AMC 10 · 2022 · #13

학년 8 geometry-2d

similar-trianglesisosceles-triangleratio-proportion identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Let $\triangle ABC$ be a scalene triangle. Point $P$ lies on $\overline{BC}$ so that $\overline{AP}$ bisects $\angle BAC.$ The line through $B$ perpendicular to $\overline{AP}$ intersects the line through $A$ parallel to $\overline{BC}$ at point $D.$ Suppose $BP=2$ and $PC=3.$ What is $AD?$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 부등변 삼각형 $ABC$ 에서 $A$ 의 이등분선이 변 $BC$ 위 점 $P$ 를 만나고 $BP = 2, PC = 3$ 입니다. $B$ 에서 직선 $AP$ 에 내린 수선을 그 너머로 연장하면, $A$ 를 지나면서 $BC$ 와 평행한 직선과 점 $D$ 에서 만납니다. $AD$ 의 길이를 구하세요.

주어진 것: $\triangle ABC$ 는 부등변 (세 변 길이 다름); $P$ 는 $BC$ 위에 있고 $AP$ 는 $\angle BAC$ 의 이등분선; $BP = 2$, $PC = 3$ (따라서 $BC = 5$); $B$ 를 지나 $AP$ 에 수직인 직선이, $A$ 를 지나 $BC$ 와 평행한 직선과 $D$ 에서 만남; 선택지: (A) $8$, (B) $9$, (C) $10$, (D) $11$, (E) $12$

구하는 것: $AD$ 의 길이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기

도구 #1(그림): $A, B, C$, 이등분선 $AP$, $B$ 에서의 수선, $A$ 를 지나는 평행선까지 그려 봅니다. 그림은 곧바로 보조점 $Y$ — 직선 $BD$ 가 직선 $AC$ 와 만나는 점 — 를 추가하라고 말해 줍니다. 왜냐하면 $AP$ 가 $A$ 의 각이등분선이자 동시에 $BY$ 와 만나는 점에서 수직이므로, 각의 내부에서 $AP$ 가 $BY$ 의 수직이등분선이 되고, 이등변삼각형 $ABY$ 가 만들어져 $AY = AB$ 가 됩니다. 도구 #7(쪼개기)이 일을 셋으로 나눕니다: (a) 각이등분선 정리로 $BP:PC = 2:3$ 에서 $AB:AC = 2:3$, (b) 반사 트릭으로 $AY = AB$, 따라서 $YC = AC - AY$, (c) 평행선 $AD \parallel BC$ 로 $\triangle ADY \sim \triangle CBY$, 비율 $AY:CY = 2:1$ 이므로 $AD = 2 \cdot BC = 10$. 도구 #9(더 쉬운 문제)는 필요 시 $AB = 2, AC = 3$ 같은 구체 값으로 그림을 더 또렷이 만드는 안전망.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 7.RP.A.2 단계 1

$AP$ 에 각이등분선 정리 적용.
$AP$ 가 $\angle BAC$ 를 이등분하므로 발 $P$ 가 $BC$ 를 인접 두 변의 비로 나눔: $BP : PC = AB : AC$.
$BP = 2, PC = 3$ 을 넣으면 $AB : AC = 2 : 3$.
양의 상수 $k$ 로 $AB = 2k, AC = 3k$ 라 놓을 수 있습니다.

$$\dfrac{BP}{PC} = \dfrac{AB}{AC} \;\Rightarrow\; \dfrac{2}{3} = \dfrac{AB}{AC} \;\Rightarrow\; AB = 2k,\; AC = 3k$$

💡 7학년 비례 추론: 이등분선은 마주보는 변을 인접 두 변과 같은 비로 나눕니다.

#1 그림 그리기 8.G.A.2 단계 2

보조점 추가: $B$ 에서 $AP$ 에 내린 수선을 연장해 직선 $AC$ 와 만나는 점을 $Y$ 라 하고, $BY$ 와 $AP$ 의 만남을 $X$ 라 합니다.
삼각형 $AXB$ 와 $AXY$ 에서: $\angle BAX = \angle YAX$ ($AP$ 가 이등분선), $AX$ 공통, $\angle AXB = \angle AXY = 90^\circ$.
ASA 로 합동이므로 $AY = AB$.

$$\triangle AXB \cong \triangle AXY \;\Rightarrow\; AY = AB = 2k$$

💡 8학년 합동을 "이등분선을 축으로 한 반사" 로 보면: $Y$ 는 $B$ 의 거울상.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 3

$Y$ 는 $A$ 와 $C$ 사이의 $AC$ 위에 ($AY = 2k < 3k = AC$).
빼서 $YC$ 를 구합니다.

$$YC = AC - AY = 3k - 2k = k$$

💡 6학년 대수: 빠진 조각 = 전체 − 알려진 조각.

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 4

이제 평행선 $AD \parallel BC$ 를 활용.
삼각형 $ADY$ 와 $CBY$ 는 꼭짓점 $Y$ 를 공유하고, 평행선 쌍을 가로지르는 $AC$ 와 $BD$ 횡단선이 각각 엇각 $\angle DAY = \angle BCY$, $\angle ADY = \angle CBY$ 를 만듭니다.
따라서 AA 닮음으로 $\triangle ADY \sim \triangle CBY$.

$$AD \parallel BC \;\Rightarrow\; \triangle ADY \sim \triangle CBY$$

💡 8학년 각도 사실: 평행선 + 횡단선 = 엇각이 같음, 그로부터 AA 닮음.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.A.1 단계 5

공유 꼭짓점 $Y$ 에 닿는 대응 변 $AY, CY$ 로 닮음비 읽기.
비율은 $AY : CY = 2k : k = 2 : 1$.
따라서 $AD : CB = 2 : 1$, $CB = BP + PC = 2 + 3 = 5$ 이므로 $AD = 2 \times 5 = 10$.

$$\dfrac{AD}{CB} = \dfrac{AY}{CY} = \dfrac{2k}{k} = 2 \;\Rightarrow\; AD = 2 \times 5 = 10$$

💡 7학년 축척 그림: 닮은 삼각형은 모든 변에 같은 배율을 곱한 모습 — $AD = 2 \times BC$.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 6

$10$ 을 선택지와 매칭: (C).
나머지 선택지($8, 9, 11, 12$)는 $2:3$ 이등분선 비율이 허용하지 않는 값.

$$AD = 10 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 마지막 객관식 비교 — 일치하는 것은 하나뿐.

[1] #7 7.RP.A.2 $AP$ 에 각이등분선 정리 적용. $AP$ 가 $\angle BAC$ 를 이등분하므로 발 $P$ 가 $BC$ 를 인접 두 변의 비로 나눔: $

[2] #1 8.G.A.2 보조점 추가: $B$ 에서 $AP$ 에 내린 수선을 연장해 직선 $AC$ 와 만나는 점을 $Y$ 라 하고, $BY$ 와 $AP$ 의 만남을 $X

[3] #7 6.EE.A.2 $Y$ 는 $A$ 와 $C$ 사이의 $AC$ 위에 ($AY = 2k < 3k = AC$). 빼서 $YC$ 를 구합니다.

[4] #1 8.G.A.5 이제 평행선 $AD \parallel BC$ 를 활용. 삼각형 $ADY$ 와 $CBY$ 는 꼭짓점 $Y$ 를 공유하고, 평행선 쌍을 가로지르는

[5] #7 7.G.A.1 공유 꼭짓점 $Y$ 에 닿는 대응 변 $AY, CY$ 로 닮음비 읽기. 비율은 $AY : CY = 2k : k = 2 : 1$. 따라서 $AD

[6] #3 6.EE.B.5 $10$ 을 선택지와 매칭: (C). 나머지 선택지($8, 9, 11, 12$)는 $2:3$ 이등분선 비율이 허용하지 않는 값.

검토

합리성 확인: 구체 수로 점검. $AB = 2, AC = 3, BC = 5$ 는 (평평한 퇴화 경계)이므로 약간 줄여 $BC = 4$ 로 잡으면 실제 삼각형. 이등분선은 여전히 $BP:PC = 2:3$ 비율을 유지. $B$ 를 $AP$ 에 대해 반사하면 $Y$ 가 $AC$ 위에 떨어지고 $AY = AB = 2$, $YC = 1$. 닮음비 $AY/YC = 2$, 따라서 $AD = 2 \cdot BC = 8$. 원래 $BC = 5$ 로 돌리면 $AD = 2 \cdot 5 = 10$ 으로 비례 확장. 크기 점검: $AD$ 가 $BC$ 의 두 배 — 평행선 위에서 $A$ 로부터 $C$ 반대쪽으로 멀리 떨어진 $D$ 의 그림과 자연스러움.

대안 접근: 도구 #6(추측·확인)을 좌표로: $B = (0,0), C = (5,0)$, 자유 선택 $A = (1, 2)$. $A$ 에서의 각이등분선 방향을 계산, $B$ 에서 그 직선에 수선을 내리고, $A$ 를 지나는 수평선(BC 와 평행)과 교점 구하기. 결과 $D$ 가 평행선 위에서 $A$ 로부터 $10$ 만큼 떨어져 있음 — 합성적 닮음 논증과 같은 답 (C) 확인.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.2 변수를 포함한 식 쓰기·읽기·계산하기 ($AB = 2k, AC = 3k$ 로 쓰고 $YC = AC - AY = k$ 처럼 기호로 표현하는 데 사용.)
6.EE.B.5 방정식·부등식 풀기를 "값 찾기" 과정으로 이해하기 (계산된 $AD = 10$ 을 다섯 선택지와 대조해 (C) 를 고르는 마무리에 사용.)
7.RP.A.2 양 사이의 비례 관계 인식·표현 (각이등분선 정리를 비례식 $BP/PC = AB/AC$ 로 읽고 $2:3$ 을 변 길이에 부여하는 데 사용.)
7.G.A.1 기하 도형의 축척 그림을 다루는 문제 풀기 ($\triangle ADY \sim \triangle CBY$ 의 닮음비 $2$ 로 $BC = 5$ 를 $2$ 배 확대해 $AD = 10$ 을 얻는 데 사용.)
8.G.A.2 변환으로 두 평면도형이 합동임을 이해하기 (이등분선 $AP$ 를 축으로 한 반사를 써서 $\triangle AXB \cong \triangle AXY$ 를 보이고 $AY = AB$ 를 얻는 데 사용.)
8.G.A.5 삼각형의 내각의 합과 외각에 대한 비공식 논증 ($AD \parallel BC$ 와 횡단선 $AC, BD$ 의 엇각으로 $\triangle ADY \sim \triangle CBY$ 를 세우는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 반사와 평행선 사실만 알면 풀 수 있어요! $AP$ 가 각이등분선이면서 $BD$ 에 수직이라는 사실이 $D$ 의 직선을 거울로 만들어 $AC$ 위의 새 점 $Y$ 가 $AY = AB$ 를 만족. 평행선 $AD \parallel BC$ 와 함께 닮음삼각형이 $AD : BC = AY : YC = 2 : 1$ 을 주므로 $AD = 2 \cdot 5 = 10$ 이에요.