^{2020} + (y-1)^2 = 1$ 로 정리하면, 음 아닌 두 정수의 합이 $1$ 이 되는 경우는 $0 + 1$ 뿐. 그래서 $(0, 0), (0, 2), (1, 1), (-1, 1)$ 의 $4$ 쌍.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 식 변형만 알면 풀 수 있어요 — 완전제곱으로 $x^{2020} + (y-1)^2 = 1$ 로 정리하면, 음 아닌 두 정수의 합이 $1$ 이 되는 경우는 $0 + 1$ 뿐. 그래서 $(0, 0), (0, 2), (1, 1), (-1, 1)$ 의 $4$ 쌍.
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