AMC 10 · 2022 · #17

학년 7 arithmetic

fraction-decimal-conversiondigit-decompositiondivisibility-rules convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: fraction-decimal-conversion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

How many three-digit positive integers $\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{c}$ are there whose nonzero digits $a,b,$ and $c$ satisfy
$0.\overline{\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}} = \frac{1}{3} (0.\overline{a} + 0.\overline{b} + 0.\overline{c})?$
(The bar indicates repetition, thus $0.\overline{\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}}$ is the infinite repeating decimal $0.\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}~\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}~\cdots$ )

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 자리 양의 정수 $\overline{abc}$ 중 각 자릿수 $a, b, c$ 가 모두 $0$ 이 아니고 $0.\overline{abc} = \tfrac{1}{3}(0.\overline{a} + 0.\overline{b} + 0.\overline{c})$ 를 만족하는 것의 개수를 구합니다. (윗줄은 무한 반복.)

주어진 것: $a, b, c \in \{1, 2, \dots, 9\}$ (각 자릿수가 $0$ 이 아님); $0.\overline{a} = \tfrac{a}{9}$, $0.\overline{b} = \tfrac{b}{9}$, $0.\overline{c} = \tfrac{c}{9}$; $0.\overline{abc} = \tfrac{100a + 10b + c}{999}$; 선택지: (A) $9$, (B) $10$, (C) $11$, (D) $13$, (E) $14$

구하는 것: 조건을 만족하는 순서쌍 $(a, b, c)$ 의 개수

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기

먼저 소수 방정식을 정수 관계로 줄입니다. 순환소수를 분수로 바꾸는 작업 (도구 #13 대수로 바꾸기) 이 어수선한 방정식을 깔끔한 $7a = 3b + 4c$ 로 변환합니다. 그 다음 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 로 $a = 1, \dots, 9$ 각각에 대해 $b, c \in \{1, \dots, 9\}$ 인 $(b, c)$ 쌍을 훑어 셉니다. 도구 #9 (더 쉬운 문제) 는 "$a = b = c$ 부터 시도해 보자" 라는 관찰로 등장 — 거기에서 큰 해 집단이 한꺼번에 떨어집니다.

실행 — 정답: D

#13 대수로 바꾸기 7.NS.A.2 단계 1

각 순환소수를 분수로 변환합니다.
한 자리가 반복되면 $0.\overline{d} = \tfrac{d}{9}$, 세 자리 블록이 반복되면 $0.\overline{abc} = \tfrac{100a+10b+c}{999}$.
방정식에 대입하고 $999 = 27 \cdot 37$ 을 활용:

$$\dfrac{100a+10b+c}{999} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a+b+c}{9} = \dfrac{a+b+c}{27}$$

💡 모든 순환소수는 분모가 $9, 99, 999, \dots$ 인 분수 — 그 한 가지 사실이면 충분.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.A.1 단계 2

양변에 $999 = 37 \cdot 27$ 을 곱합니다.
우변은 $37(a+b+c)$.
전개해서 동류항 정리:

$$100a + 10b + c = 37(a+b+c) \;\Longrightarrow\; 63a = 27b + 36c \;\Longrightarrow\; 7a = 3b + 4c$$

💡 공약수 $9$ 로 나누면 — 거창한 소수 방정식이 깔끔한 일차 관계로 변신.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.EE.B.6 단계 3

경우 I: $a = b = c$ 를 먼저 시도.
그러면 $7a = 3a + 4a = 7a$ 가 모든 $a$ 에 대해 성립.
따라서 $(1,1,1), (2,2,2), \dots, (9,9,9)$ 의 아홉 개 삼중쌍은 곧장 해.

$(a,a,a)$, $a \in \{1, \dots, 9\}$ — 해 $9$ 개.

💡 가장 단순한 대칭 추측부터 — 종종 방정식이 항등식으로 무너집니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.NS.B.4 단계 4

경우 II: 대각선 외 해를 체계적으로 나열합니다.
각 $a = 1, \dots, 9$ 에 대해 $b \in \{1, \dots, 9\}$ 를 훑으며 $c = \tfrac{7a - 3b}{4}$ 가 $\{1, \dots, 9\}$ 에 속하는 정수인지 확인합니다.
핵심 관찰: $4c = 7a - 3b$ 가 정수 $c$ 를 주려면 $7a - 3b \equiv 0 \pmod 4$, 즉 $3a + b \equiv 0 \pmod 4$ ($7 \equiv 3, -3 \equiv 1 \pmod 4$ 이므로).

$c = \dfrac{7a - 3b}{4}$, $a = 1, \dots, 9$ 와 $b = 1, \dots, 9$ 훑기.

💡 $a, b$ 가 정해지면 $c$ 는 강제됨; 나누어떨어짐과 범위 검사는 기계적.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.B.5 단계 5

스캔 결과 대각선 외 해는 $(a,b,c) = (4,8,1), (5,1,8), (5,9,2), (6,2,9)$.
빠른 검증: $7 \cdot 4 = 28 = 3 \cdot 8 + 4 \cdot 1$; $7 \cdot 5 = 35 = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 8 = 3 + 32$; $7 \cdot 5 = 35 = 3 \cdot 9 + 4 \cdot 2 = 27 + 8$; $7 \cdot 6 = 42 = 3 \cdot 2 + 4 \cdot 9 = 6 + 36$.
네 개 모두 성립.

대각선 외: $\{(4,8,1), (5,1,8), (5,9,2), (6,2,9)\}$ — 해 $4$ 개.

💡 $7a = 3b + 4c$ 에 대입해 검증.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 6

총 개수: $9 + 4 = 13$ 개의 순서쌍, 각각이 서로 다른 세 자리 정수 $\overline{abc}$ 를 줍니다.
선택지와 대조.

$$9 + 4 = 13 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 대각선 개수와 대각선 외 개수를 합쳐 선택지에서 고르기.

[1] #13 7.NS.A.2 각 순환소수를 분수로 변환합니다. 한 자리가 반복되면 $0.\overline{d} = \tfrac{d}{9}$, 세 자리 블록이 반복되면 $0.

[2] #13 7.EE.A.1 양변에 $999 = 37 \cdot 27$ 을 곱합니다. 우변은 $37(a+b+c)$. 전개해서 동류항 정리:

[3] #9 6.EE.B.6 경우 I: $a = b = c$ 를 먼저 시도. 그러면 $7a = 3a + 4a = 7a$ 가 모든 $a$ 에 대해 성립. 따라서 $(1,1,1

[4] #2 6.NS.B.4 경우 II: 대각선 외 해를 체계적으로 나열합니다. 각 $a = 1, \dots, 9$ 에 대해 $b \in \{1, \dots, 9\}$ 를

[5] #2 6.EE.B.5 스캔 결과 대각선 외 해는 $(a,b,c) = (4,8,1), (5,1,8), (5,9,2), (6,2,9)$. 빠른 검증: $7 \cdot 4

[6] #3 4.OA.A.3 총 개수: $9 + 4 = 13$ 개의 순서쌍, 각각이 서로 다른 세 자리 정수 $\overline{abc}$ 를 줍니다. 선택지와 대조.

검토

합리성 확인: 대각선 외에서 빠뜨린 해는 없는가? 범위: $b, c \in \{1, \dots, 9\}$ 이면 $3b + 4c \in \{7, \dots, 63\}$, 따라서 $7a \in \{7, \dots, 63\}$ 은 $a \in \{1, \dots, 9\}$ — 모두 범위 안. 변환 $(a, b, c) \to (a, b+4, c-3)$ 은 $3b + 4c$ 를 보존하므로 각 대각선 $(a,a,a)$ 에서 디지트 범위 안에서 몇 걸음만 갈 수 있음. $(4,4,4)$ 에서 위로 한 걸음 $(4,8,1)$ (유효), 그 다음 $(4,12,-2)$ (무효). $(5,5,5)$ 에서 위로 $(5,9,2)$, 아래로 $(5,1,8)$ (모두 유효). $(6,6,6)$ 에서 아래로 $(6,2,9)$ (유효). $(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3), (7,7,7), (8,8,8), (9,9,9)$ 는 한 걸음에 범위를 벗어남. 대각선 외 총 $4$ 개, 셈 일치.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 로 변환 $(b, c) \to (b+4, c-3)$ 사용: $\gcd(3, 4) = 1$ 이므로 $a$ 가 고정된 채 각 해는 $9 \times 9$ 격자 안에서 하나의 등차 사슬 $(b, c), (b \pm 4, c \mp 3), \dots$ 위에 있음. 사슬 길이를 $a$ 별로 세면 같은 총 $13$ 을 셀별 검사 없이 얻을 수 있음.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.NS.A.2 유리수의 곱셈·나눗셈 이해 확장 ($0.\overline{d}$ 와 $0.\overline{abc}$ 같은 순환소수를 분수 $\tfrac{d}{9}$, $\tfrac{100a+10b+c}{999}$ 로 변환.)
7.EE.A.1 일차식의 덧셈·뺄셈·인수분해·전개 (양변에 $999$ 를 곱하고 $37(a+b+c)$ 를 전개해 $63a = 27b + 36c$ 를 $7a = 3b + 4c$ 로 정리.)
6.EE.B.6 변수로 수를 나타내어 문제 풀이의 식 작성 (대칭 추측 $a = b = c$ 를 시험해 대각선 해 집단을 발견.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수·최소공배수 (스캔 중 $\tfrac{7a - 3b}{4}$ 가 정수가 되는 조건을 $4$ 로의 나누어떨어짐으로 판단.)
6.EE.B.5 방정식 풀이를 값 찾기로 이해 (각 후보 $(a,b,c)$ 가 실제로 $7a = 3b + 4c$ 를 만족하는지 검증.)
4.OA.A.3 사칙연산을 사용한 다단계 문장제 (대각선 개수 ($9$) 와 대각선 외 개수 ($4$) 를 더해 최종 총 개수 도출.)

⭐ 모든 순환소수는 분모가 $9, 99, 999, \dots$ 인 분수일 뿐. 변환·정리하면 어수선한 방정식이 $7a = 3b + 4c$ 로 줄어듭니다. 대각선 $(a, a, a)$ 9개는 항상 성립하고, 빠른 스캔으로 $(4,8,1), (5,1,8), (5,9,2), (6,2,9)$ 네 개를 더 찾아 총 $\textbf{(D) }13$ 개.