AMC 10 · 2022 · #21
학년 8 geometry-2d문제
A bowl is formed by attaching four regular hexagons of side 1 to a square of side 1. The edges of the adjacent hexagons coincide, as shown in the figure. What is the area of the octagon obtained by joining the top eight vertices of the four hexagons, situated on the rim of the bowl?
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AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 한 변 $1$ 인 정사각형의 네 변에 한 변 $1$ 인 정육각형 네 개를 각각 붙여 그릇 모양을 만듭니다. 이웃한 정육각형끼리는 위로 올라가는 빗변 한 쌍을 공유합니다. 정육각형들의 꼭짓점 중 가장 높은 $8$ 개가 한 수평면에 놓여 팔각형(테두리) 을 이룹니다. 이 팔각형의 넓이를 구하세요.
주어진 것: 가운데 정사각형의 한 변 $= 1$; 정육각형 네 개(한 변 $1$) 가 정사각형의 네 변에 각각 붙어 있음; 이웃한 정육각형은 빗변 한 쌍(정사각형 모서리 위로 올라가는 변, 길이 $1$) 을 공유; 테두리 팔각형은 정육각형들의 위쪽 꼭짓점 $8$ 개를 잇는 다각형; 선택지: (A) $6$, (B) $7$, (C) $5+2\sqrt{2}$, (D) $8$, (E) $9$
구하는 것: 테두리 팔각형의 넓이
이해
문제 재정리: 한 변 $1$ 인 정사각형의 네 변에 한 변 $1$ 인 정육각형 네 개를 각각 붙여 그릇 모양을 만듭니다. 이웃한 정육각형끼리는 위로 올라가는 빗변 한 쌍을 공유합니다. 정육각형들의 꼭짓점 중 가장 높은 $8$ 개가 한 수평면에 놓여 팔각형(테두리) 을 이룹니다. 이 팔각형의 넓이를 구하세요.
주어진 것: 가운데 정사각형의 한 변 $= 1$; 정육각형 네 개(한 변 $1$) 가 정사각형의 네 변에 각각 붙어 있음; 이웃한 정육각형은 빗변 한 쌍(정사각형 모서리 위로 올라가는 변, 길이 $1$) 을 공유; 테두리 팔각형은 정육각형들의 위쪽 꼭짓점 $8$ 개를 잇는 다각형; 선택지: (A) $6$, (B) $7$, (C) $5+2\sqrt{2}$, (D) $8$, (E) $9$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #10 직접 만져보기, #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기
팔각형의 모양이 복잡하니 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 세 단계 — (a) 변의 길이, (b) 모양 식별, (c) 넓이 계산 — 로 나눕니다. 도구 #10(직접 만져보기) 으로 종이 정육각형을 정사각형 위에 접어 보면, 이웃한 두 정육각형이 정사각형 모서리에서 위로 올라가는 길이 $1$ 짜리 빗변을 공유한다는 것이 손에 잡힙니다. 위에서 내려다본 도구 #1(그림 그리기) 로 테두리가 등각 팔각형이며 변이 $1$ 과 $\sqrt{2}$ 가 교대함을 확인하고, 그것이 $3 \times 3$ 정사각형에서 네 모퉁이의 단위 직각삼각형을 잘라낸 도형임을 봅니다. 도구 #3(가능성 지우기) 로 선택지와 비교해 확정합니다.
실행 — 정답: B
6.G.A.4 단계 1 - 그릇을 머릿속에(또는 종이로) 만들어 봅니다.
- 정사각형은 바닥에 있고, 정육각형 넷이 정사각형의 각 변을 경첩 삼아 위로 기울어집니다.
- 정사각형 한 모서리를 공유하는 두 정육각형은 그 모서리에서 위로 올라가는 빗변 한 개(길이 $1$, 두 정육각형의 변) 도 공유합니다.
- 그 빗변의 위쪽 끝점을 $P$ 라 하면, 두 정육각형은 각자 $P$ 옆에 위쪽 꼭짓점을 하나씩 가지며 그 꼭짓점들이 테두리 위에 놓입니다.
💡 6학년 — 면들에서 3차원 도형을 떠올리면 테두리 각 꼭짓점에서 어떤 모서리가 만나는지 알 수 있어요.
8.G.B.7 단계 2 - 테두리 변의 길이를 찾습니다.
- 테두리는 두 종류 선분이 교대합니다: (i) 정육각형의 위쪽 변(정육각형마다 하나, 길이 $1$, 총 $4$ 개), (ii) 정사각형 한 모서리 위에서 만나는 이웃 정육각형들의 위쪽 꼭짓점을 잇는 선분.
- (ii) 의 양 끝 점은 각각 정사각형 모서리에서 정육각형 변 하나만큼 위로 올라간 점인데, 그릇의 $4$ 회전 대칭으로 한 모서리에서 올라가는 두 변이 서로 수직입니다.
- 따라서 (ii) 는 직각변 $1, 1$ 인 직각삼각형의 빗변입니다.
💡 8학년 피타고라스 정리 — 정사각형 모서리 위에서 직각으로 만나는 두 단위 변이 만드는 빗변.
4.G.A.2 단계 3 - 팔각형의 모양을 식별.
- 테두리의 각 내각은 $135^\circ$ — 대칭으로 모든 꼭짓점에서 같은 각으로 꺾이며 $8 \times 135^\circ = 1080^\circ$ 가 팔각형 내각의 합과 일치 — 이므로 등각 팔각형.
- 변은 $1, \sqrt{2}, 1, \sqrt{2}, 1, \sqrt{2}, 1, \sqrt{2}$ 로 교대: 길이 $1$ 인 네 변은 아래 정사각형과 평행, 길이 $\sqrt{2}$ 인 네 변은 $45^\circ$ 모퉁이 자르기.
💡 4학년 — 변과 각으로 도형 분류; 테두리는 두 변 길이가 교대하는 등각 팔각형이에요.
6.G.A.1 단계 4 - 팔각형을 큰 정사각형 안에 넣어 넓이를 계산.
- 팔각형을 단위 변과 평행한 변을 가진 큰 정사각형 안에 딱 맞게 넣으면, 큰 정사각형의 네 모퉁이가 $\sqrt{2}$ 변에 의해 잘려 나갑니다.
- 잘려나간 삼각형은 빗변 $\sqrt{2}$ 인 직각이등변삼각형이라 직각변이 $1$.
- 큰 정사각형의 한 변은 가운데 단위 변 $1$ 에 양옆 직각변 $1$ 씩 더해 $1 + 1 + 1 = 3$.
💡 6학년 — 다각형을 큰 직사각형에서 단순한 조각을 뺀 것으로 쪼개기.
3.MD.C.7 단계 5 - 산수 마무리.
- 큰 정사각형 넓이 $= 3^2 = 9$.
- 모퉁이 삼각형 하나의 넓이 $= \tfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \tfrac{1}{2}$, 네 모퉁이.
- 팔각형 넓이 $= 9 - 4 \cdot \tfrac{1}{2} = 9 - 2 = 7$, 선택지 (B).
💡 3학년 — 직사각형 넓이에서 같은 삼각형 네 개 넓이를 뺍니다.
6.G.A.4 그릇을 머릿속에(또는 종이로) 만들어 봅니다. 정사각형은 바닥에 있고, 정육각형 넷이 정사각형의 각 변을 경첩 삼아 위로 기울어집니다. 정사각형 8.G.B.7 테두리 변의 길이를 찾습니다. 테두리는 두 종류 선분이 교대합니다: (i) 정육각형의 위쪽 변(정육각형마다 하나, 길이 $1$, 총 $4$ 개) 4.G.A.2 팔각형의 모양을 식별. 테두리의 각 내각은 $135^\circ$ — 대칭으로 모든 꼭짓점에서 같은 각으로 꺾이며 $8 \times 135^\ci 6.G.A.1 팔각형을 큰 정사각형 안에 넣어 넓이를 계산. 팔각형을 단위 변과 평행한 변을 가진 큰 정사각형 안에 딱 맞게 넣으면, 큰 정사각형의 네 모퉁이 3.MD.C.7 산수 마무리. 큰 정사각형 넓이 $= 3^2 = 9$. 모퉁이 삼각형 하나의 넓이 $= \tfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 검토
합리성 확인: 수치 점검. 테두리 팔각형은 안쪽 단위 정사각형(넓이 $1$) 에 폭 넓은 테두리가 더해진 모양이라 답은 $1$ 보다 한참 커야 합니다. 팔각형을 딱 둘러싸는 큰 정사각형이 넓이 $9$ 이니, 팔각형 넓이는 $9$ 보다 조금 작아야 합니다 — 정확히 $2$(네 모퉁이 삼각형) 만큼 빠져 $7$ 이 되는 것은 일관적입니다. 선택지 (C) $5 + 2\sqrt{2} \approx 7.83$ 은 $\sqrt{2}$ 가 답에 남아야 한다는 잘못된 직관에서 나온 함정 — 잘려나간 조각들이 직각변 $1$ 인 단위 직각삼각형이라 $\sqrt{2}$ 가 들어가지 않고 깔끔한 정수 $7$ 이 됩니다.
대안 접근: 도구 #1(그림 그리기): 팔각형을 위에서 내려다보고 가운데 단위 정사각형 $1$ + 네 변마다 $1 \times 1$ 직사각형 $4$ + 네 모퉁이 단위 직각삼각형 $4 \cdot \tfrac{1}{2}$ 로 쪼개면 $1 + 4 + 2 = 7$. 도구 #3(가능성 지우기): $\sqrt{2}$ 가 들어 있는 선택지(오직 (C)) 는 모퉁이 잘림 조각이 무리수 넓이를 가져야 하는데, 그 직각변이 정확히 $1$ 이라 (C) 는 탈락 — 답은 정수 $7$, 즉 (B).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
3.MD.C.7넓이를 곱셈과 덧셈 연산으로 연결하기 (큰 정사각형 넓이 $3 \times 3 = 9$ 와 네 모퉁이 삼각형 합 $4 \times \tfrac{1}{2} = 2$ 계산.)4.G.A.2평행·수직선이나 특정 크기의 각을 기준으로 2차원 도형 분류 (테두리를 변 길이 두 가지가 교대하는 등각 팔각형으로 식별.)6.G.A.1직사각형으로 합치거나 삼각형으로 쪼개서 삼각형·사각형·다각형의 넓이 구하기 (큰 정사각형에서 네 모퉁이 삼각형을 뺀 것으로 팔각형 넓이 계산.)6.G.A.4직사각형과 삼각형으로 된 전개도로 3차원 도형 표현하고 겉넓이 구하기 (정사각형과 정육각형 면들로부터 그릇을 떠올려 테두리 각 꼭짓점에서 어떤 모서리가 만나는지 파악.)8.G.B.7직각삼각형에서 미지의 변의 길이를 구하기 위해 피타고라스 정리 적용 (정사각형 모서리 위에서 수직으로 만나는 두 단위 변의 빗변 길이 $\sqrt{2}$ 계산.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 피타고라스 정리만 있으면 풀려요 — 테두리가 변이 $1, \sqrt{2}, 1, \sqrt{2}, \ldots$ 인 등각 팔각형이고 $3 \times 3$ 정사각형에서 직각변 $1$ 인 직각삼각형 네 개를 뗀 모양이라는 걸 보면 넓이는 $9 - 4 \cdot \tfrac{1}{2} = 7$ 이에요.
⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 피타고라스 정리만 있으면 풀려요 — 테두리가 변이 $1, \sqrt{2}, 1, \sqrt{2}, \ldots$ 인 등각 팔각형이고 $3 \times 3$ 정사각형에서 직각변 $1$ 인 직각삼각형 네 개를 뗀 모양이라는 걸 보면 넓이는 $9 - 4 \cdot \tfrac{1}{2} = 7$ 이에요.