AMC 10 · 2022 · #20
학년 8 arithmetic문제
A four-term sequence is formed by adding each term of a four-term arithmetic sequence of positive integers to the corresponding term of a four-term geometric sequence of positive integers. The first three terms of the resulting four-term sequence are 57, 60, and 91. What is the fourth term of this sequence?
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AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 양의 정수 등차수열 (4 항) 과 양의 정수 등비수열 (4 항) 의 대응 항을 더해 새 수열을 만듭니다. 첫 세 항이 $57, 60, 91$ 입니다. 네 번째 항을 구하세요.
주어진 것: 등차: $a, a+d, a+2d, a+3d$ (양의 정수); 등비: $b, br, br^2, br^3$ (양의 정수); $a + b = 57$, $(a + d) + br = 60$, $(a + 2d) + br^2 = 91$; 선택지: (A) $190$, (B) $194$, (C) $198$, (D) $202$, (E) $206$
구하는 것: $S_4 = (a + 3d) + br^3$
이해
문제 재정리: 양의 정수 등차수열 (4 항) 과 양의 정수 등비수열 (4 항) 의 대응 항을 더해 새 수열을 만듭니다. 첫 세 항이 $57, 60, 91$ 입니다. 네 번째 항을 구하세요.
주어진 것: 등차: $a, a+d, a+2d, a+3d$ (양의 정수); 등비: $b, br, br^2, br^3$ (양의 정수); $a + b = 57$, $(a + d) + br = 60$, $(a + 2d) + br^2 = 91$; 선택지: (A) $190$, (B) $194$, (C) $198$, (D) $202$, (E) $206$
계획
주요 도구: #13 대수로 바꾸기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기
미지수 4 개 ($a, d, b, r$) 에 주어진 조건 3 개 — 양의 정수 조건이 없으면 결정되지 않습니다. 도구 #13 (대수로 바꾸기) 가 세 합을 방정식으로 변환. 도구 #7 (쪼개기): 연속 차분으로 $a$ 를 죽이고, 또 한 번 차분해서 $d$ 도 죽이면 $b, r$ 만 남는 한 개의 정수방정식. 도구 #6 (추측하고 확인): $b(r-1)^2 = 28$ 의 몇 안 되는 약수 사례. 도구 #3 (가능성 지우기): 등차의 양의 정수 조건에 실패하는 경우 제거.
실행 — 정답: E
8.EE.C.8 단계 1 세 합을 방정식으로 정리.
💡 세 개의 수치 사실을 깔끔한 대수 시스템으로 번역.
8.EE.C.8 단계 2 - 쪼개기 A: $a$ 를 죽이기.
- (2)에서 (1)을, (3)에서 (2)를 뺍니다.
💡 연속 차분이 상수항 $a$ 를 지웁니다.
7.EE.A.1 단계 3 - 쪼개기 B: $d$ 도 죽이기.
- 새 시스템의 두 식 차분.
💡 $b(r-1)$ 을 묶어내면 $b(r-1)^2 = 28$ — $b, r$ 하나의 깔끔한 방정식.
6.NS.B.4 단계 4 - 양의 정수 조건으로 경우를 좁힙니다.
- 모든 등비 항 $b, br, br^2, br^3$ 이 양의 정수이고 ($b(r-1)^2 = 28 \ne 0$ 이므로 $r \ne 1$) 따라서 $r$ 은 $1$ 이 아닌 양의 정수.
- 그러면 $(r-1)^2$ 은 $28$ 을 나누는 양의 완전제곱수.
- $28$ 의 약수 중 완전제곱수: $1$ 과 $4$.
💡 $28$ 의 완전제곱 약수는 둘 뿐 — 검토할 경우도 둘.
6.EE.B.5 단계 5 - 경우 I: $r = 2$, $(r-1)^2 = 1$, $b = 28$.
- $d + b(r-1) = 3$ 에서 $d + 28 = 3$, $d = -25$.
- $a + b = 57$ 에서 $a = 29$.
- 등차수열 확인: $29, 4, -21, -46$ — 세 번째 항이 음수.
- 양의 정수 조건 위반.
💡 보이는 항만이 아니라 모든 항의 양수성 검증.
6.EE.B.5 단계 6 - 경우 II: $r = 3$, $(r-1)^2 = 4$, $b = 7$.
- $d + b(r-1) = 3$ 에서 $d + 14 = 3$, $d = -11$.
- $a + b = 57$ 에서 $a = 50$.
- 두 수열 확인.
- 등차: $50, 39, 28, 17$ — 모두 양의 정수.
- 등비: $7, 21, 63, 189$ — 모두 양의 정수.
- 유효.
💡 두 수열 모두 양의 정수여야 함 — 경우 II 가 통과.
4.NBT.B.4 단계 7 네 번째 합 계산: $S_4 = (a + 3d) + br^3 = 17 + 189 = 206$.
💡 두 원 수열의 네 번째 항을 더하기.
8.EE.C.8 세 합을 방정식으로 정리. 8.EE.C.8 쪼개기 A: $a$ 를 죽이기. (2)에서 (1)을, (3)에서 (2)를 뺍니다. 7.EE.A.1 쪼개기 B: $d$ 도 죽이기. 새 시스템의 두 식 차분. 6.NS.B.4 양의 정수 조건으로 경우를 좁힙니다. 모든 등비 항 $b, br, br^2, br^3$ 이 양의 정수이고 ($b(r-1)^2 = 28 \ne 0 6.EE.B.5 경우 I: $r = 2$, $(r-1)^2 = 1$, $b = 28$. $d + b(r-1) = 3$ 에서 $d + 28 = 3$, $d = - 6.EE.B.5 경우 II: $r = 3$, $(r-1)^2 = 4$, $b = 7$. $d + b(r-1) = 3$ 에서 $d + 14 = 3$, $d = - 4.NBT.B.4 네 번째 합 계산: $S_4 = (a + 3d) + br^3 = 17 + 189 = 206$. 검토
합리성 확인: $a = 50, d = -11, b = 7, r = 3$ 으로 주어진 세 합 모두 교차 검증. $S_1 = 50 + 7 = 57$ ✓. $S_2 = 39 + 21 = 60$ ✓. $S_3 = 28 + 63 = 91$ ✓. 네 합의 차분: $S_2 - S_1 = 3$, $S_3 - S_2 = 31$, $S_4 - S_3 = 206 - 91 = 115$. 2계 차분: $31 - 3 = 28$, $115 - 31 = 84 = 3 \cdot 28$. 인수 $3$ 이 $r$ 과 일치 — 등비 공비 확인.
대안 접근: 도구 #6 (추측하고 확인) 작은 $r$ 부터: 등비가 빠르게 폭발하므로 $r = 2$ 먼저 (등비 $b, 2b, 4b, 8b$) — 위에서 본 대로 등차 양수 조건 실패. 다음 $r = 3$ (등비 $b, 3b, 9b, 27b$) — $b = 7$ 로 성공. 더 큰 $r$ 은 폭주: $r = 4$ 면 $b(3)^2 = 28$, $b = 28/9$ 비정수. 따라서 $r = 3$ 이 강제 — 정수방정식을 직접 풀지 않아도 답에 도달.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.EE.C.8두 개의 일차연립방정식 분석·풀기 ($a, d, b, r$ 에 대한 세 방정식 시스템 구성과 연속 차분에 의한 환원.)7.EE.A.1일차식의 덧셈·뺄셈·인수분해·전개 (환원된 두 식의 차분에서 $b(r-1)(r-1) = 28$ 로 인수분해.)6.NS.B.4두 수의 최대공약수·최소공배수 ($28$ 의 약수 중 완전제곱수 ($1$ 과 $4$) 만 나열해 $(r-1)^2$ 결정.)6.EE.B.5방정식 풀이를 값 찾기로 이해 (각 후보 $(a, d, b, r)$ 가 등차·등비 모든 항의 양의 정수 조건을 만족하는지 검증.)4.NBT.B.4여러 자릿수 정수의 덧셈·뺄셈 능숙성 (네 번째 합 $17 + 189 = 206$ 계산.)
⭐ 조건이 셋, 미지수가 넷 — 양의 정수 규칙이 부족분을 메웁니다. 연속 차분을 두 번 하면 $b(r-1)^2 = 28$, 따라서 $(r-1)^2 \in \{1, 4\}$. 두 수열이 모두 양수가 되는 경우는 $r = 3, b = 7$ 뿐 ($50, 39, 28, 17$ 과 $7, 21, 63, 189$), $S_4 = 17 + 189 = \textbf{(E) }206$.
⭐ 조건이 셋, 미지수가 넷 — 양의 정수 규칙이 부족분을 메웁니다. 연속 차분을 두 번 하면 $b(r-1)^2 = 28$, 따라서 $(r-1)^2 \in \{1, 4\}$. 두 수열이 모두 양수가 되는 경우는 $r = 3, b = 7$ 뿐 ($50, 39, 28, 17$ 과 $7, 21, 63, 189$), $S_4 = 17 + 189 = \textbf{(E) }206$.