AMC 10 · 2023 · #13
학년 8 geometry-2d문제
Abdul and Chiang are standing 48 feet apart in a field. Bharat is standing in the same field as far from Abdul as possible so that the angle formed by his lines of sight to Abdul and Chiang measures 60∘. What is the square of the distance (in feet) between Abdul and Bharat?
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AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: Abdul(A)과 Chiang(C)이 $48$ 피트 떨어져 서 있고, Bharat(B)이 같은 들판 어딘가에 서서 자기 시선으로 본 $\angle ABC = 60^\circ$ (삼각형 ABC 의 B 에서의 각) 를 만들도록 합니다. 이러한 모든 B 위치 중에서 $AB$ 가 최대가 되는 위치를 잡았을 때, $AB^2$ 를 구하세요.
주어진 것: $AC = 48$ 피트 (Abdul-Chiang 거리); $\angle ABC = 60^\circ$ (B 에서 A 와 C 로 향한 두 시선 사이의 각); B 는 이 각도 조건을 만족하는 들판 위 모든 위치에서 움직일 수 있음; $AB$ (Abdul-Bharat 거리) 를 최대화한 뒤 그 제곱을 구함; 선택지: (A) $1728$, (B) $2601$, (C) $3072$, (D) $4608$, (E) $6912$
구하는 것: B 가 $AB$ 를 최대화하는 위치에 있을 때 $AB^2$
이해
문제 재정리: Abdul(A)과 Chiang(C)이 $48$ 피트 떨어져 서 있고, Bharat(B)이 같은 들판 어딘가에 서서 자기 시선으로 본 $\angle ABC = 60^\circ$ (삼각형 ABC 의 B 에서의 각) 를 만들도록 합니다. 이러한 모든 B 위치 중에서 $AB$ 가 최대가 되는 위치를 잡았을 때, $AB^2$ 를 구하세요.
주어진 것: $AC = 48$ 피트 (Abdul-Chiang 거리); $\angle ABC = 60^\circ$ (B 에서 A 와 C 로 향한 두 시선 사이의 각); B 는 이 각도 조건을 만족하는 들판 위 모든 위치에서 움직일 수 있음; $AB$ (Abdul-Bharat 거리) 를 최대화한 뒤 그 제곱을 구함; 선택지: (A) $1728$, (B) $2601$, (C) $3072$, (D) $4608$, (E) $6912$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
도구 #1(그림 그리기): $\angle B = 60^\circ$ 와 $AC$ 를 고정한 채 B 를 여러 위치로 옮겨 보면, $AB$ 가 최대가 되는 순간이 정확히 $C$ 에서 직각이 만들어지는 순간임이 그림에서 보입니다. (직관: $C$ 가 둔각이면 $C$ 를 $90^\circ$ 쪽으로 움직일수록 $AB$ 가 길어지고, $90^\circ$ 를 넘기면 다시 줄어듦.) 도구 #9(더 쉬운 문제)는 "$\angle B = 60^\circ$ 인 모든 삼각형" 을 $\angle C = 90^\circ$ 인 특정 $30$-$60$-$90$ 삼각형 한 가지 케이스로 줄여줍니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 셋으로 가릅니다: (a) $\angle C = 90^\circ$ 가 정말 $AB$ 를 최대화한다는 확인, (b) 그 $30$-$60$-$90$ 에서 $AB$ 계산, (c) 제곱.
실행 — 정답: C
8.G.A.5 단계 1 - 들판을 그립니다.
- A 와 C 를 $48$ 피트 떨어져 놓고 B 를 $\angle ABC = 60^\circ$ 가 유지되도록 움직입니다.
- 이런 B 의 자취는 A 와 C 를 지나는 원호입니다 ($60^\circ$ 의 원주각에 대응하는 원호 한 줄).
- B 가 호를 따라 움직이면 $AB$ 의 길이가 바뀝니다.
💡 8학년 각도 사실: B 에서의 각이 고정, 마주보는 변 $AC$ 도 고정이면 B 는 원호에 묶입니다 — 그림으로 호 위에서 $AB$ 가 어떻게 변하는지 직접 관찰.
8.G.A.5 단계 2 - 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): B 의 모든 위치 대신 $C$ 에서 직각이 되는 특정 케이스만 시험.
- 그러면 $\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ 이고 $\angle BCA = 90^\circ$ 로 두면 $\angle BAC = 30^\circ$.
- 즉 잘 아는 $30$-$60$-$90$ 삼각형.
💡 이름 있는 $30$-$60$-$90$ 은 일반 $60^\circ$ 삼각형보다 훨씬 다루기 쉬워요 — 도구 #9 의 "더 쉬운 케이스" 정신.
8.G.A.5 단계 3 - 왜 이게 최대인가?
- 그림에서 $AB$ 는 호 위 두 점 A, B 를 잇는 현.
- 현 $AB$ 는 B 가 A 로부터 호를 따라 가장 멀리 떨어졌을 때 최대 — 곧 $AB$ 가 호가 속한 원의 지름이 되는 순간.
- 그때 C 에서 본 원주각 $\angle ACB$ 는 "반원에 들어간 각" 으로 $90^\circ$ 가 됩니다.
- 따라서 $\angle C = 90^\circ$ 가 정말 최대 위치.
💡 원주각 사고(8학년 각도 사실의 확장): C 에서의 원주각이 커질수록 현 $AB$ 도 커지고, $90^\circ$ 가 되면 지름.
8.G.B.7 단계 4 - $30$-$60$-$90$ 직각삼각형 ACB ($C$ 가 직각) 에서 $AC$ 는 $60^\circ$ 각(B 에서의) 의 대변.
- 표준 $30$-$60$-$90$ 변의 비는 $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ 대변이 $1 : \sqrt{3} : 2$.
- 따라서 $AC : AB = \sqrt{3} : 2$ 이고 $AB = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \cdot AC$.
💡 $30$-$60$-$90$ 변비는 정삼각형 반쪽에 피타고라스를 적용해 곧장 나옵니다 — 8학년 특수 직각삼각형.
8.EE.A.2 단계 5 구해진 $AB$ 를 제곱.
💡 제곱하면 $\sqrt{3}$ 이 깔끔히 사라져 정수가 떨어집니다 — 8학년 제곱근 다루기.
8.NS.A.2 단계 6 - 선택지 매칭: $3072$ 가 정확히 (C).
- 다른 선택지 상식 점검: (A) $1728 = AC^2 \cdot \tfrac{3}{4}$ 은 너무 작고, (E) $6912 = 2 \cdot 3072$ 는 $AB = 48\sqrt{3}$ 에 해당하지만 $AB$ 는 호의 지름을 넘을 수 없으므로 불가.
💡 닫힌 형태 $3072$ 를 다섯 선택지와 즉시 비교하는 표준 객관식 마무리.
8.G.A.5 들판을 그립니다. A 와 C 를 $48$ 피트 떨어져 놓고 B 를 $\angle ABC = 60^\circ$ 가 유지되도록 움직입니다. 이런 B 8.G.A.5 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): B 의 모든 위치 대신 $C$ 에서 직각이 되는 특정 케이스만 시험. 그러면 $\angle BAC + \a 8.G.A.5 왜 이게 최대인가? 그림에서 $AB$ 는 호 위 두 점 A, B 를 잇는 현. 현 $AB$ 는 B 가 A 로부터 호를 따라 가장 멀리 떨어졌을 8.G.B.7 $30$-$60$-$90$ 직각삼각형 ACB ($C$ 가 직각) 에서 $AC$ 는 $60^\circ$ 각(B 에서의) 의 대변. 표준 $30$- 8.EE.A.2 구해진 $AB$ 를 제곱. 8.NS.A.2 선택지 매칭: $3072$ 가 정확히 (C). 다른 선택지 상식 점검: (A) $1728 = AC^2 \cdot \tfrac{3}{4}$ 은 너 검토
합리성 확인: 방향 점검: $\angle C$ 가 $90^\circ$ 를 넘어가면 호가 다시 안으로 말리며 B 가 A 쪽으로 돌아오므로 $\angle C = 90^\circ$ 가 정말 변곡점. 크기 점검: $AB = 32\sqrt{3} \approx 55.4$ 피트 — $AC = 48$ 보다 큰 게 합당 (B 에서의 $60^\circ$ 가 더 짧은 변의 대각이므로). 제곱하면 $55.4^2 \approx 3070$, $3072$ 와 일치. 끝-끝 피타고라스로 한 번 더: $BC = AB/2 = 16\sqrt{3}$, $AC^2 + BC^2 = 48^2 + (16\sqrt{3})^2 = 2304 + 768 = 3072 = AB^2$ — 깔끔.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 선택지 검사: 각 후보 $AB^2$ 가 $\angle B = 60^\circ$ 코사인 법칙 $AC^2 = AB^2 + BC^2 - AB \cdot BC$ (왜냐하면 $\cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}$) 을 만족하는지. $AB^2 = 3072$, $BC^2 = 768$, $BC = 16\sqrt{3}$, $AB = 32\sqrt{3}$ 을 대입하면 $3072 + 768 - 32\sqrt{3} \cdot 16\sqrt{3} = 3840 - 1536 = 2304 = 48^2$. (C) 확정.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.G.A.5삼각형의 내각의 합과 외각에 대한 비공식 논증 (삼각형 내각의 합을 써서 $\angle B = 60^\circ, \angle C = 90^\circ$ 로부터 $\angle A = 30^\circ$ 를 얻고, B 가 "같은 각도 호" 위에 있음을 파악하는 데 사용.)8.G.B.7피타고라스 정리로 직각삼각형의 알 수 없는 변의 길이 구하기 (정삼각형 반쪽에서 $30$-$60$-$90$ 의 변비 $1 : \sqrt{3} : 2$ 를 끌어내 $AB = \tfrac{2}{\sqrt{3}} \cdot AC$ 를 얻는 데 사용.)8.EE.A.2제곱근 및 세제곱근 기호로 해를 표현하기 ($\tfrac{96}{\sqrt{3}} = 32\sqrt{3}$ 으로 유리화하고 $(32\sqrt{3})^2 = 3072$ 로 제곱하는 데 사용.)8.NS.A.2무리수의 유리수 근사로 크기 비교하기 ($32\sqrt{3} \approx 55.4$ 로 근사해 그림에서 예상되는 크기와 맞춰보고 $AB^2 = 3072$ 를 (C) 와 매칭하는 데 사용.)
⭐ B 에서의 각을 $60^\circ$ 로 고정하면 B 는 A 와 C 를 지나는 원호 위에 묶이고, 그 호의 현 $AB$ 는 지름이 될 때 가장 깁니다 — 그게 바로 $\angle C = 90^\circ$ 인 순간. 그러면 삼각형 ACB 는 $30$-$60$-$90$ 이 되어 $AB = \tfrac{2}{\sqrt{3}} \cdot 48 = 32\sqrt{3}$, 따라서 $AB^2 = 3072$.
⭐ B 에서의 각을 $60^\circ$ 로 고정하면 B 는 A 와 C 를 지나는 원호 위에 묶이고, 그 호의 현 $AB$ 는 지름이 될 때 가장 깁니다 — 그게 바로 $\angle C = 90^\circ$ 인 순간. 그러면 삼각형 ACB 는 $30$-$60$-$90$ 이 되어 $AB = \tfrac{2}{\sqrt{3}} \cdot 48 = 32\sqrt{3}$, 따라서 $AB^2 = 3072$.