AMC 10 · 2023 · #14
학년 7 probability문제
A number is chosen at random from among the first 100 positive integers, and a positive integer divisor of that number is then chosen at random. What is the probability that the chosen divisor is divisible by 11?
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AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 먼저 $\{1, 2, \dots, 100\}$ 에서 $n$ 을 균등하게 무작위로 뽑고, 그다음 $n$ 의 양의 약수 중에서 $d$ 를 또 균등하게 무작위로 뽑습니다. 이렇게 뽑힌 약수 $d$ 가 $11$ 의 배수일 확률을 구하세요.
주어진 것: 1단계: $n$ 을 $1, 2, \dots, 100$ 에서 균등 추출 (각 확률 $\tfrac{1}{100}$); 2단계: $n$ 이 정해진 후, $d$ 를 $n$ 의 약수 중에서 균등 추출; 구하는 것: $P(d \text{ 가 } 11 \text{ 의 배수})$; 선택지: (A) $\tfrac{4}{100}$, (B) $\tfrac{9}{200}$, (C) $\tfrac{1}{20}$, (D) $\tfrac{11}{200}$, (E) $\tfrac{3}{50}$
구하는 것: 마지막에 뽑힌 $d$ 가 $11$ 의 배수일 전체 확률
이해
문제 재정리: 먼저 $\{1, 2, \dots, 100\}$ 에서 $n$ 을 균등하게 무작위로 뽑고, 그다음 $n$ 의 양의 약수 중에서 $d$ 를 또 균등하게 무작위로 뽑습니다. 이렇게 뽑힌 약수 $d$ 가 $11$ 의 배수일 확률을 구하세요.
주어진 것: 1단계: $n$ 을 $1, 2, \dots, 100$ 에서 균등 추출 (각 확률 $\tfrac{1}{100}$); 2단계: $n$ 이 정해진 후, $d$ 를 $n$ 의 약수 중에서 균등 추출; 구하는 것: $P(d \text{ 가 } 11 \text{ 의 배수})$; 선택지: (A) $\tfrac{4}{100}$, (B) $\tfrac{9}{200}$, (C) $\tfrac{1}{20}$, (D) $\tfrac{11}{200}$, (E) $\tfrac{3}{50}$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #5 패턴 찾기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기
도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 두 단계 과정을 자연스러운 두 조각으로 나눕니다: (A) $n$ 이 $11$ 의 배수일 확률 — 아니면 2단계가 절대 성공 못 함; (B) $n$ 이 특정 $11$ 의 배수일 때, 무작위로 뽑은 $n$ 의 약수가 $11$ 의 배수일 조건부 확률. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 (A) 의 $11$ 의 배수 개수 세기를 담당. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 (B) 에서 약수 구조를 추상적으로 다루는 대신 $n = 11$ 의 작은 케이스를 시험하고, 도구 #5(패턴 찾기)로 모든 $11$ 의 배수가 정확히 절반의 약수만 $11$ 의 배수임을 확인합니다.
실행 — 정답: B
4.OA.B.4 단계 1 - 쪼개기 A: $\{1, 2, \dots, 100\}$ 안의 $11$ 의 배수 세기.
- 순서대로 나열하면 $11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99$ — $9$ 개.
- (다음은 $110 > 100$.)
💡 $11$ 의 배수를 순서대로 적어보는 것은 4학년 "배수 판별" 의 정석 — 빠르고 빠짐없음.
4.OA.B.4 단계 2 - 왜 $n$ 이 $11$ 의 배수여야만 중요한가?
- 약수는 $n$ 을 나누는 수.
- $11$ 이 어떤 약수 $d$ 를 나누면 $d \mid n$ 이므로 $11 \mid n$ 으로 연결.
- 즉 $n$ 이 $11$ 의 배수가 아니면 어떤 약수도 $11$ 의 배수가 될 수 없고 2단계 조건부 확률은 $0$.
💡 "약수의 약수는 약수" — 4학년식 나눗셈 연쇄가 "기여 가능한 $n$" 을 골라줍니다.
7.SP.C.7 단계 3 - 따라서 우리는 $11$ 의 배수 $9$ 개만 보면 됩니다.
- 1단계의 $n$ 이 이 중 하나일 확률: $\tfrac{9}{100}$.
💡 7학년 확률: 균등 추출에서 유리한 결과($9$) 를 전체($100$) 로 나눈 값.
4.OA.B.4 단계 4 - 쪼개기 B (도구 #9 더 쉬운 문제): $11$ 의 배수 각각에 대해 약수 중 $11$ 의 배수의 비율은?
- 가장 작은 $n = 11$ 시도: 약수는 $\{1, 11\}$, $11$ 의 배수는 $\{11\}$, 비율 $\tfrac{1}{2}$.
💡 가장 단순한 케이스가 구조를 드러냅니다: $11$ 의 배수가 아닌 약수 $k$ 와 $11$ 의 배수 약수 $11k$ 를 짝지으면 정확히 절반.
4.OA.B.4 단계 5 - 패턴 확인 (도구 #5).
- $n = 22 = 2 \cdot 11$: 약수 $\{1, 2, 11, 22\}$, $11$ 의 배수 $\{11, 22\}$, 비율 $\tfrac{2}{4} = \tfrac{1}{2}$.
- $n = 99 = 3^2 \cdot 11$: 약수 $\{1, 3, 9, 11, 33, 99\}$, $11$ 의 배수 $\{11, 33, 99\}$, 비율 $\tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$.
- 패턴: 우리 리스트의 모든 $11$ 의 배수에서 비율은 $\tfrac{1}{2}$.
💡 세 케이스 모두 $\tfrac{1}{2}$ — 나머지 여섯에서도 패턴이 유지된다는 확신.
6.NS.B.4 단계 6 - 비율이 왜 항상 $\tfrac{1}{2}$ 인가?
- 우리의 $9$ 개 $n$ 은 모두 $11 \cdot k$ 형태 ($k \in \{1, 2, \dots, 9\}$, $\gcd(k, 11) = 1$, $11^2 > 100$ 이므로).
- $n$ 의 약수들은 짝을 이룹니다: $k$ 의 약수 $d$ 마다 $n$ 의 약수 두 개가 대응 — $d$ ($11$ 의 배수 아님) 과 $11d$ ($11$ 의 배수).
- 따라서 약수들이 $11$ 의 배수와 아닌 것으로 정확히 균등 분할.
💡 약수 $d$ 마다 $11d$ 와 짝을 지으면 $n$ 의 약수가 두 동일한 무리로 나뉩니다 — 6학년 GCF/인수쌍 관점.
7.SP.C.8 단계 7 - 두 단계 결합 (전체 확률의 법칙).
- 최종 $d$ 가 $11$ 의 배수일 확률 = $\sum_n P(d \text{ 가 } 11 \text{ 의 배수} \mid n) \cdot P(n)$.
- $11$ 의 배수가 아닌 $91$ 개 $n$ 의 기여는 $0$; $11$ 의 배수 $9$ 개는 각각 조건부 확률 $\tfrac{1}{2}$, 가중치 $\tfrac{1}{100}$.
💡 두 단계 균등 추출 → 단계 확률을 곱해 결과별로 더함 — 7학년 합성 확률.
7.SP.C.7 단계 8 - 선택지 매칭: $\tfrac{9}{200}$ 가 정확히 (B).
- 점검: (A) $\tfrac{4}{100} = \tfrac{8}{200}$ 은 $11$ 의 배수가 $8$ 개일 때에 해당해 살짝 어긋남.
- (D) $\tfrac{11}{200}$ 은 다른 조건부 확률에서 나옴.
💡 닫힌 형태 분수를 다섯 선택지와 매칭 — 표준 객관식 마무리.
4.OA.B.4 쪼개기 A: $\{1, 2, \dots, 100\}$ 안의 $11$ 의 배수 세기. 순서대로 나열하면 $11, 22, 33, 44, 55, 66 4.OA.B.4 왜 $n$ 이 $11$ 의 배수여야만 중요한가? 약수는 $n$ 을 나누는 수. $11$ 이 어떤 약수 $d$ 를 나누면 $d \mid n$ 이므 7.SP.C.7 따라서 우리는 $11$ 의 배수 $9$ 개만 보면 됩니다. 1단계의 $n$ 이 이 중 하나일 확률: $\tfrac{9}{100}$. 4.OA.B.4 쪼개기 B (도구 #9 더 쉬운 문제): $11$ 의 배수 각각에 대해 약수 중 $11$ 의 배수의 비율은? 가장 작은 $n = 11$ 시도: 4.OA.B.4 패턴 확인 (도구 #5). $n = 22 = 2 \cdot 11$: 약수 $\{1, 2, 11, 22\}$, $11$ 의 배수 ${11, 22 6.NS.B.4 비율이 왜 항상 $\tfrac{1}{2}$ 인가? 우리의 $9$ 개 $n$ 은 모두 $11 \cdot k$ 형태 ($k \in {1, 2, \ 7.SP.C.8 두 단계 결합 (전체 확률의 법칙). 최종 $d$ 가 $11$ 의 배수일 확률 = $\sum_n P(d \text{ 가 } 11 \text{ 의 7.SP.C.7 선택지 매칭: $\tfrac{9}{200}$ 가 정확히 (B). 점검: (A) $\tfrac{4}{100} = \tfrac{8}{200}$ 은 검토
합리성 확인: 크기 점검: $100$ 개 출발점 중 단 $9\%$ 만이 가능한 후보이고, 그 중에서 조건부 성공률이 $\tfrac12$ 이므로 정답은 $\tfrac{1}{20} = \tfrac{10}{200}$ 보다 살짝 작아야 함. 실제로 $\tfrac{9}{200} = 0.045 < 0.05$ — 일치. 짝짓기 논증이 견고한 이유는 $11^2 > 100$ 이라서 각 $n$ 이 $11$ 을 정확히 한 번만 인수로 가짐. 방향 점검: 정답은 $\tfrac{9}{100}$ 보다 작아야 함 (1단계 성공이 곧 2단계 성공은 아니므로). $\tfrac{9}{200}$ 은 정확히 그 절반 — 합당.
대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 무차별 대입: $100$ 개 모든 $n$ 에 대해 약수를 나열하고 $11$ 의 배수를 표시한 뒤 무조건적 비율을 평균. 대부분 $n$ 은 $0$ 기여. $11$ 의 배수 $9$ 개만 각각 $\tfrac12$ 씩 기여. 평균: $\tfrac{1}{100} \cdot 9 \cdot \tfrac12 = \tfrac{9}{200}$. 같은 결과, 더 많은 노가다, 확률 법칙 불필요.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
4.OA.B.41-100 범위 자연수의 모든 인수쌍 구하기; 주어진 한 자리 수의 배수인지 판단하기 ($[1, 100]$ 안의 $11$ 의 배수 $9$ 개를 나열하고, 샘플 $n$ 값($11, 22, 99$)의 약수를 나열하며, 약수 연쇄 $11 \mid d \mid n \Rightarrow 11 \mid n$ 을 적용하는 데 사용.)6.NS.B.4두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($\gcd(k, 11) = 1$ 인 $11k$ 의 모든 약수 $d$ 와 $11d$ 를 짝지어 약수가 $11$ 의 배수인 것과 아닌 것 두 동일한 무리로 갈라지는 것을 보이는 데 사용.)7.SP.C.7확률 모델을 만들고 사건의 확률 구하기 (두 단계를 모두 균등 무작위로 처리하고 각 단계 확률($\tfrac{9}{100}$, $\tfrac{1}{2}$) 을 계산하는 데 사용.)7.SP.C.8정리된 목록, 표, 시뮬레이션을 사용해 합성 사건의 확률 구하기 (두 단계 확률을 $P(A) = \sum_n P(A \mid n) P(n)$ 로 결합해 $\tfrac{9}{200}$ 에 도달하는 데 사용.)
⭐ $1$ ~ $100$ 중 $11$ 의 배수 $9$ 개만이 "$11$ 의 배수인 약수" 를 만들 가능성이 있고, 그 각각에서 약수의 정확히 절반이 $11$ 의 배수 — 따라서 답은 $\tfrac{9}{100} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{9}{200}$.
⭐ $1$ ~ $100$ 중 $11$ 의 배수 $9$ 개만이 "$11$ 의 배수인 약수" 를 만들 가능성이 있고, 그 각각에서 약수의 정확히 절반이 $11$ 의 배수 — 따라서 답은 $\tfrac{9}{100} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{9}{200}$.