AMC 10 · 2022 · #11

학년 6 arithmetic

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📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

All the high schools in a large school district are involved in a fundraiser selling T-shirts. Which of the choices below is logically equivalent to the statement "No school bigger than Euclid HS sold more T-shirts than Euclid HS"?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

All schools smaller than Euclid HS sold fewer T-shirts than Euclid HS.

(B)

No school that sold more T-shirts than Euclid HS is bigger than Euclid HS.

(C)

All schools bigger than Euclid HS sold fewer T-shirts than Euclid HS.

(D)

All schools that sold fewer T-shirts than Euclid HS are smaller than Euclid HS.

(E)

All schools smaller than Euclid HS sold more T-shirts than Euclid HS.

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: "유클리드 고등학교보다 큰 학교 중에서 유클리드 고등학교보다 티셔츠를 더 많이 판 학교는 없다" 와 같은 뜻을 가진 문장을 고르는 문제입니다. 즉, 원문의 대우(contrapositive)를 찾는 일입니다.

주어진 것: 지역의 모든 고등학교가 티셔츠 모금에 참여함; 원문 규칙: "유클리드 고등학교보다 큰 학교 중 유클리드보다 더 많이 판 학교는 없다"; 다섯 개의 선택지가 크기와 판매량 관계를 다르게 표현

구하는 것: 선택지 (A)-(E) 중 원문과 논리적으로 같은 것 하나

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #15 다르게 정리하기, #1 그림 그리기

도구 #3(가능성 지우기)은 동치 문제에서 가장 빠른 객관식 전략 — 원문을 만족하는 상황을 만들어 거기에 어긋나는 선택지를 차례로 지웁니다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 원문을 "만약 ~ 라면 ~ 이다" 꼴로 다시 씁니다: "한 학교가 유클리드보다 크다면, 그 학교는 유클리드보다 더 많이 판 게 아니다." 이 꼴이면 대우가 곧바로 읽힙니다: "더 많이 판 학교라면, 유클리드보다 크지 않다" — 정확히 (B). 도구 #1(그림 그리기)로 "큰 학교" 집합과 "많이 판 학교" 집합을 박스 두 개로 그리면 어떤 선택지가 화살표를 옳게 뒤집는지 한눈에 보입니다.

실행 — 정답: B

#15 다르게 정리하기 5.G.B.3 단계 1

원문을 "만약 ~ 라면" 꼴로 다시 쓰기.
"유클리드보다 큰 학교 중 유클리드보다 더 많이 판 학교는 없다" 는 곧 "크다면 더 많이 판 것이 아니다" 와 같습니다.
만약 (학교가 유클리드보다 크다) 라면 (그 학교는 유클리드보다 더 많이 팔지 않았다).

$$B \Rightarrow \text{not } M$$

💡 5학년: 집합 규칙을 "만약 ~ 라면" 으로 다시 쓰면 "큰 학교 집합 모두가 안-많이 집합에 들어있다" 라는 말.

#15 다르게 정리하기 5.G.B.3 단계 2

대우로 뒤집기.
"만약 $B$ 라면 not $M$" 의 대우는 "만약 $M$ 이라면 not $B$".
두 부분을 모두 부정하고 순서를 바꿉니다.
대우는 항상 원문과 같은 뜻.

$$M \Rightarrow \text{not } B$$

💡 5학년 계층 논리: $B$ 가 모두 not-$M$ 안에 있다면, $M$ 도 모두 not-$B$ 안에 있어야 합니다 — 같은 규칙을 반대쪽에서 본 것.

#1 그림 그리기 5.G.B.3 단계 3

대우를 다시 한국어로: "한 학교가 유클리드보다 더 많이 팔았다면, 그 학교는 유클리드보다 크지 않다." 이는 곧 선택지 (B): "유클리드보다 더 많이 판 학교 중 유클리드보다 큰 학교는 없다."

$$\text{(B): } M \Rightarrow \text{not } B$$

💡 박스 두 개(큰 학교, 많이 판 학교)를 그리면 규칙은 "두 박스가 절대 겹치지 않는다" — (B) 가 그 말 그대로.

#3 가능성 지우기 5.G.B.3 단계 4

남은 선택지를 한 가지씩 지우기.
(A) 는 "작은" 학교를 다루지만 "크지 않다" 는 같은 크기까지 포함 — 다른 뜻.
(C) 는 큰 학교가 "더 적게" 판다 하지만 규칙은 같은 수도 허용 — 더 적게만이 아님.
(D) 는 크기와 판매를 뒤바꾼 역 — 동치 아님.
(E) 는 규칙과 반대.

$$\text{(A),(C),(D),(E) 모두 탈락}$$

💡 5학년: "같은 크기 학교가 있을 수 있나?" 같은 경계 상황으로 점검하면 네 개가 무너집니다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 5

작은 예로 확인.
유클리드가 100장을 팔았다고 합시다.
규칙은 큰 학교가 100장(타이) 또는 그 이하만 가능.
101장 판 학교는 반드시 같은 크기 이하여야 함.
(B) 가 이 상황과 정확히 일치하고, 나머지는 어긋남.

$$\text{큰 학교의 판매} \le 100 \;\checkmark$$

💡 6학년: 값 하나를 대입해 어떤 문장이 살아남는지 보면 — 오직 (B).

[1] #15 5.G.B.3 원문을 "만약 ~ 라면" 꼴로 다시 쓰기. "유클리드보다 큰 학교 중 유클리드보다 더 많이 판 학교는 없다" 는 곧 "크다면 더 많이 판 것이

[2] #15 5.G.B.3 대우로 뒤집기. "만약 $B$ 라면 not $M$" 의 대우는 "만약 $M$ 이라면 not $B$". 두 부분을 모두 부정하고 순서를 바꿉니다.

[3] #1 5.G.B.3 대우를 다시 한국어로: "한 학교가 유클리드보다 더 많이 팔았다면, 그 학교는 유클리드보다 크지 않다." 이는 곧 선택지 (B): "유클리드보다

[4] #3 5.G.B.3 남은 선택지를 한 가지씩 지우기. (A) 는 "작은" 학교를 다루지만 "크지 않다" 는 같은 크기까지 포함 — 다른 뜻. (C) 는 큰 학교가

[5] #3 6.EE.B.5 작은 예로 확인. 유클리드가 100장을 팔았다고 합시다. 규칙은 큰 학교가 100장(타이) 또는 그 이하만 가능. 101장 판 학교는 반드시 같

검토

합리성 확인: "$B \Rightarrow$ not $M$" 의 대우 "$M \Rightarrow$ not $B$" 는 "더 많이 판 학교는 유클리드보다 크지 않다" — 곧 (B). 경계 사례로 재확인: 유클리드와 같은 수를 판 학교는 "더 많이 판" 학교가 아니므로 규칙이 크기에 대해 아무 말도 안 함 — (B) 와 일치. 유클리드와 같은 크기 학교는 "더 크지" 않으므로 판매량은 자유 — (B) 도 침묵. 모든 가능한 상황에서 두 문장이 일치하므로 (B) 가 동치.

대안 접근: 도구 #4(격자 논리표): 행 {크다, 크지 않다} × 열 {많다, 많지 않다} 의 $2 \times 2$ 표. 원 규칙은 (크다, 많다) 칸을 금지. (B) 는 (많다, 크다) 칸을 금지 — 같은 칸을 이름만 바꿔 부른 것. 나머지 (A), (C), (D), (E) 는 다른 칸을 금지하므로 다른 뜻.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.G.B.3 한 범주에 속하는 속성은 그 모든 하위 범주에도 적용됨을 이해하기 (원문 규칙을 "큰 학교 집합이 안-많이 집합 안에 포함된다" 라는 범주 관계로 읽고 대우로 뒤집는 데 사용.)
6.EE.B.5 방정식·부등식 풀기를 "값 찾기" 과정으로 이해하기 (유클리드가 100장을 팔았다는 표본 상황에 다섯 선택지를 대입해 (B) 만 살아남음을 확인하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 범주 논리만 알면 풀 수 있어요! "크다면 더 많지 않다" 를 거울처럼 뒤집어 "많다면 크지 않다" 로 만들면 (B) 가 보이고, 짧은 예로 나머지 네 개를 지울 수 있어요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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