AMC 10 · 2023 · #17

학년 8 geometry-2d

pythagorean-theoreminteger-pythagorean-triplesarea-rectangles caseworksystematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-rectangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Let $ABCD$ be a rectangle with $AB = 30$ and $BC = 28$ . Point $P$ and $Q$ lie on $\overline{BC}$ and $\overline{CD}$ respectively so that all sides of $\triangle{ABP}, \triangle{PCQ},$ and $\triangle{QDA}$ have integer lengths. What is the perimeter of $\triangle{APQ}$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $AB = 30$, $BC = 28$ 인 직사각형 $ABCD$ 가 있고, $P$ 는 $\overline{BC}$ 위에, $Q$ 는 $\overline{CD}$ 위에 있어 세 직각삼각형 $\triangle ABP$, $\triangle PCQ$, $\triangle QDA$ 의 모든 변의 길이가 정수가 됩니다. $\triangle APQ$ 의 둘레를 구하세요.

주어진 것: $AB = 30$, $BC = 28$ 인 직사각형 $ABCD$ — 따라서 $CD = 30$, $AD = 28$; $P$ 는 $\overline{BC}$ 위 — $\triangle ABP$ 는 $B$ 에서 직각, 두 직각변 $AB = 30$ 과 $BP$; $Q$ 는 $\overline{CD}$ 위 — $\triangle QDA$ 는 $D$ 에서 직각, 두 직각변 $AD = 28$ 과 $DQ$; $\triangle PCQ$ 는 $C$ 에서 직각, 두 직각변 $PC$ 와 $CQ$; 세 삼각형의 모든 변이 정수; 선택지: (A) $84$, (B) $86$, (C) $88$, (D) $90$, (E) $92$

구하는 것: $AP$, $AQ$, $PQ$; $\triangle APQ$ 의 둘레

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #7 작은 문제로 쪼개기

직사각형 안에 직각삼각형 세 개가 붙어 있는 구도는 도구 #1(그림 그리기)을 부르는 전형 — $BP, PC, DQ, CQ$ 를 그림에 표시하면 조건이 한눈에 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 퍼즐을 세 삼각형으로 나누면 각각 "빗변이 정수인 직각삼각형 찾기" 라는 독립 문제가 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 직각변이 $30$ 인 피타고라스 삼조와 $28$ 인 삼조를 모두 적습니다 — $(8,15,17)$, $(3,4,5)$ 계열만 기억하면 짧은 목록. 그러면 세 번째 삼각형 $\triangle PCQ$ 는 자동 결정되고, 그 변들이 정수인지만 확인하면 끝.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 1

$A$ 를 왼쪽 위, $B$ 를 오른쪽 위, $C$ 를 오른쪽 아래, $D$ 를 왼쪽 아래로 두고 직사각형 $ABCD$ 를 그립니다.
$P$ 는 $\overline{BC}$ 위, $Q$ 는 $\overline{CD}$ 위에 표시합니다.
세 직각삼각형이 $B$, $C$, $D$ 의 모서리에서 만나고, 둘레를 구해야 할 내부 삼각형은 $\triangle APQ$.

$$AB = CD = 30,\quad BC = AD = 28$$

💡 그림이 나오면 모서리마다 직각삼각형이 한 개씩 자리잡고, 우리가 둘레를 구해야 하는 내부 삼각형도 분명해집니다.

#2 빠짐없이 나열하기 8.G.B.7 단계 2

쪼개기 1: 직각변이 $30$ 인 정수 직각삼각형 나열.
$a^2 + b^2 = c^2$ 로 피타고라스 계열을 훑으면 $(8, 15, 17) \times 2 = (16, 30, 34)$ 가 직각변 $30$ 을 가짐.
$(3, 4, 5) \times 6 = (18, 24, 30)$ 은 $30$ 이 빗변이라 제외.
$(30, 40, 50)$ 도 가능하지만 다른 직각변 $40$ 이 $BC = 28$ 을 넘으므로 $BP = 40$ 은 불가.
다른 직각변이 $\le 28$ 인 유일한 후보는 $(16, 30, 34)$.
따라서 $BP = 16$, $AP = 34$.

$$30^2 + 16^2 = 900 + 256 = 1156 = 34^2 \;\Rightarrow\; BP = 16,\ AP = 34$$

💡 피타고라스 삼조는 짧고 외우기 쉬운 목록. $(8,15,17)$ 을 $2$ 배 하면 $30$ 을 직각변으로 만드는 유일한 방식이 나옵니다.

#2 빠짐없이 나열하기 8.G.B.7 단계 3

쪼개기 2: 직각변이 $28$ 인 정수 직각삼각형 나열.
$(3, 4, 5) \times 7 = (21, 28, 35)$ 가 직각변 $28$ 을 가짐.
$(7, 24, 25)$ 에는 $28$ 이 없음.
$(28, 45, 53)$ 이나 $(28, 96, 100)$ 은 $DQ > 30$ 을 강요하므로 $0 < DQ < 30$ 위반.
따라서 $DQ = 21$, $AQ = 35$.

$$28^2 + 21^2 = 784 + 441 = 1225 = 35^2 \;\Rightarrow\; DQ = 21,\ AQ = 35$$

💡 가장 유명한 $(3,4,5)$ 를 $7$ 배 하면 $28$ 이 직각변으로 정확히 떨어지고, 그 배수에서 다른 직각변도 $\le 30$ 으로 들어맞습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 4

쪼개기 3: 세 번째 삼각형 읽어내기.
$PC = BC - BP = 28 - 16 = 12$, $CQ = CD - DQ = 30 - 21 = 9$.
$\triangle PCQ$ 도 정수 변 조건을 만족하는지 확인: $PQ^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 = 15^2$, $PQ = 15$.
삼조 $(9, 12, 15)$ 는 $(3, 4, 5) \times 3$ — 모서리 삼각형 선택이 옳았다는 깔끔한 확인.

$$PC = 12,\ CQ = 9,\ PQ = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15$$

💡 앞 두 삼각형이 정해지면 세 번째도 자동. $PQ$ 까지 정수로 떨어지는 것이 이 퍼즐의 표식 — 모서리 삼조를 옳게 골랐을 때만 가능합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 5

$\triangle APQ$ 의 세 변을 더하기.
둘레 = $AP + AQ + PQ = 34 + 35 + 15$.

$$34 + 35 + 15 = 84 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 세 빗변이 손에 들어오면 둘레는 한 줄 덧셈으로 끝.

[1] #1 4.G.A.2 $A$ 를 왼쪽 위, $B$ 를 오른쪽 위, $C$ 를 오른쪽 아래, $D$ 를 왼쪽 아래로 두고 직사각형 $ABCD$ 를 그립니다. $P$ 는

[2] #2 8.G.B.7 쪼개기 1: 직각변이 $30$ 인 정수 직각삼각형 나열. $a^2 + b^2 = c^2$ 로 피타고라스 계열을 훑으면 $(8, 15, 17) \

[3] #2 8.G.B.7 쪼개기 2: 직각변이 $28$ 인 정수 직각삼각형 나열. $(3, 4, 5) \times 7 = (21, 28, 35)$ 가 직각변 $28$ 을

[4] #7 8.G.B.7 쪼개기 3: 세 번째 삼각형 읽어내기. $PC = BC - BP = 28 - 16 = 12$, $CQ = CD - DQ = 30 - 21 = 9

[5] #7 4.NBT.B.4 $\triangle APQ$ 의 세 변을 더하기. 둘레 = $AP + AQ + PQ = 34 + 35 + 15$.

검토

합리성 확인: 그림 점검: $BP = 16 < 28 = BC$, $DQ = 21 < 30 = CD$ — $P$, $Q$ 가 의도한 선분 위에 자리잡음. 변 $(15, 34, 35)$ 인 $\triangle APQ$ 의 삼각부등식: $15 + 34 = 49 > 35$, $15 + 35 = 50 > 34$, $34 + 35 = 69 > 15$ — 유효한 삼각형. 모서리 삼조 셋 $(16, 30, 34)$, $(21, 28, 35)$, $(9, 12, 15)$ 모두 정수 피타고라스. 둘레 $84$ 는 (A), 다른 선택지 $86, 88, 90, 92$ 에 대응하는 일관된 삼조 조합은 이 직사각형에 존재하지 않습니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 을 $BP$ 에 직접 적용: $BP = 1, 2, \dots, 27$ 를 돌며 $\sqrt{900 + BP^2}$ 가 정수가 되는 경우만 남깁니다. 직각변이 $30$ 이고 다른 직각변이 $\le 28$ 인 삼조가 $(16, 30, 34)$ 뿐이라 $BP = 16$ 이 유일하게 살아남고, $DQ$ 도 같은 방식으로 강제됩니다. 같은 결론 (A) $84$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.2 평행·수직 여부로 평면도형 분류 (직사각형의 $B$, $C$, $D$ 에서의 직각을 읽어 모서리에 직각삼각형이 세 개 있음을 파악.)
8.G.B.7 피타고라스 정리를 적용해 직각삼각형의 미지 변 구하기 ($\triangle ABP$, $\triangle QDA$, $\triangle PCQ$ 의 빗변을 계산하고, 그 값이 정수가 되도록(피타고라스 삼조) 강제하는 데 사용.)
4.NBT.B.4 표준 알고리즘으로 자릿수가 큰 수의 덧셈과 뺄셈 (마지막에 $34 + 35 + 15 = 84$ 로 둘레를 구하는 데 사용.)

⭐ 직사각형의 세 모서리에 붙은 직각삼각형은 결국 피타고라스 삼조 세 개. 직각변이 $30$ 인 삼조와 $28$ 인 삼조의 짧은 목록을 훑으면 $(16, 30, 34)$ 와 $(21, 28, 35)$ 만 들어맞고, 세 번째 삼각형 $(9, 12, 15)$ 는 자동으로 결정됩니다. 세 빗변을 더하면 $\textbf{(A) }84$.