AMC 10 · 2022 · #3

학년 6 arithmetic

systems-of-equationslinear-equations-two-varabsolute-value convert-to-algebrawork-backwards ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

The sum of three numbers is $96.$ The first number is $6$ times the third number, and the third number is $40$ less than the second number. What is the absolute value of the difference between the first and second numbers?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 수(첫째·둘째·셋째)의 합이 $96$. 첫째는 셋째의 $6$ 배, 셋째는 둘째보다 $40$ 작습니다. $|\text{첫째} - \text{둘째}|$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: $\text{첫째} + \text{둘째} + \text{셋째} = 96$; $\text{첫째} = 6 \times \text{셋째}$; $\text{셋째} = \text{둘째} - 40$ (즉 $\text{둘째} = \text{셋째} + 40$); 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: $|\text{첫째} - \text{둘째}|$

이해

문제 재정리: 세 수(첫째·둘째·셋째)의 합이 $96$. 첫째는 셋째의 $6$ 배, 셋째는 둘째보다 $40$ 작습니다. $|\text{첫째} - \text{둘째}|$ 의 값을 구하세요.

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #11 거꾸로 풀기, #7 작은 문제로 쪼개기

세 수가 모두 셋째 수로 표현됩니다 — $\text{첫째} = 6z$, $\text{둘째} = z + 40$. 셋째가 "하나뿐인 다이얼" 인 셈. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 작은 자연수를 $z$ 에 넣어 합이 $96$ 이 되는지 보면 충분 — 세 개의 변수 이름을 새기는 것보다 훨씬 친절합니다. $z$ 가 정해진 뒤엔 도구 #11(거꾸로 풀기)·#7(작은 문제로 쪼개기)이 첫째·둘째를 되찾아 절댓값 차를 마무리합니다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.6 단계 1

셋째 수를 다이얼로.
단서에서 $\text{첫째} = 6z$, $\text{둘째} = z + 40$.
따라서 세 수는 $6z, \; z+40, \; z$ — $z$ 에 어떤 값을 넣든 세 수가 한 번에 결정됩니다.

$$\text{첫째} = 6z, \quad \text{둘째} = z + 40, \quad \text{셋째} = z$$

💡 가장 작은 조각을 $z$ 로 이름 짓고 나머지를 그 식으로 적기 — 6학년 "변수로 미지수를 나타내기" 그대로. 수 하나가 세 수를 모두 잡습니다.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.7 단계 2

추측.
$z = 5$ 시도: 합 $= 30 + 45 + 5 = 80$.
너무 작음.
$z = 10$ 시도: 합 $= 60 + 50 + 10 = 120$.
너무 큼.
$z = 7$ 시도: 합 $= 42 + 47 + 7 = 96$.
적중!

$$z=5: 30+45+5 = 80, \; z=10: 60+50+10 = 120, \; z=7: 42+47+7 = 96 \;\checkmark$$

💡 방향성 있는 두 추측이 $z$ 를 $5$ 와 $10$ 사이로 좁히고, 한 번 더가 $7$ 에 안착 — 6학년 "$px+q=r$ 풀기" 를 종이 대수 없이.

#11 거꾸로 풀기 5.OA.A.1 단계 3

$z = 7$ 로 첫째·둘째를 읽어내기: $\text{첫째} = 6 \cdot 7 = 42$, $\text{둘째} = 7 + 40 = 47$.

$$\text{첫째} = 42, \quad \text{둘째} = 47$$

💡 $z = 7$ 에서 두 짧은 식을 거꾸로 되짚어 실제 수를 얻기 — 5학년 "수식 계산하기".

#11 거꾸로 풀기 6.NS.C.7 단계 4

절댓값 차 계산.
둘째가 더 크므로 $|\text{첫째} - \text{둘째}| = |42 - 47| = 5$.

$$|42 - 47| = 5 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 절댓값은 두 수 사이의 거리일 뿐 — 6학년 "순서·절댓값".

[1] #7 6.EE.B.6 셋째 수를 다이얼로. 단서에서 $\text{첫째} = 6z$, $\text{둘째} = z + 40$. 따라서 세 수는 $6z, \; z+40,

[2] #6 6.EE.B.7 추측. $z = 5$ 시도: 합 $= 30 + 45 + 5 = 80$. 너무 작음. $z = 10$ 시도: 합 $= 60 + 50 + 10 =

[3] #11 5.OA.A.1 $z = 7$ 로 첫째·둘째를 읽어내기: $\text{첫째} = 6 \cdot 7 = 42$, $\text{둘째} = 7 + 40 = 47$.

[4] #11 6.NS.C.7 절댓값 차 계산. 둘째가 더 크므로 $|\text{첫째} - \text{둘째}| = |42 - 47| = 5$.

검토

합리성 확인: 세 수 확인: $42 + 47 + 7 = 96 \checkmark$. 첫째 $=$ 셋째의 $6$ 배: $42 = 6 \cdot 7 \checkmark$. 셋째 $=$ 둘째 $- 40$: $7 = 47 - 40 \checkmark$. 모든 단서가 맞으므로 $|42 - 47| = 5$ 가 확실 — 선택지 (E) 와 일치.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기)로 한 줄 증명. 합 식에 대입: $6z + (z+40) + z = 96 \Rightarrow 8z = 56 \Rightarrow z = 7$. 그러면 $|6z - (z+40)| = |5z - 40| = |35 - 40| = 5$. 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.OA.A.1 괄호가 있는 수식 만들고 계산하기 ($z = 7$ 이 정해진 뒤 $6 \cdot 7$ 과 $7 + 40$ 을 계산해 첫째·둘째 수를 되찾는 데 사용.)
6.EE.B.6 변수로 수를 나타내고 식을 써서 문제 해결하기 (셋째 수를 $z$ 로 두고 첫째를 $6z$, 둘째를 $z + 40$ 으로 적어 한 변수로 세 수를 모두 표현하는 데 사용.)
6.EE.B.7 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제 해결 ("합이 $96$" 을 $z$ 에 대한 방정식으로 보고 방향성 있는 추측으로 $z = 7$ 을 찾는 데 사용.)
6.NS.C.7 유리수의 순서와 절댓값 이해 ($|42 - 47|$ 을 두 수 사이의 거리($= 5$)로 읽는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "미지수에 이름 붙이고 작은 수부터 넣어 보기" 만 알면 풀 수 있어요 — 셋째가 $7$ 임이 드러나면 $42$ 와 $47$ 의 거리는 딱 $5$!