AMC 10 · 2022 · #10
학년 6 arithmetic문제
Camila writes down five positive integers. The unique mode of these integers is 2 greater than their median, and the median is 2 greater than their arithmetic mean. What is the least possible value for the mode?
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AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 카밀라가 양의 정수 다섯 개를 적었습니다. 이 다섯 수의 유일한 최빈값은 중앙값보다 $2$ 크고, 중앙값은 평균보다 $2$ 큽니다. 최빈값의 최솟값은?
주어진 것: 양의 정수 다섯 개 (중복 가능); 유일한 최빈값 — 어떤 값보다도 더 자주 등장하는 값 하나; 최빈값 = 중앙값 $+ 2$; 중앙값 = 평균 $+ 2$; 선택지: (A) $5$, (B) $7$, (C) $9$, (D) $11$, (E) $13$
구하는 것: 최빈값의 최솟값
이해
문제 재정리: 카밀라가 양의 정수 다섯 개를 적었습니다. 이 다섯 수의 유일한 최빈값은 중앙값보다 $2$ 크고, 중앙값은 평균보다 $2$ 큽니다. 최빈값의 최솟값은?
주어진 것: 양의 정수 다섯 개 (중복 가능); 유일한 최빈값 — 어떤 값보다도 더 자주 등장하는 값 하나; 최빈값 = 중앙값 $+ 2$; 중앙값 = 평균 $+ 2$; 선택지: (A) $5$, (B) $7$, (C) $9$, (D) $11$, (E) $13$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #6 추측하고 확인하기
세 통계량(최빈·중앙·평균)이 한꺼번에 얽힘. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 — '정렬한 리스트는 어떻게 생겼나?', '평균 조건은 어떤 식을 주나?', '미지수를 얼마나 작게 만들 수 있나?' 셋으로 분리. 도구 #13(대수)으로 — 모양이 정해지면 $M$ 에 대한 한 변수 방정식. 도구 #6(추측·확인)으로 — 가장 작은 합법적 $x_1, x_2$ 부터 시도, 짝홀이 안 맞으면 올림. 무거운 부등식 분석 대신 양의 정수에서 작은 방향성 추측으로 바닥값을 찾음.
실행 — 정답: D
6.SP.B.5 단계 1 - 다섯 정수를 정렬 — $x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le x_5$.
- 중앙값은 세 번째 값 $x_3$.
- 이를 $M$ 이라 하면 최빈값은 $M + 2$.
💡 정렬한 다섯 수의 중앙값은 가운데 — 6학년 통계.
6.SP.A.3 단계 2 - $M + 2$ 가 정렬된 리스트 어디에 들어가는지.
- 중앙값 $M$ 보다 크므로 $x_4$ 또는 $x_5$.
- 최빈값은 적어도 두 번 등장해야 하는데 $M$ 보다 큰 자리는 위 두 자리뿐 — 따라서 $x_4 = x_5 = M + 2$ 로 강제.
- 최빈값이 *유일*하려면 다른 값은 두 번 이상 나오면 안 됨 — $x_1, x_2, x_3 = M$ 모두 서로 다름: $x_1 < x_2 < M$.
💡 최빈값은 위쪽 두 자리에 두 번, 아래 셋은 모두 달라야 최빈값이 유일.
6.EE.B.7 단계 3 - 두 번째 조건 사용 — 중앙값 = 평균 $+ 2$, 즉 $M = \text{평균} + 2$.
- 합은 $x_1 + x_2 + M + (M+2) + (M+2) = x_1 + x_2 + 3M + 4$, 평균은 $\frac{x_1 + x_2 + 3M + 4}{5}$.
- 그러면 $M = \frac{x_1 + x_2 + 3M + 4}{5} + 2$, 즉 $5M = x_1 + x_2 + 3M + 14$, 정리하면 $2M = x_1 + x_2 + 14$.
💡 평균 조건을 $M, x_1, x_2$ 의 깔끔한 일차식으로 변환.
6.EE.B.5 단계 4 - 최빈값 $M + 2$ 를 최소화하려면 $M$ 을 최소화.
- $2M = x_1 + x_2 + 14$ 에서 $x_1 + x_2$ 가 작을수록 $M$ 도 작음.
- 좌변 $2M$ 은 짝수, $14$ 도 짝수이므로 $x_1 + x_2$ 도 짝수 — 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수.
💡 양변의 짝홀이 $x_1 + x_2$ 가 짝수여야 함을 강제.
5.NBT.B.5 단계 5 - 짝수 합을 갖는 가장 작은 서로 다른 양의 정수 시도.
- $x_1 = 1$ (최소).
- $x_2$ 는 합이 짝수이려면 홀수여야 하고 $> 1$ — 가장 작은 후보 $x_2 = 3$.
- 합 $= 1 + 3 = 4$.
- $2M = 4 + 14 = 18$, $M = 9$.
- $x_2 < M$ 확인 — $3 < 9$ ✓.
💡 짝수 합을 만드는 가장 작은 $x_1, x_2$ 가 $M$ 도 최소로 — 양의 정수에서 추측·확인.
6.SP.B.5 단계 6 - 다섯 수 집합 $\{1, 3, 9, 11, 11\}$ 검산.
- 합 $1 + 3 + 9 + 11 + 11 = 35$, 평균 $= 35/5 = 7$.
- 중앙값 $= 9$.
- 최빈값 $= 11$ (두 번 등장, 유일).
- 조건 — 최빈 $-$ 중앙 $= 11 - 9 = 2$ ✓, 중앙 $-$ 평균 $= 9 - 7 = 2$ ✓.
💡 세 조건 모두 성립 — 구성이 유효.
4.NBT.B.4 단계 7 - 최빈값의 최솟값 $= M + 2 = 9 + 2 = 11$.
- 답 (D).
💡 중앙값 최솟값에 $2$ 를 더하면 최빈값 최솟값.
6.SP.B.5 다섯 정수를 정렬 — $x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le x_5$. 중앙값은 세 번째 값 $x_3$. 이를 $M$ 이라 6.SP.A.3 $M + 2$ 가 정렬된 리스트 어디에 들어가는지. 중앙값 $M$ 보다 크므로 $x_4$ 또는 $x_5$. 최빈값은 적어도 두 번 등장해야 하는 6.EE.B.7 두 번째 조건 사용 — 중앙값 = 평균 $+ 2$, 즉 $M = \text{평균} + 2$. 합은 $x_1 + x_2 + M + (M+2) + 6.EE.B.5 최빈값 $M + 2$ 를 최소화하려면 $M$ 을 최소화. $2M = x_1 + x_2 + 14$ 에서 $x_1 + x_2$ 가 작을수록 $M$ 5.NBT.B.5 짝수 합을 갖는 가장 작은 서로 다른 양의 정수 시도. $x_1 = 1$ (최소). $x_2$ 는 합이 짝수이려면 홀수여야 하고 $> 1$ — 6.SP.B.5 다섯 수 집합 $\{1, 3, 9, 11, 11\}$ 검산. 합 $1 + 3 + 9 + 11 + 11 = 35$, 평균 $= 35/5 = 7$. 4.NBT.B.4 최빈값의 최솟값 $= M + 2 = 9 + 2 = 11$. 답 (D). 검토
합리성 확인: 더 작은 최빈값이 가능한지 시험. 최빈값 $= 9$ — $M = 7$, $2M = 14$, $x_1 + x_2 = 0$ — 양의 정수 불가능. 최빈값 $= 7$ — $M = 5$, $x_1 + x_2 = -4$ 불가능. 최빈값 $= 5$ — $M = 3$, $x_1 + x_2 = -8$ 불가능. (A), (B), (C) 모두 탈락. (E) $13$ 은 $M = 11, x_1 + x_2 = 8$ 로 가능은 하지만 최솟값이 아님. 최빈값 최솟값은 $11$ 로 (D) 와 일치.
대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열) — 후보 최빈값 $5, 7, 9, 11, 13$ 각각에 대해 거꾸로 $M = \text{최빈} - 2$, $x_1 + x_2 = 2M - 14$ 로 검토. 양의 서로 다른 $x_1 < x_2 < M$ 이 성립하는 첫 후보가 정답 — 같은 (D).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.SP.B.5관측 수와 중심·산포 측도로 자료 요약하기 (다섯 수의 평균 계산, 정렬된 가운데 값으로 중앙값 읽기.)6.SP.A.3중심 측도는 자료 전체를 한 수로 요약함을 이해하기 (유일 최빈 조건으로 $x_4 = x_5 = M + 2$, $x_1 < x_2 < M$ 강제.)6.EE.B.7$px = q$ 꼴 방정식으로 실생활 문제 풀기 (평균 조건을 $2M = x_1 + x_2 + 14$ 방정식으로 정리.)6.EE.B.5방정식·부등식 풀이를 값 찾는 과정으로 이해하기 (양변 짝홀을 이용해 $x_1 + x_2$ 가 짝수임을 끌어냄.)5.NBT.B.5여러 자리 자연수 곱셈 능숙히 하기 ($x_1 + x_2 = 4$ 에서 $2M = 18$, $M = 9$ 계산.)4.NBT.B.4여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈 능숙히 하기 (최종 $M + 2 = 9 + 2 = 11$.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 평균·중앙값·최빈값과 일차방정식만 알면 풀 수 있어요 — 정렬 모양 $x_1, x_2, M, M+2, M+2$ 에서 $2M = x_1 + x_2 + 14$, 짝수 합을 갖는 가장 작은 서로 다른 양의 정수 $1, 3$ 을 넣으면 $M = 9$, 최빈값 $M + 2 = 11$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 평균·중앙값·최빈값과 일차방정식만 알면 풀 수 있어요 — 정렬 모양 $x_1, x_2, M, M+2, M+2$ 에서 $2M = x_1 + x_2 + 14$, 짝수 합을 갖는 가장 작은 서로 다른 양의 정수 $1, 3$ 을 넣으면 $M = 9$, 최빈값 $M + 2 = 11$.
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