AMC 10 · 2022 · #23

학년 8 geometry-2d

coordinate-geometrypythagorean-theoremratio-proportion identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Isosceles trapezoid $ABCD$ has parallel sides $\overline{AD}$ and $\overline{BC},$ with $BC < AD$ and $AB = CD.$ There is a point $P$ in the plane such that $PA=1, PB=2, PC=3,$ and $PD=4.$ What is $\tfrac{BC}{AD}?$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac{1}{3}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{2}{3}$

(E)

$\frac{3}{4}$

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 이등변사다리꼴 $ABCD$ 에서 $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$, $BC < AD$, 다리 $AB = CD$ 입니다. 어떤 점 $P$ 가 평면에 있어 $PA = 1, PB = 2, PC = 3, PD = 4$ 일 때, 비율 $\frac{BC}{AD}$ 를 구하세요.

주어진 것: 이등변사다리꼴 $ABCD$, $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$, $BC < AD$, $AB = CD$; 평면 위 점 $P$ 에 대해 $PA = 1, PB = 2, PC = 3, PD = 4$; 선택지: (A) $\tfrac{1}{4}$, (B) $\tfrac{1}{3}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{2}{3}$, (E) $\tfrac{3}{4}$

구하는 것: 비율 $\frac{BC}{AD}$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

도구 #1(그림 그리기) — 사다리꼴을 좌표평면에 놓되 대칭축을 $y$ 축으로, $AD$ 를 $x$ 축 위에 둡니다: $A = (-a, 0)$, $D = (a, 0)$, $B = (-b, h)$, $C = (b, h)$ ($b < a$). 구하려는 비율은 $\frac{BC}{AD} = \frac{2b}{2a} = \frac{b}{a}$. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 두 대칭 쌍 $\{A, D\}$, $\{B, C\}$ 를 각각 따로 다룹니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) — 거리 제곱식을 쓰고 같은 쌍 안에서 빼면 $y, h$ 항이 깔끔히 소거되어 $a, b, x$ 만 남습니다. 도구 #3(가능성 지우기) — 선택지와 대조해 확정.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.NS.C.8 단계 1

대칭축을 이용해 사다리꼴 배치.
대칭축을 $y$ 축, 긴 밑변 $AD$ 를 $x$ 축 위에 둡니다.
이등변 대칭으로 $A = (-a, 0)$, $D = (a, 0)$ ($a > 0$), $B = (-b, h)$, $C = (b, h)$ ($0 < b < a$, $h \neq 0$).
$P = (x, y)$.

$$A = (-a, 0), D = (a, 0), B = (-b, h), C = (b, h)$$

💡 6학년 — 대칭축을 $y$ 축으로 두면 대칭 꼭짓점은 $x$ 좌표 부호만 반대.

#13 대수로 바꾸기 8.G.B.8 단계 2

네 개의 거리 제곱 식을 씁니다.
구할 것은 $\frac{2b}{2a} = \frac{b}{a}$ 라서 $h, y$ 는 소거할 보조 변수.

$$\begin{aligned} PA^2 &= (x+a)^2 + y^2 = 1 \\ PD^2 &= (x-a)^2 + y^2 = 16 \\ PB^2 &= (x+b)^2 + (y-h)^2 = 4 \\ PC^2 &= (x-b)^2 + (y-h)^2 = 9 \end{aligned}$$

💡 8학년 — 좌표평면 거리 제곱은 $(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$, 제곱근 없이 다룹니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.8 단계 3

각 대칭 쌍 안에서 빼서 $y^2$, $(y-h)^2$ 항을 소거.
$PA^2, PD^2$ 에서 $[(x+a)^2 - (x-a)^2] = 1 - 16$ 이 되어 $4ax = -15$.
$PB^2, PC^2$ 에서 $[(x+b)^2 - (x-b)^2] = 4 - 9$ 이 되어 $4bx = -5$.

$$4ax = -15, \quad 4bx = -5$$

💡 8학년 — 짝을 이루는 제곱끼리 빼서 미지수의 수직 좌표 항 소거; $a, b, x$ 만 남음.

#13 대수로 바꾸기 6.RP.A.3 단계 4

두 식을 나눕니다.
$a, x$ 모두 $0$ 이 될 수 없으므로($4ax = -15$ 가 어긋남) 안전히 나눠 $\frac{4bx}{4ax} = \frac{-5}{-15}$, 즉 $\frac{b}{a} = \frac{1}{3}$.

$$\frac{b}{a} = \frac{-5}{-15} = \frac{1}{3}$$

💡 6학년 — 식을 나눠 깔끔한 비율 도출.

#13 대수로 바꾸기 6.RP.A.3 단계 5

원래 비율로 환원.
$\frac{BC}{AD} = \frac{2b}{2a} = \frac{b}{a} = \frac{1}{3}$, 선택지 (B).

$$\frac{BC}{AD} = \frac{b}{a} = \frac{1}{3} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 6학년 비율 — 방금 구한 $b/a$ 가 곧 답.

[1] #1 6.NS.C.8 대칭축을 이용해 사다리꼴 배치. 대칭축을 $y$ 축, 긴 밑변 $AD$ 를 $x$ 축 위에 둡니다. 이등변 대칭으로 $A = (-a, 0)$,

[2] #13 8.G.B.8 네 개의 거리 제곱 식을 씁니다. 구할 것은 $\frac{2b}{2a} = \frac{b}{a}$ 라서 $h, y$ 는 소거할 보조 변수.

[3] #7 8.EE.C.8 각 대칭 쌍 안에서 빼서 $y^2$, $(y-h)^2$ 항을 소거. $PA^2, PD^2$ 에서 $[(x+a)^2 - (x-a)^2] = 1 -

[4] #13 6.RP.A.3 두 식을 나눕니다. $a, x$ 모두 $0$ 이 될 수 없으므로($4ax = -15$ 가 어긋남) 안전히 나눠 $\frac{4bx}{4ax} =

[5] #13 6.RP.A.3 원래 비율로 환원. $\frac{BC}{AD} = \frac{2b}{2a} = \frac{b}{a} = \frac{1}{3}$, 선택지 (B).

검토

합리성 확인: 수치 점검. 거리 $1, 2, 3, 4$ 가 매우 비대칭 — $P$ 가 $D$ 보다 $A$ 에 훨씬 가까워 $|x|$ 가 크고, $C$ 보다 $B$ 에 가까움. $PA, PD$ 쌍은 긴 밑변 $AD$ 의 정보를, $PB, PC$ 쌍은 짧은 밑변 $BC$ 의 정보를 담습니다. 차 $PA^2 - PD^2 = -15$, $PB^2 - PC^2 = -5$ 가 밑변 길이에 비례하고, 그 비율 $5/15 = 1/3$ 이 곧 $BC/AD$. (B) $\tfrac{1}{3}$ 은 $\tfrac{1}{4}$ ~ $\tfrac{3}{4}$ 범위 안 — $BC$ 가 $AD$ 보다 눈에 띄게 짧지만 너무 작지는 않다는 직관과 일치.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기): 차 $PD^2 - PA^2 = 15$, $PC^2 - PB^2 = 5$ 자체가 비율 $3 : 1$. 그러면 $\frac{AD}{BC} = 3$ 이므로 $\frac{BC}{AD} = \tfrac{1}{3}$. $\tfrac{1}{3}$ 이외의 답은 이 특정 거리 값들이 우연이라는 가정이 필요한데, 그렇지 않음.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.NS.C.8 좌표평면의 네 사분면에 점을 그려 실생활·수학 문제 해결 (대칭축을 $y$ 축으로 두고 사다리꼴을 좌표평면에 배치.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활·수학 문제 해결 ($\frac{b}{a} = \frac{1}{3}$ 을 구할 비율 $\frac{BC}{AD}$ 로 해석.)
8.G.B.8 좌표계에서 두 점 사이 거리 구하기 위해 피타고라스 정리 적용 ($PA^2, PB^2, PC^2, PD^2$ 을 좌표 거리 제곱으로 표현.)
8.EE.C.8 연립 일차방정식 분석·풀이 (쌍별로 빼서 $y^2, (y-h)^2$ 항 소거 후 $4ax = -15$, $4bx = -5$ 도출.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 좌표 거리만 있으면 풀려요 — 대칭축을 $y$ 축으로 사다리꼴을 좌표에 놓고, 네 거리를 제곱한 뒤 대칭 쌍별로 빼서 $y$ 항을 죽이고, $4bx = -5$ 를 $4ax = -15$ 로 나누어 $\frac{BC}{AD} = \frac{1}{3}$ 을 읽어내요.