AMC 10 · 2022 · #18

학년 8 arithmetic

rotation-isometryreflection-symmetrypattern-recognition easier-related-problempattern-recognitionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: rotation-isometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Let $T_k$ be the transformation of the coordinate plane that first rotates the plane $k$ degrees counterclockwise around the origin and then reflects the plane across the $y$ -axis. What is the least positive
integer $n$ such that performing the sequence of transformations $T_1, T_2, T_3, \cdots, T_n$ returns the point $(1,0)$ back to itself?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

359

(B)

360

(C)

719

(D)

720

(E)

721

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $T_k$ 는 원점 기준으로 평면을 반시계 방향 $k°$ 회전한 뒤 $y$ 축에 대해 대칭이동시키는 변환입니다. $T_1, T_2, T_3, \dots, T_n$ 을 차례로 적용했을 때 점 $(1, 0)$ 이 다시 자기 자리에 오는 가장 작은 양의 정수 $n$ 을 구하세요.

주어진 것: 각 $T_k$ = ($k°$ 반시계 회전) 후 ($y$ 축 대칭); 시작점 $(1, 0)$ 의 극좌표는 $(r=1, \theta=0°)$; 선택지: (A) $359$, (B) $360$, (C) $719$, (D) $720$, (E) $721$

구하는 것: $(1, 0) \xrightarrow{T_1 T_2 \cdots T_n} (1, 0)$ 가 되는 최소 양의 정수 $n$

이해

주어진 것: 각 $T_k$ = ($k°$ 반시계 회전) 후 ($y$ 축 대칭); 시작점 $(1, 0)$ 의 극좌표는 $(r=1, \theta=0°)$; 선택지: (A) $359$, (B) $360$, (C) $719$, (D) $720$, (E) $721$

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

반지름은 보존되므로 각 $\theta_n$ 만 추적하면 됩니다. 도구 #9 (더 쉬운 문제): $\theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta_4$ 를 직접 계산 ($y$ 축 대칭은 각 $\phi \mapsto 180° - \phi$). 도구 #5 (패턴 찾기): 홀수 인덱스와 짝수 인덱스가 두 개의 깔끔한 등차수열을 이룸. 도구 #13 (대수로 바꾸기): 닫힌 형태 식을 $360°$ 의 배수와 같다고 놓고 최소 $n$ 을 구함. 도구 #3 (가능성 지우기): 두 경우를 비교해 작은 값 선택.

실행 — 정답: A

#13 대수로 바꾸기 8.G.A.3 단계 1

$T_k$ 한 번을 각 연산으로 번역.
반시계 $k°$ 회전은 극좌표 각 $\theta$ 를 $\theta + k°$ 로, $y$ 축 대칭은 각 $\phi$ 를 $180° - \phi$ 로 보냅니다.
합성하면 $T_k$ 는 $\theta$ 를 $180° - (\theta + k°) = 180° - \theta - k°$ 로 보냄.

$$\theta_n = 180° - \theta_{n-1} - n°$$

💡 $y$ 축 대칭은 각의 사상 $\phi \mapsto 180° - \phi$ — 이 한 가지 사실로 점화식이 완성됩니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.OA.B.3 단계 2

$\theta_0 = 0°$ 부터 시작해 처음 몇 항을 계산.
닫힌 형태를 추측하기 전에 일단 돌려 보는 더 쉬운 문제 단계.

$$\theta_1 = 179°,\ \theta_2 = -1°,\ \theta_3 = 178°,\ \theta_4 = -2°,\ \theta_5 = 177°,\ \theta_6 = -3°$$

💡 규칙을 몇 번 굴리고 관찰.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

홀수/짝수 인덱스를 따로 보면 규칙이 보입니다.

$$\theta_{2k-1} = 180° - k°,\qquad \theta_{2k} = -k°$$

💡 홀수 걸음은 $180°$ 부근에서 카운터만큼 줄고, 짝수 걸음은 $0°$ 부근에서 카운터만큼 줄어듭니다.

#5 패턴 찾기 5.OA.B.3 단계 4

귀납식 검증: $\theta_{2k} = -k$ 라 가정.
그러면 $\theta_{2k+1} = 180 - (-k) - (2k+1) = 180 + k - 2k - 1 = 179 - k = 180 - (k+1)$ — 홀수 공식과 일치.
다음으로 $\theta_{2k+2} = 180 - (179 - k) - (2k+2) = -k - 1 = -(k+1)$ — 짝수 공식과 일치.
닫힌 형태가 옳음.

$\theta_{2k+1} = 180 - (k+1),\ \theta_{2k+2} = -(k+1)$ — 확인.

💡 점화식 한 걸음으로 패턴이 인덱스 $2k$ 에서 $2k+1$ 로, 다시 $2k+2$ 로 이어집니다.

#13 대수로 바꾸기 7.NS.A.3 단계 5

점 $(1, 0)$ 은 $\theta_n$ 이 $360°$ 의 정수배일 때 돌아옴.
경우 A: $n$ 이 홀수, $n = 2k - 1$.
$180° - k° \equiv 0 \pmod{360°}$, 즉 $k \equiv 180 \pmod{360}$.
가장 작은 양의 $k = 180$, $n = 2(180) - 1 = 359$.

$$n_{\text{홀수}} = 359$$

💡 $180 - k = 0$ ($360$ 의 가장 단순한 배수) 이면 $k = 180$ — 가장 싼 홀수 회귀.

#13 대수로 바꾸기 7.NS.A.3 단계 6

경우 B: $n$ 이 짝수, $n = 2k$.
$-k° \equiv 0 \pmod{360°}$, 즉 $k \equiv 0 \pmod{360}$.
가장 작은 양의 $k = 360$, $n = 720$.

$$n_{\text{짝수}} = 720$$

💡 짝수 걸음 각이 $-k$ 이므로 $k$ 자체가 $360$ 의 배수여야만 $0 \pmod{360}$ 에 닿습니다.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 7

두 후보를 비교.
$359 < 720$ 이므로 최소 양의 정수는 $359$, 즉 (A).

$$\min(359, 720) = 359 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 두 경우 최솟값 중 더 작은 것을 고르기.

[1] #13 8.G.A.3 $T_k$ 한 번을 각 연산으로 번역. 반시계 $k°$ 회전은 극좌표 각 $\theta$ 를 $\theta + k°$ 로, $y$ 축 대칭은 각

[2] #9 5.OA.B.3 $\theta_0 = 0°$ 부터 시작해 처음 몇 항을 계산. 닫힌 형태를 추측하기 전에 일단 돌려 보는 더 쉬운 문제 단계.

[3] #5 4.OA.C.5 홀수/짝수 인덱스를 따로 보면 규칙이 보입니다.

[4] #5 5.OA.B.3 귀납식 검증: $\theta_{2k} = -k$ 라 가정. 그러면 $\theta_{2k+1} = 180 - (-k) - (2k+1) = 180

[5] #13 7.NS.A.3 점 $(1, 0)$ 은 $\theta_n$ 이 $360°$ 의 정수배일 때 돌아옴. 경우 A: $n$ 이 홀수, $n = 2k - 1$. $18

[6] #13 7.NS.A.3 경우 B: $n$ 이 짝수, $n = 2k$. $-k° \equiv 0 \pmod{360°}$, 즉 $k \equiv 0 \pmod{360}$.

[7] #3 4.NBT.A.2 두 후보를 비교. $359 < 720$ 이므로 최소 양의 정수는 $359$, 즉 (A).

검토

합리성 확인: $n = 359$ 에서 직접 확인: 홀수이고 $k = 180$ 이므로 $\theta_{359} = 180° - 180° = 0°$ — 점이 정확히 $(1, 0)$ 으로 복귀. 더 작은 $n$ 이 없음도 직접 확인: 홀수 $n = 2k - 1$, $1 \le k \le 179$ 이면 $\theta_n = 180 - k \in \{1°, \dots, 179°\}$ 이므로 $360°$ 의 배수 아님. 짝수 $n = 2k$, $1 \le k \le 359$ 이면 $\theta_n = -k° \in \{-1°, \dots, -359°\}$ 이므로 $360°$ 의 배수 아님. 따라서 $n = 359$ 가 최소.

대안 접근: 도구 #10 (직접 만져보기): 종이에 $(1, 0)$ 을 표시하고 $T_1$ ($1°$ 회전 후 대칭), $T_2$ ($2°$ 회전 후 대칭) 등을 직접 그려 보면 점이 $0°$ 근처와 $180°$ 근처를 오가는 것이 보입니다. 두 걸음마다 "근처 목표" 가 $1°$ 씩 이동하므로 $180°$ 근처의 각이 $1°$/쌍 으로 $0°$ 를 향해 행진 — $180$ 쌍 후, 즉 홀수 인덱스 $n = 359$ 에서 도달.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.3 확대·평행이동·회전·반사가 좌표에 미치는 효과 기술 ($T_k$ 한 번을 극각 갱신 $\theta \mapsto 180° - \theta - k°$ 로 번역.)
5.OA.B.3 두 규칙으로 두 수 패턴 만들고 관계 식별 (점화식으로 각 수열 $\theta_0, \theta_1, \theta_2, \dots$ 를 생성하고 홀짝 패턴 확인.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수/도형 패턴 만들기 (두 등차 부분수열 $\theta_{2k-1} = 180 - k$, $\theta_{2k} = -k$ 발견.)
7.NS.A.3 유리수의 사칙연산 실생활 문제 풀기 ($180 - k \equiv 0 \pmod{360}$ 과 $-k \equiv 0 \pmod{360}$ 에서 각 경우의 최소 양의 정수 $k$ 구하기.)
4.NBT.A.2 여러 자릿수 수의 읽기·쓰기 및 비교 ($359 < 720$ 비교로 최소 양의 정수 답 선택.)

⭐ 움직이는 것은 각뿐 — 반지름은 늘 $1$. $T_k$ 를 몇 번 굴려 보면 두 가지 규칙이 보입니다: 홀수 걸음은 $180° - k$, 짝수 걸음은 $-k$. "$360°$ 의 배수는 언제?" 를 풀면 $n = 359$ (홀수), $n = 720$ (짝수) — 더 작은 쪽은 $\textbf{(A) }359$.