AMC 10 · 2022 · #4

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Unit Conversion Chain

unit-conversionratefraction-arithmetic dimensional-analysiseasier-related-problem ↑ 선수 지식: rateunit-conversion

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

In some countries, automobile fuel efficiency is measured in liters per $100$ kilometers while other countries use miles per gallon. Suppose that 1 kilometer equals $m$ miles, and $1$ gallon equals $l$ liters. Which of the following gives the fuel efficiency in liters per $100$ kilometers for a car that gets $x$ miles per gallon?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{x}{100lm}$

(B)

$\frac{xlm}{100}$

(C)

$\frac{lm}{100x}$

(D)

$\frac{100}{xlm}$

(E)

$\frac{100lm}{x}$

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1$ km $= m$ 마일, $1$ 갤런 $= l$ 리터일 때, 연비 "$x$ 마일/갤런" 을 "$100$ km 당 리터" 로 바꾸세요. 일치하는 식을 고릅니다.

주어진 것: 연비: $x$ 마일/갤런 (mi/gal); $1$ km $= m$ 마일, 따라서 $1$ 마일 $= \dfrac{1}{m}$ km; $1$ 갤런 $= l$ 리터, 따라서 $1$ 리터 $= \dfrac{1}{l}$ 갤런; 선택지: (A) $\dfrac{x}{100lm}$, (B) $\dfrac{xlm}{100}$, (C) $\dfrac{lm}{100x}$, (D) $\dfrac{100}{xlm}$, (E) $\dfrac{100lm}{x}$

구하는 것: 연비를 $100$ km 당 리터(L / $100$ km)로 나타낸 값

이해

문제 재정리: $1$ km $= m$ 마일, $1$ 갤런 $= l$ 리터일 때, 연비 "$x$ 마일/갤런" 을 "$100$ km 당 리터" 로 바꾸세요. 일치하는 식을 고릅니다.

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #3 가능성 지우기

세 글자 모두 추상적 환산 인자 — 헷갈리기 쉬움. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 친절한 구체 숫자($x=30$ mpg, $l=4$, $m=0.5$)로 바꿔 실제 L/$100$ km 값을 구하고, 같은 숫자를 다섯 식에 넣어 일치 여부를 확인합니다. 도구 #8(단위 살펴보기)이 그 답을 기호적으로 재확인 — 마일은 마일끼리, 갤런은 갤런끼리 약분 — 도구 #3(가능성 지우기)이 수치 불일치로 나머지 네 식을 마무리합니다.

실행 — 정답: E

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.RP.A.3 단계 1

쉬운 숫자 고르기.
$x = 30$ mpg(평범한 차), $m = 0.5$($1$ km $= 0.5$ mi 로 가정해 깔끔한 계산), $l = 4$($1$ gal $= 4$ L 로 가정).
이 값으로 실제 L/$100$ km 를 구한 뒤, 어느 식이 그 값을 재현하는지 보면 됩니다.

$$x = 30, \quad m = 0.5, \quad l = 4$$

💡 구체 숫자는 추상적 글자 추적을 평범한 6학년 비율 문제 — "$100$ km 가는 데 몇 리터?" — 로 바꿔 줍니다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 2

시험값으로 실제 L/$100$ km 계산.
연비 $30$ mi/gal.
$100$ km $= 100 \times 0.5 = 50$ 마일.
$50$ 마일을 가려면 $50/30 = 5/3$ 갤런 필요 — 즉 $5/3 \times 4 = 20/3$ 리터.

$$100 \text{ km} = 50 \text{ mi}; \; \dfrac{50 \text{ mi}}{30 \text{ mi/gal}} = \dfrac{5}{3} \text{ gal} = \dfrac{20}{3} \text{ L}$$

💡 마일 $\to$ 갤런 $\to$ 리터 사슬을 따라가기 — 6학년 비율 사슬 그대로, 요리 레시피 환산과 같은 사고.

#3 가능성 지우기 6.EE.A.2 단계 3

이제 $x = 30$, $l = 4$, $m = 0.5$ 을 다섯 식에 대입.
(E) $\dfrac{100lm}{x} = \dfrac{100 \cdot 4 \cdot 0.5}{30} = \dfrac{200}{30} = \dfrac{20}{3}$.
일치!
안전 확인: (B) $\dfrac{xlm}{100} = \dfrac{60}{100} = 0.6$ — 틀림.
(D) $\dfrac{100}{xlm} = \dfrac{100}{60} \approx 1.67$ — 틀림.
$20/3$ 에 맞는 것은 오직 (E).

$$\text{(E): }\dfrac{100 \cdot 4 \cdot 0.5}{30} = \dfrac{20}{3} \;\checkmark$$

💡 각 식을 수식으로 보고 값을 매기기 — 6학년 "글자가 들어간 식 쓰고 계산하기" 그대로, 구체 숫자가 옳은 식을 즉시 드러냅니다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 4

기호적으로 재확인.
$x$ mi/gal 에서 출발해 단위 추적: $1$ 갤런($= l$ 리터)에 차는 $x$ 마일($= x/m$ km)을 갑니다.
따라서 $1$ 리터당 거리 $= \dfrac{x/m}{l} = \dfrac{x}{lm}$ km.
뒤집어 km 당 리터, $\times 100$ 으로 $100$ km 당 리터.

$$\dfrac{x \text{ mi}}{1 \text{ gal}} = \dfrac{x/m \text{ km}}{l \text{ L}} = \dfrac{x}{lm} \, \dfrac{\text{km}}{\text{L}} \;\Rightarrow\; \dfrac{lm}{x} \, \dfrac{\text{L}}{\text{km}} \;\Rightarrow\; \dfrac{100lm}{x} \, \dfrac{\text{L}}{100\,\text{km}} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 단위가 인수처럼 약분 — 각 글자의 단위 역할을 적으면 대수가 저절로 진행되어, 숫자가 알려준 답과 같은 곳에 안착.

[1] #9 6.RP.A.3 쉬운 숫자 고르기. $x = 30$ mpg(평범한 차), $m = 0.5$($1$ km $= 0.5$ mi 로 가정해 깔끔한 계산), $l =

[2] #8 6.RP.A.3 시험값으로 실제 L/$100$ km 계산. 연비 $30$ mi/gal. $100$ km $= 100 \times 0.5 = 50$ 마일. $50

[3] #3 6.EE.A.2 이제 $x = 30$, $l = 4$, $m = 0.5$ 을 다섯 식에 대입. (E) $\dfrac{100lm}{x} = \dfrac{100 \

[4] #8 6.RP.A.3 기호적으로 재확인. $x$ mi/gal 에서 출발해 단위 추적: $1$ 갤런($= l$ 리터)에 차는 $x$ 마일($= x/m$ km)을 갑니다

검토

합리성 확인: 방향 점검. 연비 $x$ 가 높을수록(효율 좋은 차) $100$ km 당 리터는 작아야 하므로 $x$ 는 분모. $l$ 이 크면(갤런이 더 많은 리터를 담음) L/$100$ km 가 커지므로 $l$ 은 분자. $m$ 이 크면($1$ km 가 더 많은 마일을 포함, km 거리가 "길게" 느껴짐) L/$100$ km 가 커지므로 $m$ 도 분자. $100$ 은 km 당에서 $100$ km 당으로 스케일. 선택지 (E) $\dfrac{100lm}{x}$ 가 모든 방향 점검을 통과.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 만으로도. 방향 검사: $x$ 는 분모여야 함 ($\to$ (B) 탈락); $100$ 은 분자에 와야 함 ($\to$ (A), (C), (D) 탈락). 남는 것은 분자에 $100$, 분모에 $x$ 가 있는 (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (마일 $\to$ km, 갤런 $\to$ 리터 환산을 이어 붙여 mi/gal 을 L/$100$ km 로 바꾸는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 들어간 식 쓰고 읽고 계산하기 (구체 시험값 $x = 30$, $l = 4$, $m = 0.5$ 을 다섯 후보식에 대입해 참값 $\dfrac{20}{3}$ 과 비교하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 비율 사고만 알면 풀 수 있어요 — 친절한 숫자를 넣어서 $\dfrac{20}{3}$ 에 맞는 식이 정답, 그게 바로 $\dfrac{100lm}{x}$ 입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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