AMC 10 · 2023 · #11

학년 8 geometry-2d

pythagorean-theoremarea-rectanglessimilar-triangles convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-rectangles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

A square of area $2$ is inscribed in a square of area $3$ , creating four congruent triangles, as shown below. What is the ratio of the shorter leg to the longer leg in the shaded right triangle?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{5}$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$2-\sqrt{3}$

(D)

$\sqrt{3}-\sqrt{2}$

(E)

$\sqrt{2}-1$

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 넓이가 $3$ 인 정사각형 안에 넓이가 $2$ 인 정사각형이 비스듬히 끼워져 있고, 안쪽 정사각형의 꼭짓점은 바깥 정사각형의 각 변에 한 번씩 닿습니다. 그 결과 바깥 사각형의 네 모퉁이에서 합동인 직각삼각형이 잘려 나갑니다. 모서리에 생긴 직각삼각형의 짧은 변과 긴 변의 비를 구하세요.

주어진 것: 바깥 정사각형의 넓이는 $3$ 이므로 한 변의 길이는 $\sqrt{3}$; 안쪽(기울어진) 정사각형의 넓이는 $2$ 이므로 한 변의 길이는 $\sqrt{2}$; 바깥 사각형의 각 모서리는 빗변이 안쪽 사각형의 한 변인 직각삼각형 하나씩으로 잘려 나감; 네 모서리 직각삼각형은 서로 합동; 선택지: (A) $\tfrac15$, (B) $\tfrac14$, (C) $2-\sqrt3$, (D) $\sqrt3-\sqrt2$, (E) $\sqrt2-1$

구하는 것: 네 모서리 직각삼각형 중 하나에서 짧은 변/긴 변의 비

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

먼저 도구 #1(그림 그리기)로 모서리 삼각형 하나를 라벨링하면, 두 다리가 바깥 사각형의 한 변 위에 끝과 끝을 맞대고 누워 있으므로 두 다리의 합이 바깥 변 $\sqrt{3}$ 임이 그림에서 곧장 보입니다. 같은 그림에서 빗변이 안쪽 사각형의 한 변 $\sqrt{2}$ 임이 드러나므로 피타고라스 정리로 두 번째 식을 얻습니다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)이 짧은 변 $x$ 와 긴 변 $y$ 에 대한 두 방정식을 깔끔히 정리해 닫힌 형태의 비를 뽑아냅니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 그 닫힌 형태를 수치 근사로 다섯 선택지와 맞춰 확인합니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 8.EE.A.2 단계 1

넓이에서 변의 길이를 읽어냅니다.
정사각형의 한 변은 넓이의 제곱근이므로 바깥 변은 $\sqrt{3}$, 안쪽 변은 $\sqrt{2}$.

$$s_{\text{바깥}} = \sqrt{3}, \quad s_{\text{안쪽}} = \sqrt{2}$$

💡 넓이는 변의 제곱이라, 제곱근을 씌우면 거꾸로 변의 길이가 나옵니다 — 8학년에서 $\sqrt{\,}$ 기호가 정식 등장.

#1 그림 그리기 6.EE.A.2 단계 2

모서리 삼각형 하나를 그리고 이름을 붙입니다.
짧은 변을 $x$, 긴 변을 $y$ 라 합시다.
한 모서리 삼각형의 두 다리는 바깥 사각형의 한 변을 두 토막으로 나누어 채우므로 $x + y$ 가 그 변의 길이와 같습니다.
빗변은 안쪽(기울어진) 사각형의 한 변입니다.

$$x + y = \sqrt{3}, \quad \text{빗변} = \sqrt{2}$$

💡 그림에 이름이 붙으면 기하 조건이 6학년 "문자가 수를 대신하는 식" 으로 곧장 변환됩니다.

#13 대수로 바꾸기 8.G.B.7 단계 3

직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용합니다.
다리가 $x, y$ 이고 빗변이 $\sqrt{2}$.

$$x^2 + y^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$$

💡 8학년 피타고라스 정리가 두 다리의 제곱과 빗변의 제곱을 묶어주는 다리 역할을 합니다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.A.1 단계 4

두 식을 합치기.
첫 식을 제곱해 두 번째 식과 같은 차원으로 맞춘 뒤 빼면 $2xy$ 가 분리됩니다.

$$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 3 \;\Rightarrow\; 2xy = 3 - (x^2+y^2) = 3 - 2 = 1$$

💡 $(x+y)^2$ 전개는 7학년 식 전개의 정석 — 합과 "제곱의 합" 을 두 수의 곱으로 잇는 다리.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.2 단계 5

이제 $x, y$ 는 합이 $\sqrt{3}$, 곱이 $\tfrac{1}{2}$ 인 두 수.
비에타 관계에 의해 이차방정식 $t^2 - \sqrt{3}\,t + \tfrac{1}{2} = 0$ 의 두 근이 됩니다.
양변에 $2$ 를 곱한 뒤 근의 공식.

$$2t^2 - 2\sqrt{3}\,t + 1 = 0 \;\Rightarrow\; t = \dfrac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 8}}{4} = \dfrac{2\sqrt{3} \pm 2}{4} = \dfrac{\sqrt{3} \pm 1}{2}$$

💡 합 + 곱 → 이차방정식. 켤레쌍 형태로 떨어진 두 근이 짧은 변과 긴 변을 분리해 줍니다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.A.1 단계 6

어느 근이 짧은 변인지 확인.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ 이므로 두 다리는 $\tfrac{\sqrt{3}-1}{2} \approx 0.366$ 과 $\tfrac{\sqrt{3}+1}{2} \approx 1.366$.
짧은 변 / 긴 변 의 비를 잡습니다.

$$\dfrac{x}{y} = \dfrac{\tfrac{\sqrt{3}-1}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}+1}{2}} = \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$$

💡 켤레식 두 개의 나눗셈은 7학년 식 단순화의 표준 동작.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.2 단계 7

분모에 켤레 $\sqrt{3}-1$ 을 곱해 유리화합니다.

$$\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \cdot \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \dfrac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1} = \dfrac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \dfrac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$$

💡 켤레를 곱해 분모의 근호를 지우는 8학년식 제곱근 다루기.

#3 가능성 지우기 8.NS.A.2 단계 8

도구 #3 으로 선택지 매칭.
$2 - \sqrt{3} \approx 2 - 1.732 = 0.268$ → (C).
다른 선택지 확인: (A) $0.20$, (B) $0.25$, (D) $\sqrt{3}-\sqrt{2} \approx 0.318$, (E) $\sqrt{2}-1 \approx 0.414$ — 오직 (C) 만 $0.268$ 에 일치.

$$2 - \sqrt{3} \approx 0.268 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 8학년의 무리수 유리수 근사를 쓰면 닫힌 형태와 선택지를 즉시 비교할 수 있어요.

[1] #1 8.EE.A.2 넓이에서 변의 길이를 읽어냅니다. 정사각형의 한 변은 넓이의 제곱근이므로 바깥 변은 $\sqrt{3}$, 안쪽 변은 $\sqrt{2}$.

[2] #1 6.EE.A.2 모서리 삼각형 하나를 그리고 이름을 붙입니다. 짧은 변을 $x$, 긴 변을 $y$ 라 합시다. 한 모서리 삼각형의 두 다리는 바깥 사각형의 한

[3] #13 8.G.B.7 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용합니다. 다리가 $x, y$ 이고 빗변이 $\sqrt{2}$.

[4] #13 7.EE.A.1 두 식을 합치기. 첫 식을 제곱해 두 번째 식과 같은 차원으로 맞춘 뒤 빼면 $2xy$ 가 분리됩니다.

[5] #13 8.EE.A.2 이제 $x, y$ 는 합이 $\sqrt{3}$, 곱이 $\tfrac{1}{2}$ 인 두 수. 비에타 관계에 의해 이차방정식 $t^2 - \sqr

[6] #13 7.EE.A.1 어느 근이 짧은 변인지 확인. $\sqrt{3} \approx 1.732$ 이므로 두 다리는 $\tfrac{\sqrt{3}-1}{2} \appr

[7] #13 8.EE.A.2 분모에 켤레 $\sqrt{3}-1$ 을 곱해 유리화합니다.

[8] #3 8.NS.A.2 도구 #3 으로 선택지 매칭. $2 - \sqrt{3} \approx 2 - 1.732 = 0.268$ → (C). 다른 선택지 확인: (A)

검토

합리성 확인: 수치 점검: $x + y = \tfrac{\sqrt{3}-1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}+1}{2} = \sqrt{3}$ 으로 바깥 변과 일치하고, $x^2 + y^2 = \tfrac{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2}{4} = \tfrac{(4-2\sqrt{3}) + (4+2\sqrt{3})}{4} = \tfrac{8}{4} = 2$ 로 안쪽 변의 제곱과 일치. 방향 점검: 짧은 변 / 긴 변 은 $1$ 보다 작아야 하는데 $2 - \sqrt{3} \approx 0.268 \in (0,1)$ — 통과.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)을 선택지 위에서: 각 선택지를 비 $r = x/y$ 로 두고 $x + y = \sqrt{3}$ 과 결합. $x = ry$ 에서 $y = \tfrac{\sqrt{3}}{1+r}$, 그러면 $x^2 + y^2 = y^2(1 + r^2)$ 가 $2$ 와 같아야 함. (C) $r = 2 - \sqrt{3}$ 을 넣으면 $1 + r = 3 - \sqrt{3}$, $y = \tfrac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} = \tfrac{\sqrt{3}+1}{2}$ 가 깔끔히 떨어지고 제곱합 검증도 $2$. 근의 공식 없이 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (두 다리에 $x, y$ 라는 이름을 붙여 그림의 두 관계 ($x+y = \sqrt{3}$ 과 빗변 $= \sqrt{2}$) 를 식으로 옮기는 데 사용.)
7.EE.A.1 연산의 성질을 이용해 일차식을 더하고, 빼고, 인수분해하고, 전개하기 ($(x+y)^2$ 을 전개해 "두 수의 합" 과 "제곱의 합" 사이의 관계를 잇고, 켤레식 비 $(\sqrt{3}-1)/(\sqrt{3}+1)$ 을 정리하는 데 사용.)
8.EE.A.2 제곱근 및 세제곱근 기호로 해를 표현하기 (넓이에서 $\sqrt{3}, \sqrt{2}$ 을 변의 길이로 읽고, 분모를 유리화해 $\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = 2 - \sqrt{3}$ 으로 정리하는 데 사용.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 알 수 없는 변의 길이 구하기 (빗변이 $\sqrt{2}$ 인 모서리 직각삼각형을 $x^2 + y^2 = 2$ 라는 식으로 변환하는 데 사용.)
8.NS.A.2 무리수의 유리수 근사로 크기 비교하기 ($2 - \sqrt{3} \approx 0.268$ 로 근사해 닫힌 형태의 답을 다섯 선택지와 즉시 매칭하는 데 사용.)

⭐ 기울어진 정사각형을 그려서 모서리 삼각형 하나에 이름을 붙이면 두 가지 사실이 동시에 보입니다: 두 다리가 바깥 변 하나를 채워 $x + y = \sqrt{3}$, 빗변이 안쪽 변이라 $x^2 + y^2 = 2$. 그 다음은 8학년 제곱근 대수가 마무리.