AMC 10 · 2022 · #8
학년 6 arithmetic문제
A data set consists of 6 (not distinct) positive integers: 1, 7, 5, 2, 5, and X. The average (arithmetic mean) of the 6 numbers equals a value in the data set. What is the sum of all positive values of X?
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AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 여섯 개의 양의 정수 자료 $\{1, 7, 5, 2, 5, X\}$ 의 평균이 자료에 이미 들어 있는 값과 같아야 합니다. 가능한 양의 정수 $X$ 를 모두 찾아 그 합을 구하세요.
주어진 것: 고정된 다섯 값: $1, 7, 5, 2, 5$; 여섯 번째 값: 양의 정수 $X$; 평균이 자료에 있는 값 — 즉 $\{1, 2, 5, 7, X\}$ 중 하나와 같음; 선택지: (A) $10$, (B) $26$, (C) $32$, (D) $36$, (E) $40$
구하는 것: 가능한 $X$ 값 전부; 그 값들의 합
이해
문제 재정리: 여섯 개의 양의 정수 자료 $\{1, 7, 5, 2, 5, X\}$ 의 평균이 자료에 이미 들어 있는 값과 같아야 합니다. 가능한 양의 정수 $X$ 를 모두 찾아 그 합을 구하세요.
주어진 것: 고정된 다섯 값: $1, 7, 5, 2, 5$; 여섯 번째 값: 양의 정수 $X$; 평균이 자료에 있는 값 — 즉 $\{1, 2, 5, 7, X\}$ 중 하나와 같음; 선택지: (A) $10$, (B) $26$, (C) $32$, (D) $36$, (E) $40$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #11 거꾸로 풀기
"평균이 자료에 있는 값" 이라는 조건이 후보를 다섯 가지로 좁혀줍니다 — 평균이 $1, 2, 5, 7$, 또는 $X$. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 차례대로 모든 경우를 점검하면 누락 없음. 각 경우 안에서 도구 #11(거꾸로 풀기) — 평균을 알고 있으니 평균 공식을 역으로 돌려 $X$ 를 복구. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 검산 — 구한 $X$ 를 다시 자료에 넣어 평균이 정말 자료에 있는 값인지 확인.
실행 — 정답: D
6.SP.B.5 단계 1 - 다섯 고정값의 합부터 — $1+7+5+2+5=20$.
- 전체 평균은 $\dfrac{20+X}{6}$.
💡 산술 평균 = 전체 합 ÷ 개수 — 6학년 통계 정의 그대로.
6.SP.A.3 단계 2 - 자료 안의 서로 다른 값은 $\{1, 2, 5, 7\}$ 와 미지수 $X$.
- 모두 다섯 경우를 순서대로 — 평균이 $1, 2, 5, 7, X$.
💡 경우를 순서대로 나열하면 빠뜨림도 중복도 없음.
6.EE.B.7 단계 3 - 평균=$1$ 경우: $\frac{20+X}{6}=1 \Rightarrow X=-14$.
- 평균=$2$ 경우: $X=-8$.
- 둘 다 양수가 아니므로 버림.
- 다섯 고정값 합이 이미 $20$ 이라 양의 $X$ 로는 평균이 $1$ 이나 $2$ 까지 내려갈 수 없습니다.
💡 평균 공식을 거꾸로 — $X = 6 \cdot \text{평균} - 20$. 결과가 양의 정수가 아니면 탈락.
6.EE.B.7 단계 4 - 평균=$5$ 경우: $X=10$.
- 양의 정수 — 채택.
- 검산 — $\{1,7,5,2,5,10\}$, 합 $30$, 평균 $5$, 자료에 $5$ 있음 ✓.
💡 $X=10$ 을 다시 넣어 평균이 정말 $5$ 인지 확인.
6.EE.B.7 단계 5 - 평균=$7$ 경우: $X=22$.
- 양의 정수 — 채택.
- 검산 — $\{1,7,5,2,5,22\}$, 합 $42$, 평균 $7$, 자료에 $7$ 있음 ✓.
💡 같은 역방향 풀이 — 평균이 $X$ 를 유일하게 결정.
6.EE.B.7 단계 6 - 평균=$X$ 경우: $\frac{20+X}{6}=X \Rightarrow 20+X=6X \Rightarrow 5X=20 \Rightarrow X=4$.
- 양의 정수 — 채택.
- 검산 — $\{1,7,5,2,5,4\}$, 합 $24$, 평균 $4$, 그리고 $X=4$ 가 자료에 있는 값이므로 ✓.
💡 평균을 $X$ 자신으로 두는 자기참조 — 한 단계 일차방정식.
4.NBT.B.4 단계 7 - 통과한 양의 정수: $X \in \{4, 10, 22\}$.
- 합은 $4 + 10 + 22 = 36$, 즉 (D).
💡 두 자리 수 세 개의 합 — 4학년 덧셈.
6.SP.B.5 다섯 고정값의 합부터 — $1+7+5+2+5=20$. 전체 평균은 $\dfrac{20+X}{6}$. 6.SP.A.3 자료 안의 서로 다른 값은 $\{1, 2, 5, 7\}$ 와 미지수 $X$. 모두 다섯 경우를 순서대로 — 평균이 $1, 2, 5, 7, X$. 6.EE.B.7 평균=$1$ 경우: $\frac{20+X}{6}=1 \Rightarrow X=-14$. 평균=$2$ 경우: $X=-8$. 둘 다 양수가 아니므로 6.EE.B.7 평균=$5$ 경우: $X=10$. 양의 정수 — 채택. 검산 — $\{1,7,5,2,5,10\}$, 합 $30$, 평균 $5$, 자료에 $5$ 6.EE.B.7 평균=$7$ 경우: $X=22$. 양의 정수 — 채택. 검산 — $\{1,7,5,2,5,22\}$, 합 $42$, 평균 $7$, 자료에 $7$ 6.EE.B.7 평균=$X$ 경우: $\frac{20+X}{6}=X \Rightarrow 20+X=6X \Rightarrow 5X=20 \Rightarrow X 4.NBT.B.4 통과한 양의 정수: $X \in \{4, 10, 22\}$. 합은 $4 + 10 + 22 = 36$, 즉 (D). 검토
합리성 확인: 통과한 $X$ 마다 여섯 원소 자료의 평균을 다시 계산해 $\{1,2,5,7,X\}$ 안에 있는지 직접 확인. 평균=$1$, 평균=$2$ 경우는 다섯 고정값 합이 이미 $20$ 이라 $X$ 가 음수로 떨어져 정당하게 탈락. 합 $36$ 은 (D) 와 일치. 근처 보기 $32$ 나 $40$ 은 $\{4, 22\}$ 중 하나를 빠뜨리거나 잘못된 경우를 더한 결과에 해당.
대안 접근: 도구 #6(순수 추측·확인)으로 보기 자체를 시험할 수도 있지만 완전성 보장이 약함 — 경우 분석을 거치지 않으면 모든 $X$ 를 찾았다는 증명이 없음. 나열 경로(도구 #2)는 가능한 $X$ 가 빠짐없이 세 개임을 보입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.SP.B.5관측 수와 중심·산포 측도로 자료 요약하기 (여섯 원소 자료의 산술 평균을 $\frac{20+X}{6}$ 로 표현.)6.SP.A.3중심 측도는 자료 전체를 한 수로 요약함을 이해하기 (평균이 될 수 있는 후보를 $\{1, 2, 5, 7, X\}$ 로 한정.)6.EE.B.7$px = q$ 꼴 방정식으로 실생활 문제 풀기 ($\frac{20+X}{6} = \text{값}$ 을 풀어 각 경우에서 $X$ 를 구하는 데 사용 (자기참조 평균=$X$ 경우 포함).)4.NBT.B.4여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈 능숙히 하기 (남은 값들의 합 $4 + 10 + 22 = 36$ 계산.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 평균과 일차방정식만 알면 풀 수 있어요 — 평균을 $\frac{20+X}{6}$ 로 쓰고, 자료에 있는 값마다 평균이 그 값과 같다고 두어 $X$ 를 거꾸로 구한 다음, 양의 정수만 남겨 $4+10+22=36$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 평균과 일차방정식만 알면 풀 수 있어요 — 평균을 $\frac{20+X}{6}$ 로 쓰고, 자료에 있는 값마다 평균이 그 값과 같다고 두어 $X$ 를 거꾸로 구한 다음, 양의 정수만 남겨 $4+10+22=36$.
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