AMC 10 · 2022 · #16

학년 8 geometry-3d

polynomial-rootsvieta-formulasvolume-rectangular-prism identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: vieta-formulas

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

The roots of the polynomial $10x^3 - 39x^2 + 29x - 6$ are the height, length, and width of a rectangular box (right rectangular prism). A new rectangular box is formed by lengthening each edge of the original box by $2$
units. What is the volume of the new box?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{24}{5}$

(B)

$\frac{42}{5}$

(C)

$\frac{81}{5}$

(D)

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 삼차다항식 $10x^3 - 39x^2 + 29x - 6$ 의 세 근 $a, b, c$ 가 직육면체의 세 모서리 길이입니다. 모든 모서리를 $2$ 만큼 늘여 만든 새 직육면체의 부피를 구하세요.

주어진 것: 다항식: $10x^3 - 39x^2 + 29x - 6$; 그 세 근 $a, b, c$ 가 원래 상자의 모서리 길이; 새 모서리: $a+2, b+2, c+2$; 선택지: (A) $\tfrac{24}{5}$, (B) $\tfrac{42}{5}$, (C) $\tfrac{81}{5}$, (D) $30$, (E) $48$

구하는 것: 새 부피 $V = (a+2)(b+2)(c+2)$

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

두 개의 깔끔한 부분 문제: (a) $(a+2)(b+2)(c+2)$ 를 대칭합으로 전개하기, (b) 그 대칭합 값을 비에타 공식으로 다항식 계수에서 곧장 읽어내기. 실제로 근을 구할 필요가 없습니다 — 새 부피는 오직 $a+b+c$, $ab+bc+ca$, $abc$ 에만 의존하고, 이 셋은 비에타가 공짜로 알려줍니다. 도구 #7 이 쪼개기 구조를 만들고, 도구 #13 이 근을 직접 다루지 않고 대수적으로 처리하게 해 줍니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 1

쪼개기 A: $(a+2)(b+2)(c+2)$ 를 기호적으로 전개합니다.
풀어 정리하면 $a, b, c$ 의 세 기본 대칭다항식만으로 표현됩니다.

$$(a+2)(b+2)(c+2) = abc + 2(ab+bc+ca) + 4(a+b+c) + 8$$

💡 세 일차식의 곱을 전개하면 대칭합 항들로만 갈라집니다 — 비에타가 활약할 자리.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 2

쪼개기 B: 비에타 공식으로 대칭합을 다항식 $10x^3 - 39x^2 + 29x - 6$ 의 계수에서 읽어냅니다.
근이 $a, b, c$ 인 $Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ 에 대해 $a+b+c = -B/A$, $ab+bc+ca = C/A$, $abc = -D/A$.

$$a+b+c = \dfrac{39}{10},\quad ab+bc+ca = \dfrac{29}{10},\quad abc = \dfrac{6}{10}$$

💡 비에타는 계수를 근의 합으로 바꿔 줍니다 — 근을 직접 풀 필요가 없습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 3

1단계의 전개식에 비에타 값들을 대입합니다.

$$V = \dfrac{6}{10} + 2 \cdot \dfrac{29}{10} + 4 \cdot \dfrac{39}{10} + 8 = \dfrac{6 + 58 + 156 + 80}{10} = \dfrac{300}{10} = 30$$

💡 공통분모 $10$ 으로 네 분수를 한 번에 더합니다.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 4

선택지와 대조: $V = 30$ 은 (D).

$$V = 30 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 계산값을 선택지와 맞추기.

[1] #7 6.EE.A.3 쪼개기 A: $(a+2)(b+2)(c+2)$ 를 기호적으로 전개합니다. 풀어 정리하면 $a, b, c$ 의 세 기본 대칭다항식만으로 표현됩니다.

[2] #13 8.EE.C.7 쪼개기 B: 비에타 공식으로 대칭합을 다항식 $10x^3 - 39x^2 + 29x - 6$ 의 계수에서 읽어냅니다. 근이 $a, b, c$ 인

[3] #7 5.NF.A.1 1단계의 전개식에 비에타 값들을 대입합니다.

[4] #3 4.NBT.A.2 선택지와 대조: $V = 30$ 은 (D).

검토

합리성 확인: 대입 트릭으로 교차 확인: $P(x) = 10(x-a)(x-b)(x-c)$ 이므로 $P(-2) = 10(-2-a)(-2-b)(-2-c) = -10(a+2)(b+2)(c+2)$. 계산하면 $P(-2) = 10(-8) - 39(4) + 29(-2) - 6 = -80 - 156 - 58 - 6 = -300$. 따라서 $(a+2)(b+2)(c+2) = -P(-2)/10 = 300/10 = 30$ — (D) 와 일치. 규모도 그럴듯합니다: $abc = 0.6$ 정도이고 각 모서리에 $+2$ 가 더해지므로 지배 항은 $4(a+b+c) + 8 = 4 \cdot 3.9 + 8 = 23.6$, 나머지 보정 항이 약 $6.4$ 로 총합이 $30$ 부근.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 와 도구 #13(대수로 바꾸기) 의 조합: $P(-2) = -300$ 을 직접 계산하고 $P(-2) = -10(a+2)(b+2)(c+2)$ 라는 관계로부터 답을 한 번의 대입으로 얻기. 전개 단계를 모두 생략할 수 있는 가장 빠른 길.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.3 연산의 성질을 적용해 동치식 만들기 ($(a+2)(b+2)(c+2)$ 를 기호적으로 전개해 $a, b, c$ 의 기본 대칭다항식 합으로 만드는 단계.)
8.EE.C.7 일변수 일차방정식 풀기 ($a, b, c$ 를 다항식의 근으로 대수적으로 취급해 비에타 공식으로 계수에서 대칭합을 읽어내는 단계.)
5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 ($\tfrac{6}{10} + \tfrac{58}{10} + \tfrac{156}{10} + \tfrac{80}{10} = \tfrac{300}{10} = 30$ 의 분수 덧셈.)
4.NBT.A.2 여러 자릿수 수의 읽기·쓰기 및 비교 (계산값 $30$ 을 다섯 선택지와 비교해 정답을 고르는 단계.)

⭐ 세 근을 따로 구할 필요가 없습니다 — 비에타가 합·쌍곱합·곱을 계수에서 곧장 줍니다. $(a+2)(b+2)(c+2) = abc + 2(ab+bc+ca) + 4(a+b+c) + 8$ 로 전개하면 그 세 값만 들어가고, 대입하면 $\tfrac{6}{10} + \tfrac{58}{10} + \tfrac{156}{10} + \tfrac{80}{10} = 30$ — 답은 $\textbf{(D)}$.