AMC 10 · 2022 · #1

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

absolute-valueorder-of-operationsfunction-evaluation identify-subproblems ↑ 선수 지식: order-of-operationsabsolute-value

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

Define $x\diamond y$ to be $|x-y|$ for all real numbers $x$ and $y.$ What is the value of $(1\diamond(2\diamond3))-((1\diamond2)\diamond3)?$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

${-}2$

(B)

${-}1$

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 새로운 기호가 정의됩니다: $x \diamond y = |x - y|$ — 두 수 사이의 거리. $\bigl(1 \diamond (2 \diamond 3)\bigr) - \bigl((1 \diamond 2) \diamond 3\bigr)$ 의 값을 구합니다. 괄호가 각 변에서 어느 쌍을 먼저 계산할지 알려줍니다.

주어진 것: 모든 실수 $x, y$ 에 대해 $x \diamond y = |x - y|$; 왼쪽: $1 \diamond (2 \diamond 3)$ — 안쪽 $(2, 3)$ 을 먼저; 오른쪽: $(1 \diamond 2) \diamond 3$ — 안쪽 $(1, 2)$ 를 먼저; 선택지: (A) $-2$, (B) $-1$, (C) $0$, (D) $1$, (E) $2$

구하는 것: $\bigl(1 \diamond (2 \diamond 3)\bigr) - \bigl((1 \diamond 2) \diamond 3\bigr)$ 의 값

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기

식이 마이너스를 가운데 두고 두 덩어리로 나뉘어 있고, 각 덩어리에는 먼저 풀어야 할 안쪽 $\diamond$ 가 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 말합니다 — 왼쪽 따로, 오른쪽 따로 계산한 뒤 빼기. 연산 순서와 절댓값 정의만으로 충분하고 대수는 필요 없습니다. 객관식 안전망으로 도구 #3(가능성 지우기)을 두면, 수치가 나오는 즉시 해당 선택지를 골라낼 수 있습니다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.7 단계 1

왼쪽의 안쪽 $\diamond$ 부터: $2 \diamond 3 = |2 - 3| = |-1| = 1$.

$$2 \diamond 3 = |2 - 3| = 1$$

💡 절댓값은 두 수 사이의 거리일 뿐 — 6학년 "순서와 절댓값" 그대로.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.A.1 단계 2

왼쪽 마무리: $1 \diamond (2 \diamond 3) = 1 \diamond 1 = |1 - 1| = 0$.

$$1 \diamond 1 = |1 - 1| = 0$$

💡 안쪽 결과를 다시 넣고 계산 — 5학년 "괄호 있는 식의 계산".

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.7 단계 3

오른쪽의 안쪽 $\diamond$: $1 \diamond 2 = |1 - 2| = |-1| = 1$.

$$1 \diamond 2 = |1 - 2| = 1$$

💡 $1$ 과 $2$ 사이의 거리는 $1$.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.A.1 단계 4

오른쪽 마무리: $(1 \diamond 2) \diamond 3 = 1 \diamond 3 = |1 - 3| = 2$.

$$1 \diamond 3 = |1 - 3| = 2$$

💡 안쪽 결과를 넣고 바깥 $\diamond$ 를 마지막에 — 괄호가 그렇게 시킵니다.

#3 가능성 지우기 6.NS.C.5 단계 5

두 덩어리를 빼기: 왼쪽 $-$ 오른쪽 $= 0 - 2 = -2$.
선택지 (A) 와 일치.

$$0 - 2 = -2 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 $0$ 에서 $2$ 만큼 내려가면 $-2$ — 6학년 "양수와 음수".

[1] #7 6.NS.C.7 왼쪽의 안쪽 $\diamond$ 부터: $2 \diamond 3 = |2 - 3| = |-1| = 1$.

[2] #7 5.OA.A.1 왼쪽 마무리: $1 \diamond (2 \diamond 3) = 1 \diamond 1 = |1 - 1| = 0$.

[3] #7 6.NS.C.7 오른쪽의 안쪽 $\diamond$: $1 \diamond 2 = |1 - 2| = |-1| = 1$.

[4] #7 5.OA.A.1 오른쪽 마무리: $(1 \diamond 2) \diamond 3 = 1 \diamond 3 = |1 - 3| = 2$.

[5] #3 6.NS.C.5 두 덩어리를 빼기: 왼쪽 $-$ 오른쪽 $= 0 - 2 = -2$. 선택지 (A) 와 일치.

검토

합리성 확인: 두 덩어리의 크기를 점검합니다. 왼쪽은 $1 \diamond 1$ 으로 끝나는데, 같은 수끼리 $\diamond$ 하면 항상 $0$ — 가능한 가장 작은 값. 오른쪽은 $1 \diamond 3$ 으로 끝나고, 두 수가 $2$ 만큼 떨어져 있으니 값은 $2$. 작은 수에서 큰 수를 빼면 음수가 나오므로 $0 - 2 = -2$ 의 부호와 크기가 선택지 (A) 와 자연스럽게 맞습니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기)로 수직선에 $1, 2, 3$ 을 표시. 왼쪽은 "$1$ 에서 ($2$ 와 $3$ 사이 거리)까지의 거리" $= |1 - 1| = 0$. 오른쪽은 "($1$ 과 $2$ 사이 거리)에서 $3$ 까지의 거리" $= |1 - 3| = 2$. 빼면 $-2$. 같은 답이지만 더 시각적.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.OA.A.1 괄호가 있는 수식 만들고 계산하기 (각 변에서 안쪽 $\diamond$ 를 먼저 계산하도록 알려주는 괄호 규칙을 따르는 데 사용.)
6.NS.C.5 양수와 음수가 양을 나타냄을 이해 (최종 결과 $0 - 2$ 를 음수 $-2$ 로 읽는 데 사용.)
6.NS.C.7 유리수의 순서와 절댓값 이해 (각 $\diamond$ 를 $|x - y|$, 즉 두 수 사이의 거리로 계산하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "절댓값은 두 수 사이의 거리" 만 알면 풀 수 있어요 — 괄호만 잘 읽으면 두 덩어리가 각각 $0$ 과 $2$ 가 되어 차가 $-2$ 로 떨어집니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

비슷한 유형 더 풀어보기