AMC 10 · 2022 · #12

학년 6 arithmetic

logical-deductionsystems-of-equationscasework caseworkconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: logical-deduction

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

On Halloween $31$ children walked into the principal's office asking for candy. They
can be classified into three types: Some always lie; some always tell the truth; and
some alternately lie and tell the truth. The alternaters arbitrarily choose their first
response, either a lie or the truth, but each subsequent statement has the opposite
truth value from its predecessor. The principal asked everyone the same three
questions in this order.

"Are you a truth-teller?" The principal gave a piece of candy to each of the $22$
children who answered yes.

"Are you an alternater?" The principal gave a piece of candy to each of the $15$
children who answered yes.

"Are you a liar?" The principal gave a piece of candy to each of the $9$ children who
answered yes.

How many pieces of candy in all did the principal give to the children who always
tell the truth?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $31$ 명의 아이가 세 종류로 나뉩니다 — 항상 참만 말하는 참말쟁이, 항상 거짓만 말하는 거짓말쟁이, 그리고 참과 거짓을 번갈아 말하는 교대형(처음은 참이든 거짓이든 시작 가능). 교장 선생님이 모든 아이에게 같은 순서로 세 가지 예/아니오 질문을 합니다: (1) 너는 참말쟁이니? (2) 너는 교대형이니? (3) 너는 거짓말쟁이니? 각 질문에서 "예" 라 답한 아이마다 사탕 한 개를 받습니다. 세 "예" 의 수는 차례로 $22, 15, 9$. 참말쟁이들에게 간 사탕은 모두 몇 개일까요?

주어진 것: 전체 아이 수: $31$; "예" 답 수: 질문 1 -> $22$, 질문 2 -> $15$, 질문 3 -> $9$; 참말쟁이는 항상 참, 거짓말쟁이는 항상 거짓, 교대형은 번갈아 답하고 시작은 자유

구하는 것: 참말쟁이들이 받은 사탕의 총 개수

이해

계획

주요 도구: #4 격자 논리표

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

도구 #4(격자 논리표)가 딱 맞는 그림: 행은 네 종류 아이(참말쟁이 T, 거짓말쟁이 L, 참으로 시작하는 교대형 $A_t$, 거짓으로 시작하는 교대형 $A_\ell$), 열은 세 질문 Q1, Q2, Q3 인 작은 표. 도구 #2(빠짐없이 나열)로 행마다 규칙을 기계적으로 적용해 예/아니오를 채웁니다. 도구 #7(쪼개기)로 일을 (a) 표 만들기, (b) "예" 수를 방정식으로 옮기기, (c) 풀기 세 단계로 나눕니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 식끼리 빼면 다른 미지수를 건드리지 않고 참말쟁이 수만 곧장 분리. 마지막에 참말쟁이 행 "예-아니오-아니오" 에서 한 명당 사탕 1 개 라는 사실로 답 도출.

실행 — 정답: A

#4 격자 논리표 K.MD.B.3 단계 1

표 작성(도구 #4).
행: T 참말쟁이, L 거짓말쟁이, $A_t$ 참으로 시작 교대형, $A_\ell$ 거짓으로 시작 교대형.
열: Q1, Q2, Q3.
각 칸은 "이 아이의 입에서 나오는 답이 예인가 아니오인가".
참말쟁이는 사실대로, 거짓말쟁이는 부정해서 말합니다.
행마다 순서대로 채우면 응답 표 완성.

$$\begin{array}{c|ccc} & Q1 & Q2 & Q3 \\ \hline T & \text{예} & \text{아니오} & \text{아니오} \\ L & \text{예} & \text{예} & \text{아니오} \\ A_t & \text{아니오} & \text{아니오} & \text{아니오} \\ A_\ell & \text{예} & \text{예} & \text{예} \end{array}$$

💡 유치원 수준의 분류: 아이들을 종류로 나누고 행마다 "예" 를 세기. 어려운 건 규칙을 한 줄씩 소리 내어 읽는 것뿐.

#2 빠짐없이 나열하기 K.MD.B.3 단계 2

가장 헷갈리는 행 $A_\ell$ (거짓으로 시작하는 교대형)을 직접 확인.
Q1 "너 참말쟁이?" — 사실은 아니오인데 이 아이는 첫 답을 거짓으로 하므로 "예".
Q2 "너 교대형?" — 사실은 예이고 이번 답은 참 차례이므로 "예".
Q3 "너 거짓말쟁이?" — 사실은 아니오인데 다시 거짓 차례라 "예".
세 번 모두 "예".

$$A_\ell: \;\text{예}, \text{예}, \text{예}$$

💡 규칙 따라 한 질문씩 예/아니오를 짚어가기 — 유치원 분류, 아직 셈은 없음.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.6 단계 3

"예" 열을 읽어 식으로 옮기기.
Q1 의 "예" 는 T, L, $A_\ell$ 행에서 나옴 -> $T + L + A_\ell = 22$.
Q2 의 "예" 는 L, $A_\ell$ -> $L + A_\ell = 15$.
Q3 의 "예" 는 $A_\ell$ 만 -> $A_\ell = 9$.

$$T + L + A_\ell = 22, \quad L + A_\ell = 15, \quad A_\ell = 9$$

💡 각 열의 "예" 개수 = "그 열에서 예라 답한 행들의 합" — 6학년 식 세우기로 표가 세 식이 됨.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 4

도구 #13(대수): 가장 깔끔한 한 수, 식 1 에서 식 2 를 빼면 $L$ 과 $A_\ell$ 이 한꺼번에 소거되고 참말쟁이 수 $T$ 만 남습니다.

$$(T + L + A_\ell) - (L + A_\ell) = 22 - 15 \;\Rightarrow\; T = 7$$

💡 한 번의 뺄셈으로 $T$ 만 분리 — 6학년 방정식 풀이에서 다른 미지수는 건드릴 필요 없음.

#4 격자 논리표 3.OA.A.3 단계 5

사탕 수 세기.
표의 T 행: 예-아니오-아니오 이므로 참말쟁이 한 명은 정확히 사탕 $1$ 개를 받음(Q1 에서만).
참말쟁이 $T = 7$ 명이므로 총 사탕 $= 7 \times 1 = 7$.

$$\text{참말쟁이 사탕} = T \times 1 = 7 \times 1 = 7$$

💡 한 명당 사탕 수 × 참말쟁이 수 — 3학년 곱셈.

#3 가능성 지우기 K.MD.B.3 단계 6

$7$ 을 선택지와 매칭: (A).

$$\text{답} = 7 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 마지막 비교 — 다섯 선택지 중 가장 작은, 깔끔한 수.

[1] #4 K.MD.B.3 표 작성(도구 #4). 행: T 참말쟁이, L 거짓말쟁이, $A_t$ 참으로 시작 교대형, $A_\ell$ 거짓으로 시작 교대형. 열: Q1,

[2] #2 K.MD.B.3 가장 헷갈리는 행 $A_\ell$ (거짓으로 시작하는 교대형)을 직접 확인. Q1 "너 참말쟁이?" — 사실은 아니오인데 이 아이는 첫 답을 거

[3] #7 6.EE.B.6 "예" 열을 읽어 식으로 옮기기. Q1 의 "예" 는 T, L, $A_\ell$ 행에서 나옴 -> $T + L + A_\ell = 22$. Q2

[4] #13 6.EE.B.7 도구 #13(대수): 가장 깔끔한 한 수, 식 1 에서 식 2 를 빼면 $L$ 과 $A_\ell$ 이 한꺼번에 소거되고 참말쟁이 수 $T$ 만

[5] #4 3.OA.A.3 사탕 수 세기. 표의 T 행: 예-아니오-아니오 이므로 참말쟁이 한 명은 정확히 사탕 $1$ 개를 받음(Q1 에서만). 참말쟁이 $T = 7$

[6] #3 K.MD.B.3 $7$ 을 선택지와 매칭: (A).

검토

합리성 확인: 전체 인원으로 점검. 식에서 $A_\ell = 9$, $L = 15 - 9 = 6$, $T = 7$, 따라서 $A_t = 31 - 7 - 6 - 9 = 9$. 시작 종류별 교대형이 각각 $9$ 명 — 자연스러움. 각 열 "예" 다시 합산: Q1 $T + L + A_\ell = 7 + 6 + 9 = 22$ ✓. Q2 $L + A_\ell = 6 + 9 = 15$ ✓. Q3 $A_\ell = 9$ ✓. 세 값 모두 주어진 데이터와 일치, 모형이 일관됨.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): $T$ 를 직접 구하지 않고 차이 $Q1 - Q2 = 22 - 15 = 7$ 이 "Q1 은 예, Q2 는 아니오" 인 행의 수를 정확히 센다는 점에 주목. 표를 보면 그 패턴은 참말쟁이 행뿐이므로 $T = 7$, 사탕도 $7$. 한 번의 보완적 뺄셈으로 같은 답 (A).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

K.MD.B.3 주어진 범주로 사물을 분류하고 각 범주의 개수 세기 ($31$ 명의 아이를 네 행동 범주(T, L, $A_t$, $A_\ell$) 로 나누고 행마다 예/아니오 격자를 채우는 데 사용.)
3.OA.A.3 100 이내의 곱셈·나눗셈 문장제 풀기 (참말쟁이 수 ($7$) × 한 명당 받는 사탕 수 ($1$) = 총 사탕 수 ($7$) 계산에 사용.)
6.EE.B.6 변수로 수를 나타내고 식 세우기로 문제 풀기 ($T, L, A_\ell$ 을 각 행동 인원 수의 변수로 두고 각 "예" 열을 합 식으로 옮기는 데 사용.)
6.EE.B.7 $px = q$ 형태의 방정식을 세우고 풀어 실세계 문제 해결 ($L + A_\ell = 15$ 를 $T + L + A_\ell = 22$ 에서 빼서 $T = 7$ 을 한 번에 분리하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 식 세우기만 알면 풀 수 있어요! 네 종류 아이의 예/아니오 작은 표 하나 만들고, 세 열의 "예" 수를 식으로 옮긴 뒤 $22 - 15$ 한 번만 빼면 참말쟁이가 $7$ 명이라는 답이 곧장 나와요. 참말쟁이는 "예" 를 한 번만 하니까 사탕도 정확히 $7$ 개.