AMC 10 · 2023 · #18

학년 8 geometry-2d

eulers-polyhedron-formulaface-adjacencypolyhedron-netsspatial-visualization identify-subproblemsconvert-to-algebradouble-counting ↑ 선수 지식: spatial-visualizationlinear-equations-two-var

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

A rhombic dodecahedron is a solid with $12$ congruent rhombus faces. At every vertex, $3$ or $4$ edges meet, depending on the vertex. How many vertices have exactly $3$ edges meet?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 마름모 십이면체는 $12$ 개의 합동인 마름모 면을 갖는 입체입니다. 각 꼭짓점에는 $3$ 개 또는 $4$ 개의 모서리가 만납니다. 정확히 $3$ 개의 모서리가 만나는 꼭짓점의 개수를 구하세요.

주어진 것: $F = 12$ 개의 면, 각 면은 마름모 (면당 모서리 $4$ 개); 모든 꼭짓점의 차수가 $3$ 또는 $4$; 선택지: (A) $5$, (B) $6$, (C) $7$, (D) $8$, (E) $9$

구하는 것: $x$ = 차수 $3$ 인 꼭짓점의 개수

이해

주어진 것: $F = 12$ 개의 면, 각 면은 마름모 (면당 모서리 $4$ 개); 모든 꼭짓점의 차수가 $3$ 또는 $4$; 선택지: (A) $5$, (B) $6$, (C) $7$, (D) $8$, (E) $9$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기

풀이는 깔끔한 세 계단: (a) 면-모서리 이중 세기로 모서리 수 $E$ 구하기, (b) 오일러 공식으로 꼭짓점 수 $V$ 구하기, (c) 차수 합 $3x + 4y = 2E$ 를 이용해 $V$ 를 차수별로 가르기. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 가 각 계단에 이름을 붙입니다. 마지막은 $x$, $y$ 에 대한 $2 \times 2$ 일차연립 — 도구 #13(대수로 바꾸기) 이 마무리. 영리한 대칭 논증 없이 두 개의 세기 항등식만으로 모든 값이 떨어집니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 5.G.B.3 단계 1

쪼개기 A: 모서리 수 $E$ 세기.
$12$ 개의 마름모 면 각각이 모서리 $4$ 개를 가지므로 (면, 모서리) 쌍은 $12 \cdot 4 = 48$.
그런데 각 모서리는 정확히 두 면에 의해 공유되므로 두 번씩 세어졌으니 $2$ 로 나눕니다.

$$E = \dfrac{12 \cdot 4}{2} = 24$$

💡 (면, 모서리) 쌍을 두 방식으로 세기 — 다면체의 만능 도구. 모서리마다 면이 정확히 두 개 붙으므로 $2$ 로 나누면 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.A.1 단계 2

쪼개기 B: 오일러 공식으로 꼭짓점 수 $V$ 구하기.
$F = 12$ 와 $E = 24$ 를 $V - E + F = 2$ 에 대입.

$$V = 2 + E - F = 2 + 24 - 12 = 14$$

💡 $V - E + F = 2$ 는 모든 볼록 다면체의 회계 항등식 — $E$, $F$ 가 정해지면 $V$ 가 자동으로 정해집니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.8 단계 3

쪼개기 C: 두 개의 방정식 세우기.
차수 $3$ 인 꼭짓점 수를 $x$, 차수 $4$ 인 꼭짓점 수를 $y$ 라 두면 꼭짓점 총수는 $x + y = 14$.
악수 보조정리 — 차수의 합 $= 2E$ — 로부터 $3x + 4y = 2 \cdot 24 = 48$.

$$\begin{cases} x + y = 14 \\ 3x + 4y = 48 \end{cases}$$

💡 모서리마다 끝점이 두 개이므로 "각 꼭짓점이 보는 모서리 수"를 모두 더하면 모든 모서리가 두 번씩 세어집니다 — 꼭짓점 분할이 일차방정식이 되는 비결.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.8 단계 4

소거법으로 풀기.
첫 식에 $4$ 를 곱하면 $4x + 4y = 56$.
둘째 식을 빼면 $(4x + 4y) - (3x + 4y) = 56 - 48$, 즉 $x = 8$.
그러면 $y = 14 - 8 = 6$.

$$x = 8,\ y = 6 \;\Rightarrow\; \textbf{(D) }8$$

💡 한 식을 배수배 한 다른 식에서 빼면 한 변수가 곧장 사라집니다.

[1] #7 5.G.B.3 쪼개기 A: 모서리 수 $E$ 세기. $12$ 개의 마름모 면 각각이 모서리 $4$ 개를 가지므로 (면, 모서리) 쌍은 $12 \cdot 4 =

[2] #7 5.OA.A.1 쪼개기 B: 오일러 공식으로 꼭짓점 수 $V$ 구하기. $F = 12$ 와 $E = 24$ 를 $V - E + F = 2$ 에 대입.

[3] #13 8.EE.C.8 쪼개기 C: 두 개의 방정식 세우기. 차수 $3$ 인 꼭짓점 수를 $x$, 차수 $4$ 인 꼭짓점 수를 $y$ 라 두면 꼭짓점 총수는 $x +

[4] #13 8.EE.C.8 소거법으로 풀기. 첫 식에 $4$ 를 곱하면 $4x + 4y = 56$. 둘째 식을 빼면 $(4x + 4y) - (3x + 4y) = 56 -

검토

합리성 확인: 악수 보조정리 교차 확인: $3 \cdot 8 + 4 \cdot 6 = 24 + 24 = 48 = 2 \cdot 24$ — 정확히 $2E$. 오일러 교차 확인: $V - E + F = 14 - 24 + 12 = 2$ — 일치. 총합 확인: $x + y = 8 + 6 = 14 = V$. 기하학적으로 마름모 십이면체는 차수 $3$ 인 꼭짓점이 $8$ 개(정육면체의 $8$ 개 모서리 위치, "예각" 꼭짓점) 와 차수 $4$ 인 꼭짓점이 $6$ 개(정육면체의 $6$ 개 면 중심 위치)로 알려져 있어 $\textbf{(D) }8$ 과 일치합니다.

대안 접근: 도구 #10(직접 만져보기) 과 도구 #5(패턴 찾기): 정육면체의 여섯 면에 사각뿔을 하나씩 붙여 마름모 십이면체를 만듭니다(상상해도 좋음). 정육면체의 $8$ 개 모서리가 차수 $3$ 인 꼭짓점이 되고(세 마름모가 만남), $6$ 개 면 위의 뿔 꼭대기가 차수 $4$ 인 꼭짓점이 됩니다. 세면 차수 $3$ 이 $8$ 개, 차수 $4$ 가 $6$ 개 — 같은 답 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.G.B.3 한 범주에 속하는 평면도형의 속성이 그 하위 범주에도 모두 적용됨을 이해 ("$12$ 개의 마름모 면, 면당 모서리 $4$" 라는 정보로부터 (면, 모서리) 쌍을 이중 세기하여 $E = 24$ 를 얻는 데 사용.)
5.OA.A.1 괄호를 포함한 수식의 작성과 계산 (오일러 항등식 $V - E + F = 2$ 에 대입하여 $V = 2 + 24 - 12 = 14$ 를 푸는 데 사용.)
8.EE.C.8 두 개의 일차연립방정식 분석·풀기 ($\{x + y = 14,\ 3x + 4y = 48\}$ — 꼭짓점 총합과 악수 보조정리 — 을 세워 $x = 8$ 을 뽑아내는 데 사용.)

⭐ 두 개의 세기 항등식이 이 입체를 깨뜨립니다: 모서리마다 면이 둘 ($E = \tfrac{12 \cdot 4}{2} = 24$), 그리고 오일러의 $V - E + F = 2$ 가 $V = 14$ 를 줍니다. $14$ 개 꼭짓점을 "차수의 합 $= 2E$" 로 차수 $3$ 과 차수 $4$ 의 두 더미로 가르면 $2 \times 2$ 연립이 나오고, 답은 차수 $3$ 인 꼭짓점 $\textbf{(D) }8$ 개.