AMC 10 · 2022 · #5

학년 8 geometry-2d

area-rectanglessimilar-trianglespythagorean-theorem convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Square $ABCD$ has side length $1$ . Points $P$ , $Q$ , $R$ , and $S$ each lie on a side of $ABCD$ such that $APQCRS$ is an equilateral convex hexagon with side length $s$ . What is $s$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

(B)

$\frac{1}{2}$

(C)

$2 - \sqrt{2}$

(D)

$1 - \frac{\sqrt{2}}{4}$

(E)

$\frac{2}{3}$

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 변의 길이 $1$ 인 정사각형 $ABCD$ 의 네 변 위에 점 $P, Q, R, S$ 를 잡아 $APQCRS$ 가 변의 길이가 모두 $s$ 인 정육각형(등변 볼록육각형)이 되도록 합니다. $s$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: $ABCD$ 는 한 변이 $1$ 인 정사각형; $P$ 는 $AB$ 위, $Q$ 는 $BC$ 위, $R$ 은 $CD$ 위, $S$ 는 $DA$ 위; $APQCRS$ 는 그 순서대로 꼭짓점이 이어진 닫힌 육각형; 여섯 변이 모두 같음: $AP = PQ = QC = CR = RS = SA = s$; 선택지: (A) $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$, (B) $\dfrac{1}{2}$, (C) $2 - \sqrt{2}$, (D) $1 - \dfrac{\sqrt{2}}{4}$, (E) $\dfrac{2}{3}$

구하는 것: 육각형의 공통 변의 길이 $s$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기

그림 없이는 여섯 점과 여섯 등변이 뒤엉킵니다. 도구 #1(그림 그리기)이 $A, P, Q, C, R, S$ 를 정사각형 위에 배치하면 구조가 즉시 보입니다 — 꼭짓점 $B$, $D$ 에서 다리 길이가 $1-s$ 인 이등변 직각삼각형이 잘려 나가는 모양. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 진짜 문제를 짚어 줍니다 — "잘린 삼각형의 빗변이 $s$" 라는 한 조건. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 그 피타고라스 조건을 $s^2 = 2(1-s)^2$ 로 적고 $s$ 를 분리. 도구 #6(추측하고 확인)으로도 가능하지만 여기선 대수가 짧고 깔끔.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 1

정사각형 그리기 — $A$ 좌하, $B$ 우하, $C$ 우상, $D$ 좌상.
$P$ 를 $AB$ 위에 두면 $AP = s$, 따라서 $PB = 1 - s$.
육각형 변 $PQ$ 는 $P$ 에서 $BC$ 위의 점 $Q$ 로.
다음 변 $QC$ 도 길이 $s$ 여야 하므로 $QC = s$, 즉 $BQ = 1 - s$.
결국 모서리 삼각형 $\triangle BPQ$ 는 정사각형 변을 따라 길이 $1-s$ 인 두 다리가 $B$ 에서 직각으로 만나는 모양.

$$AP = QC = s \;\Rightarrow\; PB = BQ = 1 - s$$

💡 그림이 모서리 잘림을 그대로 보여 줌 — 5학년 "좌표 위에 점 찍기" 라벨링만으로 $B$ 의 작은 직각삼각형이 보입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.5 단계 2

$\triangle BPQ$ 는 $B$ 에서 직각(정사각형 꼭짓점)이고 두 다리가 모두 $1-s$ 로 같으므로 이등변 직각삼각형.
그 빗변 $PQ$ 는 육각형의 변이라 $PQ = s$.
같은 그림이 꼭짓점 $D$ 에서 대칭으로 — $\triangle DRS$ 는 $\triangle BPQ$ 와 합동.

$$\triangle BPQ: \text{ 두 다리} = 1-s, \; \text{ 빗변} = PQ = s$$

💡 등변 조건이 모서리 잘림을 등변으로 강제 — 직각에 관한 7학년 각·삼각형 사실이 일을 합니다.

#13 대수로 바꾸기 8.G.B.7 단계 3

$\triangle BPQ$ 에 피타고라스 정리 — 빗변의 제곱 = 두 다리 제곱의 합.

$$PQ^2 = BP^2 + BQ^2 \;\Rightarrow\; s^2 = (1-s)^2 + (1-s)^2 = 2(1-s)^2$$

💡 직각삼각형은 8학년 피타고라스 정리를 부름 — 한 줄로 기하가 $s$ 의 방정식으로 바뀝니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 4

풀이.
양변이 양수($0 < s < 1$ 이라 $1 - s > 0$)이므로 양의 제곱근: $s = \sqrt{2}\,(1 - s)$.
전개하고 $s$ 항을 한쪽으로.

$$s = \sqrt{2}\,(1-s) = \sqrt{2} - \sqrt{2}\,s \;\Rightarrow\; s(1 + \sqrt{2}) = \sqrt{2} \;\Rightarrow\; s = \dfrac{\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$$

💡 표준 8학년 "일차 방정식 풀기" — 다만 계수에 $\sqrt{2}$ 가 끼어 있는 것이 8학년적 차이.

#13 대수로 바꾸기 8.NS.A.1 단계 5

분모 유리화 — 분자·분모에 켤레 $\sqrt{2} - 1$ 을 곱하면 분모가 $(\sqrt{2})^2 - 1^2 = 1$.

$$s = \dfrac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{2-1} = 2 - \sqrt{2} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 켤레 곱으로 분모의 $\sqrt{2}$ 를 청소 — 8학년 "무리수" 처리 기법.

[1] #1 5.G.A.2 정사각형 그리기 — $A$ 좌하, $B$ 우하, $C$ 우상, $D$ 좌상. $P$ 를 $AB$ 위에 두면 $AP = s$, 따라서 $PB =

[2] #7 7.G.B.5 $\triangle BPQ$ 는 $B$ 에서 직각(정사각형 꼭짓점)이고 두 다리가 모두 $1-s$ 로 같으므로 이등변 직각삼각형. 그 빗변 $P

[3] #13 8.G.B.7 $\triangle BPQ$ 에 피타고라스 정리 — 빗변의 제곱 = 두 다리 제곱의 합.

[4] #13 8.EE.C.7 풀이. 양변이 양수($0 < s < 1$ 이라 $1 - s > 0$)이므로 양의 제곱근: $s = \sqrt{2}\,(1 - s)$. 전개하고

[5] #13 8.NS.A.1 분모 유리화 — 분자·분모에 켤레 $\sqrt{2} - 1$ 을 곱하면 분모가 $(\sqrt{2})^2 - 1^2 = 1$.

검토

합리성 확인: 수치 점검. $s = 2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.414 = 0.586$ — $P$ 가 $AB$ 안쪽이어야 하니 $0$ 과 $1$ 사이여야 하고, 들어맞음. 모서리 삼각형 교차 확인: 다리 $1 - s \approx 0.414$, 빗변 $\sqrt{2}(1-s) \approx 1.414 \cdot 0.414 \approx 0.586$ — $s$ 와 일치. 경쟁하던 다른 근 $2 + \sqrt{2} \approx 3.414$ 는 $1$ 을 넘어 탈락.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) + 소수 어림: (A) $\sqrt{2}/3 \approx 0.471$, (B) $0.5$, (C) $0.586$, (D) $1 - \sqrt{2}/4 \approx 0.646$, (E) $0.667$. 각 후보를 $s = \sqrt{2}(1-s)$ 에 대입 — 즉 $s(1+\sqrt{2}) = \sqrt{2}$ 검사. (C) 대입: $0.586 \cdot 2.414 \approx 1.414 = \sqrt{2}$ — 일치. 나머지는 모두 불일치.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.G.A.2 실생활·수학 문제를 좌표 위에 점으로 나타내기 (단위 정사각형의 네 꼭짓점에 이름을 붙이고 네 점 $P, Q, R, S$ 를 변 위에 배치해 모서리 삼각형을 드러내는 데 사용.)
7.G.B.5 보각·여각·맞꼭지각 등 각의 성질 활용 (정사각형 꼭짓점이 $B$ 에서 직각을 만들고 두 다리가 강제로 같아져 $\triangle BPQ$ 가 이등변 직각삼각형이 됨을 인식하는 데 사용.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 미지 변 길이 구하기 (다리 $1-s$, 빗변 $s$ 인 $\triangle BPQ$ 를 식 $s^2 = 2(1-s)^2$ 로 옮기는 데 사용.)
8.EE.C.7 일차 방정식 풀기 ($s = \sqrt{2}(1-s)$ 를 $s(1+\sqrt{2}) = \sqrt{2}$ 로 정리해 $s$ 를 분리하는 데 사용.)
8.NS.A.1 무리수가 무엇인지 알기 (켤레 $\sqrt{2} - 1$ 로 $\dfrac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$ 를 유리화해 닫힌형 $2 - \sqrt{2}$ 를 얻는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 피타고라스 정리만 알면 풀 수 있어요 — 잘린 모서리 삼각형의 두 다리가 $1-s$, 빗변이 $s$ 이므로 $s = 2 - \sqrt{2}$ 가 떨어집니다.