AMC 10 · 2022 · #7
학년 6 number-theory문제
The least common multiple of a positive integer n and 18 is 180, and the greatest common divisor of n and 45 is 15. What is the sum of the digits of n?
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AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 양의 정수 $n$ 이 두 조건을 만족합니다 — $n$ 과 $18$ 의 최소공배수가 $180$, $n$ 과 $45$ 의 최대공약수가 $15$. $n$ 을 구하고 그 자릿수의 합을 구하세요.
주어진 것: $\operatorname{lcm}(n, 18) = 180$; $\gcd(n, 45) = 15$; $n$ 은 양의 정수; 자릿수 합의 선택지: (A) $3$, (B) $6$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $12$
구하는 것: $n$ 의 값; $n$ 의 자릿수 합
이해
문제 재정리: 양의 정수 $n$ 이 두 조건을 만족합니다 — $n$ 과 $18$ 의 최소공배수가 $180$, $n$ 과 $45$ 의 최대공약수가 $15$. $n$ 을 구하고 그 자릿수의 합을 구하세요.
주어진 것: $\operatorname{lcm}(n, 18) = 180$; $\gcd(n, 45) = 15$; $n$ 은 양의 정수; 자릿수 합의 선택지: (A) $3$, (B) $6$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $12$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #3 가능성 지우기
두 조건이 각각 $n$ 의 후보를 짧은 목록으로 좁혀줍니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) — 최대공약수 조건에서 $15 \mid n$ 이 나오므로 $180$ 이하 $15$ 의 배수를 순서대로 적어두면 그게 후보 전체. 도구 #3(가능성 지우기) — 각 후보를 두 원래 조건에 통과시켜 살아남는 하나를 골라냅니다. 참고 풀이의 소인수 지수 대수($\max, \min$) 없이도 엄밀하고, 왜 정확히 하나의 $n$ 만 가능한지 학생이 직접 봅니다.
실행 — 정답: B
4.OA.B.4 단계 1 - $\gcd(n, 45) = 15$ 에서 $15$ 가 $n$ 을 나눈다 (공약수가 $15$ 가 되려면 둘 다 $15$ 의 배수여야 함).
- 또한 $\operatorname{lcm}$ 조건에서 $n \mid 180$, 즉 $n \le 180$.
- $180$ 이하 $15$ 의 배수를 나열합니다.
💡 $15$ 의 배수를 빠짐없이 적으면 후보가 한 곳도 빠지지 않습니다.
4.OA.B.4 단계 2 - 먼저 최소공배수 조건 $\operatorname{lcm}(n, 18) = 180$ 적용.
- $\operatorname{lcm}$ 이 $180$ 이려면 $n$ 자체가 $180$ 의 약수여야 합니다.
- 목록에서 $180$ 의 약수만 남기면 $\{15, 30, 45, 60, 90, 180\}$.
- $75, 105, 120, 135, 150, 165$ 는 탈락.
💡 어떤 수와의 $\operatorname{lcm}$ 이 $180$ 이라면 그 수도 $180$ 의 약수일 수밖에 없습니다.
6.NS.B.4 단계 3 - 남은 후보마다 $\operatorname{lcm}(n, 18)$ 을 직접 계산.
- $\operatorname{lcm}(15,18)=90$ ✗, $\operatorname{lcm}(30,18)=90$ ✗, $\operatorname{lcm}(45,18)=90$ ✗, $\operatorname{lcm}(60,18)=180$ ✓, $\operatorname{lcm}(90,18)=90$ ✗, $\operatorname{lcm}(180,18)=180$ ✓.
- 두 개 통과: $n \in \{60, 180\}$.
💡 후보가 줄어들면 작은 수 몇 개의 $\operatorname{lcm}$ 만 계산하면 됩니다.
6.NS.B.4 단계 4 - 이제 최대공약수 조건 $\gcd(n, 45) = 15$ 적용.
- $\gcd(60, 45) = 15$ ✓ ($60 = 4 \cdot 15, 45 = 3 \cdot 15$, 공통 인수가 정확히 $15$).
- $\gcd(180, 45) = 45$ ✗ ($45 \mid 180$ 이므로).
- 통과는 $n = 60$ 만.
💡 $45$ 가 $n$ 을 이미 나누면 $\gcd$ 가 $45$ — 그러므로 $n$ 은 $15$ 의 배수지만 $45$ 의 배수는 아니어야 함.
2.NBT.A.1 단계 5 - $n = 60$.
- $60$ 의 자릿수는 $6$ 과 $0$.
- 합은 $6 + 0 = 6$, 즉 (B).
💡 자릿수를 읽어 더하는 — 2학년 자릿값 그대로.
4.OA.B.4 $\gcd(n, 45) = 15$ 에서 $15$ 가 $n$ 을 나눈다 (공약수가 $15$ 가 되려면 둘 다 $15$ 의 배수여야 함). 또한 $ 4.OA.B.4 먼저 최소공배수 조건 $\operatorname{lcm}(n, 18) = 180$ 적용. $\operatorname{lcm}$ 이 $180$ 이 6.NS.B.4 남은 후보마다 $\operatorname{lcm}(n, 18)$ 을 직접 계산. $\operatorname{lcm}(15,18)=90$ ✗, $ 6.NS.B.4 이제 최대공약수 조건 $\gcd(n, 45) = 15$ 적용. $\gcd(60, 45) = 15$ ✓ ($60 = 4 \cdot 15, 45 = 2.NBT.A.1 $n = 60$. $60$ 의 자릿수는 $6$ 과 $0$. 합은 $6 + 0 = 6$, 즉 (B). 검토
합리성 확인: $n=60$ 을 두 원래 조건에 직접 확인 — $\operatorname{lcm}(60,18) = 180$ ✓, $\gcd(60,45) = 15$ ✓. 자릿수 합 $6+0=6$ 은 (B) 와 일치. 다른 보기 $3, 8, 9, 12$ 는 각각 자릿수 합이 그런 다른 $n$ 들 (예: $30, 35, 45, 39$ 등) 에 해당하지만, 그것들 중 어느 것도 두 원래 조건을 동시에 만족하지 못함 (예: $30$ 은 $\operatorname{lcm}(30,18)=90$ 으로 첫 조건 불통).
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) — 소인수분해 사용. $n = 2^a 3^b 5^c$ ($18, 45, 180, 15$ 에 나타나는 소수만). 최소공배수 조건 $\operatorname{lcm}(n,18)=180=2^2 3^2 5$ 에서 $\max(a,1)=2$, $\max(b,2)=2$, $\max(c,0)=1$, 즉 $a=2, b\le 2, c=1$. 최대공약수 조건 $\gcd(n,45)=15=3\cdot 5$ 에서 $\min(b,2)=1$, 즉 $b=1$. 따라서 $n=2^2\cdot 3\cdot 5 = 60$. 답은 같지만, $\max/\min$ 지수 규칙을 아직 익히지 않은 학생에게는 나열 경로가 더 친절합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.OA.B.4약수쌍을 모두 찾고 배수 인식하기; 소수·합성수 판단 ($180$ 이하 $15$ 의 배수 나열, $180$ 의 약수 가려내기.)6.NS.B.4두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 (각 후보에 대해 $\operatorname{lcm}(n,18)$ 과 $\gcd(n,45)$ 를 계산해 $n=60$ 으로 좁히는 데 사용.)2.NBT.A.1세 자리 수의 자릿값 (백·십·일) 이해하기 ($n=60$ 에서 자릿수 $6, 0$ 을 읽고 더하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 최소공배수·최대공약수만 알면 풀 수 있어요 — $15$ 의 배수를 적고, $180$ 의 약수만 남기고, $\operatorname{lcm}=180$ 과 $\gcd=15$ 를 둘 다 만족하는 $n=60$ 을 찾으면 자릿수 합은 $6$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 최소공배수·최대공약수만 알면 풀 수 있어요 — $15$ 의 배수를 적고, $180$ 의 약수만 남기고, $\operatorname{lcm}=180$ 과 $\gcd=15$ 를 둘 다 만족하는 $n=60$ 을 찾으면 자릿수 합은 $6$.