AMC 10 · 2023 · #19

학년 8 arithmetic

coordinate-geometryperpendicular-bisectorrotation-isometryslope-intercept identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometryslope-intercept

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

The line segment formed by $A(1, 2)$ and $B(3, 3)$ is rotated to the line segment formed by $A'(3, 1)$ and $B'(4, 3)$ about the point $P(r, s)$ . What is $|r-s|$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{1}{4}$

(B)

$frac{1}{2}$

(C)

$frac{3}{4}$

(D)

$frac{2}{3}$

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $A(1, 2)$ 와 $B(3, 3)$ 을 잇는 선분이 점 $P(r, s)$ 를 중심으로 회전하여 $A'(3, 1)$ 과 $B'(4, 3)$ 을 잇는 선분이 되었습니다. $|r - s|$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: $A = (1, 2)$ 가 $A' = (3, 1)$ 로 회전; $B = (3, 3)$ 이 $B' = (4, 3)$ 으로 회전; 회전 중심은 $P = (r, s)$; 선택지: (A) $\tfrac{1}{4}$, (B) $\tfrac{1}{2}$, (C) $\tfrac{3}{4}$, (D) $\tfrac{2}{3}$, (E) $1$

구하는 것: $(r, s)$, 회전 중심의 좌표; $|r - s|$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기

좌표평면에 네 점을 찍습니다(도구 #1 그림 그리기) — $B$ 와 $B'$ 의 $y$ 좌표가 같다는 사실이 그림에서 곧장 보이므로 $\overline{BB'}$ 의 수직이등분선은 수직선 $x = 3.5$. 이로써 $r$ 이 즉시 결정. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 일을 두 수직이등분선 작업으로 나눕니다. $\overline{AA'}$ 의 수직이등분선은 약간의 계산 — 중점, 기울기, 음의 역수 기울기, 점-기울기 형태 — 이 도구 #13(대수로 바꾸기)의 영역. 두 수직이등분선의 교점이 $(r, s)$ 이고 답은 $|r - s|$.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.1 단계 1

회전은 거리를 보존하므로 중심 $P$ 는 $A$ 와 $A'$ 에서 같은 거리에 있고, $B$ 와 $B'$ 에서도 같은 거리에 있습니다.
두 주어진 점에서 같은 거리에 있는 점들의 집합은 두 점을 잇는 선분의 수직이등분선.
따라서 $P$ 는 $\ell_A := \overline{AA'}$ 의 수직이등분선 위, 그리고 $\ell_B := \overline{BB'}$ 의 수직이등분선 위에 있고, 중심은 두 선의 교점 $\ell_A \cap \ell_B$.

$$|PA| = |PA'| \;\Rightarrow\; P \in \ell_A; \qquad |PB| = |PB'| \;\Rightarrow\; P \in \ell_B$$

💡 거리 보존 = 회전 전후 같은 거리. 같은 거리 = 수직이등분선 위.

#1 그림 그리기 6.NS.C.8 단계 2

쪼개기 A — $\ell_B$ 찾기.
$B = (3, 3)$ 과 $B' = (4, 3)$ 은 $y$ 좌표가 같아 $\overline{BB'}$ 가 수평.
중점은 $(3.5, 3)$, 수평선의 수직선은 수직선이므로 $\ell_B$ 는 수직선 $x = 3.5$, 즉 $r = 3.5$.

$$\text{mid}(B, B') = (3.5, 3),\quad \ell_B: x = 3.5 \;\Rightarrow\; r = \tfrac{7}{2}$$

💡 두 점이 한 좌표를 공유하면 수직이등분선은 그 중점을 지나는 축에 평행한 직선 — 계산 없이 바로 나옵니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.B.6 단계 3

쪼개기 B — $\ell_A$ 찾기.
$\overline{AA'}$ 의 중점: $M = \left(\tfrac{1+3}{2}, \tfrac{2+1}{2}\right) = (2, \tfrac{3}{2})$.
$\overline{AA'}$ 의 기울기: $\tfrac{1 - 2}{3 - 1} = -\tfrac{1}{2}$.
수직 기울기: 음의 역수 = $2$.
$M$ 을 지나는 점-기울기 형: $y - \tfrac{3}{2} = 2(x - 2)$, 정리하면 $y = 2x - \tfrac{5}{2}$.

$$\ell_A: y = 2x - \tfrac{5}{2}$$

💡 수직이등분선 공식: 중점 + 음의 역수 기울기. 점-기울기 형이 한 줄로 정리해 줍니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.8 단계 4

$\ell_A$ 와 $\ell_B$ 의 교점.
$y = 2x - \tfrac{5}{2}$ 에 $x = \tfrac{7}{2}$ 를 대입하면 $y = 2 \cdot \tfrac{7}{2} - \tfrac{5}{2} = 7 - \tfrac{5}{2} = \tfrac{9}{2}$.
따라서 $P = \left(\tfrac{7}{2}, \tfrac{9}{2}\right)$, $s = \tfrac{9}{2}$.

$$P = \left(\tfrac{7}{2}, \tfrac{9}{2}\right) \;\Rightarrow\; r = \tfrac{7}{2},\ s = \tfrac{9}{2}$$

💡 두 직선의 공통점 — 한 좌표를 알면 다른 좌표는 대입으로 읽힙니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.7 단계 5

$|r - s|$ 계산.

$$|r - s| = \left|\tfrac{7}{2} - \tfrac{9}{2}\right| = |-1| = 1 \;\Rightarrow\; \textbf{(E) }1$$

💡 차 — 절댓값 — 마지막은 한 줄 뺄셈.

[1] #7 8.G.A.1 회전은 거리를 보존하므로 중심 $P$ 는 $A$ 와 $A'$ 에서 같은 거리에 있고, $B$ 와 $B'$ 에서도 같은 거리에 있습니다. 두 주어

[2] #1 6.NS.C.8 쪼개기 A — $\ell_B$ 찾기. $B = (3, 3)$ 과 $B' = (4, 3)$ 은 $y$ 좌표가 같아 $\overline{BB'}$

[3] #13 8.EE.B.6 쪼개기 B — $\ell_A$ 찾기. $\overline{AA'}$ 의 중점: $M = \left(\tfrac{1+3}{2}, \tfrac{2+

[4] #13 8.EE.C.8 $\ell_A$ 와 $\ell_B$ 의 교점. $y = 2x - \tfrac{5}{2}$ 에 $x = \tfrac{7}{2}$ 를 대입하면 $y

[5] #7 6.NS.C.7 $|r - s|$ 계산.

검토

합리성 확인: $P = (3.5, 4.5)$ 에서 거리 직접 점검: $|PA|^2 = (1 - 3.5)^2 + (2 - 4.5)^2 = 6.25 + 6.25 = 12.5$; $|PA'|^2 = (3 - 3.5)^2 + (1 - 4.5)^2 = 0.25 + 12.25 = 12.5$ — 같음. $|PB|^2 = 0.25 + 2.25 = 2.5$; $|PB'|^2 = 0.25 + 2.25 = 2.5$ — 같음. 두 거리 보존 조건이 정확히 성립. 모눈종이에 그려보면 $P$ 는 네 점이 이루는 직사각형 위쪽에 자리하고, $PA \to PA'$ 의 회전각이 $PB \to PB'$ 의 회전각과 일치해 하나의 일관된 회전을 이룹니다. $|r - s| = 1$ 은 (E).

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) 을 거리 방정식에 직접 적용: $|PA|^2 = |PA'|^2$ 을 전개하면 $(r - 1)^2 + (s - 2)^2 = (r - 3)^2 + (s - 1)^2$, 정리하면 $4r - 2s = 5$. 마찬가지로 $|PB|^2 = |PB'|^2$ 를 전개하면 $(r - 3)^2 + (s - 3)^2 = (r - 4)^2 + (s - 3)^2$, 정리하면 $2r = 7$, 즉 $r = 3.5$. 대입하면 $14 - 2s = 5$, $s = 4.5$. 같은 $|r - s| = 1$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.1 회전·반사·평행이동의 성질을 실험적으로 확인 (회전이 거리 보존(등거리) 변환이라는 사실을 이용해 중심 $P$ 가 $\overline{AA'}$ 와 $\overline{BB'}$ 의 수직이등분선 위에 있어야 함을 도출.)
6.NS.C.8 좌표평면의 네 사분면에 점을 그려 실제·수학 문제 풀기 ($\overline{BB'}$ 가 $y$ 좌표를 공유한다는 사실에서 수직이등분선이 수직선 $x = 3.5$ 임을 즉시 읽기.)
8.EE.B.6 비수직 직선 위 두 점 사이의 기울기가 같음을 닮은삼각형으로 설명 ($\overline{AA'}$ 의 기울기와 그 수직이등분선의 음의 역수 기울기를 계산하고 점-기울기 형으로 직선 방정식을 작성.)
8.EE.C.8 일차연립방정식 분석·풀기 ($x = \tfrac{7}{2}$ 와 $y = 2x - \tfrac{5}{2}$ 를 교차해 $(r, s) = (\tfrac{7}{2}, \tfrac{9}{2})$ 를 확정.)
6.NS.C.7 유리수의 순서와 절댓값 이해 ($|r - s| = |3.5 - 4.5| = 1$ 을 최종 답으로 계산.)

⭐ 회전은 거리를 보존하므로 회전 중심은 $\overline{AA'}$ 의 수직이등분선과 $\overline{BB'}$ 의 수직이등분선 위에 모두 있습니다. $\overline{BB'}$ 의 수직이등분선은 수직선 $x = 3.5$(공짜!), $\overline{AA'}$ 의 수직이등분선은 $y = 2x - \tfrac{5}{2}$. 두 선의 교점 $(3.5, 4.5)$ 에서 $|r - s| = \textbf{(E) }1$.