AMC 10 · 2023 · #10

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

mean-median-mode-rangelinear-equations-two-varsystems-of-equations convert-to-algebraguess-and-checkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangelinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Maureen is keeping track of the mean of her quiz scores this semester. If Maureen scores an $11$ on the next quiz, her mean will increase by $1$ . If she scores an $11$ on each of the next three quizzes, her mean will increase by $2$ . What is the mean of her quiz scores currently?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Maureen 은 지금까지 $n$ 번의 퀴즈를 봤고 현재 평균은 $M$ (총점은 $n \cdot M$). 다음 퀴즈에서 $11$ 점을 받으면 평균이 $M + 1$ 로, 다음 세 번의 퀴즈에서 각각 $11$ 점을 받으면 평균이 $M + 2$ 로 오릅니다. 현재 평균 $M$ 을 구하세요.

주어진 것: 현재 퀴즈 $n$ 번을 보고 평균 $M$, 현재 총점 $nM$; 한 번 더 $11$ 점이면 평균이 $M+1$ (퀴즈 $n+1$ 번, 총점 $nM + 11$); 세 번 더 각각 $11$ 점이면 평균이 $M+2$ (퀴즈 $n+3$ 번, 총점 $nM + 33$); 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $7$, (E) $8$

구하는 것: 현재 평균 $M$

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #13 대수로 바꾸기

선택지가 $4, 5, 6, 7, 8$ 다섯 개의 작은 자연수, 관계도 깔끔한 정수식이라 도구 #6(추측하고 확인하기)이 가장 빠른 길입니다. 각 후보 $M$ 에 대해 첫 단서로 $n$ 을 정하고, 둘째 단서가 성립하는지 확인하면 끝. 도구 #3(가능성 지우기)은 $n$ 이 양의 정수가 안 되면 곧장 후보를 떨어뜨립니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 검증을 맡습니다 — 두 단서를 식으로 세워 일차연립방정식을 풀어보면 같은 답이 나옴을 확인.

실행 — 정답: D

#13 대수로 바꾸기 6.SP.B.5 단계 1

첫 단서를 식으로 옮깁니다.
현재 총점은 $nM$, 한 번 더 $11$ 점을 받으면 새 총점은 $nM + 11$, 퀴즈 수는 $n + 1$, 새 평균은 $M + 1$.
양변을 전개하고 $nM$ 을 양쪽에서 지웁니다.

$$nM + 11 = (n+1)(M+1) = nM + n + M + 1 \;\Rightarrow\; n + M = 10$$

💡 평균의 정의 — 총합 ÷ 개수 — 가 첫 단서를 한 줄짜리 $n + M = 10$ 으로 바꿔줍니다. 6학년 "평균으로 자료를 요약" 사고.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.6 단계 2

이제 다섯 선택지를 차례로 훑습니다.
각 후보 $M$ 에 대해 첫 단서가 $n = 10 - M$ 을 줍니다.
$n$ 이 양의 정수이면 됩니다.

$$\begin{array}{c|c|c} M & n = 10-M & n \text{ 가능?} \\ \hline 4 & 6 & \checkmark \\ 5 & 5 & \checkmark \\ 6 & 4 & \checkmark \\ 7 & 3 & \checkmark \\ 8 & 2 & \checkmark \end{array}$$

💡 각 추측이 하나의 $M$ 을 잡고 첫 단서로 $n$ 을 읽어냅니다 — 6학년 "문자로 미지수 다루기" 한 번에 하나씩.

#6 추측하고 확인하기 6.SP.B.5 단계 3

둘째 단서를 점검합니다.
세 번 더 $11$ 점을 받으면 새 총점은 $nM + 33$, 퀴즈 수는 $n + 3$, 평균은 $M + 2$ 가 되어야 하므로 총점은 $(n+3)(M+2)$ 와 같아야 합니다.
각 $(M, n)$ 쌍에 대해 양변을 계산합니다.

$$\text{확인: } nM + 33 \stackrel{?}{=} (n+3)(M+2)$$

💡 같은 "평균 = 총점/개수" 정의를 "세 번 더" 시나리오에 적용 — 6학년 통계.

#6 추측하고 확인하기 3.OA.D.8 단계 4

각 후보로 좌변 $nM + 33$ 과 우변 $(n+3)(M+2)$ 를 비교.
$M = 7, n = 3$ 에서 좌변 $21 + 33 = 54$, 우변 $6 \cdot 9 = 54$ — 일치.
나머지는 모두 어긋남.

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} M & n & nM+33 & (n+3)(M+2) & \text{일치?} \\ \hline 4 & 6 & 57 & 9 \cdot 6 = 54 & \times \\ 5 & 5 & 58 & 8 \cdot 7 = 56 & \times \\ 6 & 4 & 57 & 7 \cdot 8 = 56 & \times \\ 7 & 3 & 54 & 6 \cdot 9 = 54 & \checkmark \\ 8 & 2 & 49 & 5 \cdot 10 = 50 & \times \end{array}$$

💡 다섯 작은 후보에 대한 대입 산수 — 머릿셈으로도 빠른 3학년 여러 단계 계산.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.6 단계 5

둘째 단서를 통과하는 후보는 $M = 7$ 뿐이고, $n = 3$.
선택지 (D) 와 일치.

$$M = 7 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 한 후보만 둘째 단서를 통과 — 나머지는 제거. 6학년 "모든 조건을 만족하는 값 찾기".

[1] #13 6.SP.B.5 첫 단서를 식으로 옮깁니다. 현재 총점은 $nM$, 한 번 더 $11$ 점을 받으면 새 총점은 $nM + 11$, 퀴즈 수는 $n + 1$, 새

[2] #6 6.EE.B.6 이제 다섯 선택지를 차례로 훑습니다. 각 후보 $M$ 에 대해 첫 단서가 $n = 10 - M$ 을 줍니다. $n$ 이 양의 정수이면 됩니다.

[3] #6 6.SP.B.5 둘째 단서를 점검합니다. 세 번 더 $11$ 점을 받으면 새 총점은 $nM + 33$, 퀴즈 수는 $n + 3$, 평균은 $M + 2$ 가 되어

[4] #6 3.OA.D.8 각 후보로 좌변 $nM + 33$ 과 우변 $(n+3)(M+2)$ 를 비교. $M = 7, n = 3$ 에서 좌변 $21 + 33 = 54$,

[5] #3 6.EE.B.6 둘째 단서를 통과하는 후보는 $M = 7$ 뿐이고, $n = 3$. 선택지 (D) 와 일치.

검토

합리성 확인: 당첨 숫자들로 직접 검증. Maureen 이 퀴즈 $3$ 번에 평균 $7$ 이면 총점은 $21$. 한 번 더 $11$ 점이면 총점 $32$, 퀴즈 $4$ 번, 평균 $\tfrac{32}{4} = 8 = 7 + 1$ ✓. 세 번 더 $11$ 점이면 총점 $21 + 33 = 54$, 퀴즈 $6$ 번, 평균 $\tfrac{54}{6} = 9 = 7 + 2$ ✓. 두 조건 모두 정확히 일치. 크기 점검: $M = 7$ 은 $11$ 보다 충분히 작아 추가 $11$ 점이 평균을 끌어올린다는 전제와 부합.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) 는 후보를 일일이 시험하지 않고 같은 답을 줍니다. 둘째 조건을 전개: $nM + 33 = (n+3)(M+2) = nM + 2n + 3M + 6$, 따라서 $2n + 3M = 27$. 첫 조건 $n + M = 10$ 과 함께 보면, $2 \cdot (n+M) = 20$ 을 $2n + 3M = 27$ 에서 빼서 $M = 7$, 그리고 $n = 3$. 가장 깔끔한 대수, 같은 답 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.B.5 수치 자료를 맥락 안에서 요약하기 (평균의 정의 (총합 ÷ 개수) 를 사용해 각 시나리오를 총합 = (새 개수) × (새 평균) 이라는 식으로 옮기는 데 사용.)
6.EE.B.6 문자로 수를 나타내고 식으로 문제 해결하기 ($n$ (지금까지의 퀴즈 수) 와 $M$ (현재 평균) 을 도입하고 첫 단서에서 $n = 10 - M$ 을 읽어 각 후보 $M$ 을 시험하는 데 사용.)
3.OA.D.8 두 단계 문장제를 사칙연산으로 해결하기 (각 후보에 대해 $nM + 33 \stackrel{?}{=} (n+3)(M+2)$ 를 직접 계산하는 — 작은 자연수의 여러 단계 산수.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 평균 개념만 알면 풀 수 있어요 — "총점 $=$ 퀴즈 수 × 평균" 한 줄이 각 단서를 식으로 바꿔주고, 다섯 선택지를 차례로 대입해 $M = 7$ 을 1분 안에 찾을 수 있습니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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