AMC 10 · 2021 · #4

학년 4 arithmetic

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

pair-countingparitymulti-digit-arithmeticset-partition identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

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문제

At a math contest, $57$ students are wearing blue shirts, and another $75$ students are wearing yellow shirts. The $132$ students are assigned into $66$ pairs. In exactly $23$ of these pairs, both students are wearing blue shirts. In how many pairs are both students wearing yellow shirts?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~23

(B)

~32

(C)

~37

(D)

~41

(E)

~64

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 파란 셔츠 $57$ 명, 노란 셔츠 $75$ 명, 총 $132$ 명을 $66$ 쌍으로 묶었습니다. 그 중 정확히 $23$ 쌍이 "파랑-파랑". 노란-노랑 쌍은 몇 개일까요?

주어진 것: 파란 셔츠: $57$ 명; 노란 셔츠: $75$ 명; 전체: $57 + 75 = 132$ 명; 전체 쌍: $66$; 파랑-파랑 쌍: $23$; 선택지: (A) $23$, (B) $32$, (C) $37$, (D) $41$, (E) $64$

구하는 것: 노랑-노랑 쌍의 개수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 쌍 종류별로 세기: 파랑-파랑 $\to$ 사용된 파란 학생, 혼합 $\to$ 남은 파란 학생 수 $=$ 그만큼의 노란 학생 수, 노랑-노랑 $\to$ 남은 노란 학생 수를 $2$ 로 나눔. 도구 #1(그림 그리기)로 세 칸(BB, BY, YY)을 그려 각 학생이 어디에 들어가는지 추적. 도구 #3(가능성 지우기)은 안전망: 전체 쌍 $= 23 + \text{혼합} + \text{노랑-노랑} = 66$ 이므로 혼합 $+$ 노랑-노랑 $= 43$, (A) $23$ 은 바로 제거.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.C.7 단계 1

파랑-파랑 쌍의 파란 학생 수.
쌍마다 $2$ 명이므로 $23$ 쌍 $\times 2 = 46$ 명.

$$23 \times 2 = 46 \text{ (파랑-파랑 속 파란 학생)}$$

💡 한 쌍 $2$ 명 $\times$ 쌍 수 — 3학년 $100$ 이내 곱셈.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.OA.A.1 단계 2

혼합 쌍의 파란 학생 수.
남은 파란 학생은 노란 학생과 짝지어져야 함.
혼합 쌍의 파란 학생 $= 57 - 46 = 11$ 명.

$$57 - 46 = 11 \text{ (혼합 쌍 속 파란 학생)}$$

💡 이미 쓴 만큼 빼기 — 2학년 뺄셈 문장제.

#1 그림 그리기 3.OA.A.3 단계 3

혼합 쌍 한 개에는 파란 $1$ 명과 노란 $1$ 명이 있음.
따라서 혼합 쌍 $11$ 개는 노란 학생 $11$ 명을 사용.

$$11 \text{ 혼합 쌍} \;\Rightarrow\; 11 \text{ (혼합 쌍 속 노란 학생)}$$

💡 혼합 쌍 한 개당 노란 $1$ 명 — 3학년 곱셈·나눗셈 문장제.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 4

노랑-노랑 쌍에 들어갈 노란 학생 수.
노란 $75$ 명 중 $11$ 명은 혼합 쌍이므로 남은 $75 - 11 = 64$ 명이 노란끼리 짝지어짐.

$$75 - 11 = 64 \text{ (노랑-노랑 속 노란 학생)}$$

💡 노란 총수에서 혼합 사용분을 빼기 — 4학년 여러 자리 뺄셈.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.C.7 단계 5

남은 노란 학생을 $2$ 명씩 묶기.
$64 \div 2 = 32$ 쌍.
선택지 (B).

$$64 \div 2 = 32 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $2$ 명 $\to$ $1$ 쌍, 그래서 $2$ 로 나누기 — 3학년 $100$ 이내 나눗셈.

[1] #7 3.OA.C.7 파랑-파랑 쌍의 파란 학생 수. 쌍마다 $2$ 명이므로 $23$ 쌍 $\times 2 = 46$ 명.

[2] #7 2.OA.A.1 혼합 쌍의 파란 학생 수. 남은 파란 학생은 노란 학생과 짝지어져야 함. 혼합 쌍의 파란 학생 $= 57 - 46 = 11$ 명.

[3] #1 3.OA.A.3 혼합 쌍 한 개에는 파란 $1$ 명과 노란 $1$ 명이 있음. 따라서 혼합 쌍 $11$ 개는 노란 학생 $11$ 명을 사용.

[4] #7 4.NBT.B.4 노랑-노랑 쌍에 들어갈 노란 학생 수. 노란 $75$ 명 중 $11$ 명은 혼합 쌍이므로 남은 $75 - 11 = 64$ 명이 노란끼리 짝지어짐

[5] #7 3.OA.C.7 남은 노란 학생을 $2$ 명씩 묶기. $64 \div 2 = 32$ 쌍. 선택지 (B).

검토

합리성 확인: 쌍 합계: $23$ 파랑-파랑 $+ 11$ 혼합 $+ 32$ 노랑-노랑 $= 66$ ✓. 학생 합계: $46 + 11 + 11 + 64 = 132$ ✓. 양쪽 모두 주어진 값과 일치 — 계산이 일관됨.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기/여집합) — 노랑-노랑이 아닌 쌍의 수를 세면 $23$ (파랑-파랑) $+ 11$ (혼합) $= 34$, 따라서 노랑-노랑 $= 66 - 34 = 32$. 같은 답 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

2.OA.A.1 $100$ 이내 한·두 단계 덧셈·뺄셈 문장제 (혼합 쌍의 파란 학생 수 $57 - 46 = 11$ 을 구하는 데 사용.)
3.OA.A.3 $100$ 이내 곱셈·나눗셈 문장제 풀기 (혼합 쌍 $11$ 개를 노란 학생 $11$ 명과 짝짓는 데 사용.)
3.OA.C.7 $100$ 이내 곱셈·나눗셈 능숙하게 하기 ($23 \times 2 = 46$ 과 $64 \div 2 = 32$ 계산.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈 능숙하게 하기 (노랑-노랑 속 노란 학생 수 $75 - 11 = 64$ 를 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 여러 자리 뺄셈만 알면 풀 수 있어요 — 파랑-파랑 속 $46$ 명, 혼합 속 파란 $11$ 명, 그리고 남은 노란 $64$ 명을 $2$ 명씩 묶으면 $32$ 쌍!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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